книги / Теория функций комплексной переменной

ся нулем порядка пк функции f{z). Тогда в окрестности этой точки функция f(z) имеет вид

причем точка zk является правильной точкой функции f\{z). Вычисляя функцию <p(z) в окрестности точки z = Zkпо формуле (5.85), получаем

(p(z) = (In f{z))' = nk{\n(z - zk))' + (ln/i)7 =

Z - Z k J l { z )

Отсюда следует, что точка zkявляется полюсом первого порядка функции ip(z), причем вычет функции ip(z) в этой точке равен

пк. Итак, в нуле порядка пк функции f(z) ее логарифмический вычет равен пк) т.е. порядку нуля:

причем точка zk является правильной точкой функции fi{z). Поэтому для логарифмической производной функции f(z) в окрестности точки z = zk получим выражение

Отсюда следует, что точка zk также является полюсом первого порядка функции cp(z), причем вычет в этой точке равен —рк- Итак, в полюсе порядка рк функции f(z) ее логарифмический вычет равен порядку полюса, взятому со знаком минус:

=-Рк- (5.89)

*)’

2.Подсчет числа нулей аналитической функции.

Полученные результаты позволяют доказать следующую важ­ ную теорему. "М

Теорема 5.5. Пусть функция f(z) является аналитиче­

ской всюду в замкнутой области б, за исключением конечного числа лежащих внутри Q изолированных особых точек zk, ко­ торые все являются полюсами, и пусть f(z) не обращается в нуль ни в одной точке границы Г области Q. Тогда разность между полным числом нулей и полным числом полюсов функ­ ции f(z) в области Q определяется выражением

г+

Под полным числом нулей (полюсов) понимается число нулей N (полюсов Р ) с учетом их кратности:

заметим, что интеграл по Г от функции ip(z) = 4т^г может

J\Z)

быть вычислен с помощью основной теоремы теории вычетов, причем так как все особые точки функции ip(z) — это нули и

полюсы функции f{z), а вычеты в этих точках определяются формулами (5.87) и (5.89), то

что и доказывает теорему.

Отметим простой геометрический смысл доказанной теоре­ мы, для чего преобразуем интеграл, стоящий в правой части (5.90):

Действительная функция In|/(С)| является однозначной функ­ цией, поэтому ее вариация (изменение) при обходе точкой £ за­ мкнутого контура Г равна нулю. Следовательно, первое слага­ емое в правой части (5.92) равно нулю. Второе слагаемое пред­ ставляет собой полную вариацию аргумента функции /(£) при обходе точкой ( замкнутого контура Г, деленную на 2я. Итак,

Будем изображать значения функции w = f(z) точками на комплексной плоскости w. Так как функция f (z) непрерывна на контуре Г, то при полном обходе точкой z контура Г на плос­ кости z соответствующая ей точка на плоскости w описывает некоторый замкнутый контур С. При этом точка w = О может оказаться как вне, так и внутри области, ограниченной контуром С. В первом случае вариация аргумента w при полном обходе

С, очевидно, равна нулю. Во втором случае вариация аргумен­ та w определяется числом полных обходов вокруг точки w = О, которые совершает точка w при своем движении по контуру С. При этом точка w может обходить точку w = 0 как против часо­ вой стрелки (в положительном направлении), так и по часовой стрелке (в отрицательном направлении). Итак, разность между полным числом нулей и полюсов функции f(z) в области Qопре­ деляется числом оборотов, которые совершает точка w = f(z) вокруг точки w = 0 при положительном обходе точкой z конту­ ра Г. Эти соображения часто оказываются существенными при подсчете полного числа нулей аналитической функции в задан­ ной области. При этом во многих случаях соответствующие вы­ числения можно значительно облегчить благодаря следующей

теореме.

Теорема 5.6 (теорема Руше). Пусть функции f(z) и

ip(z) являются аналитическими в замкнутой области G, при­ чем на границе Г области Q имеет место неравенство

Тогда полное число нулей в области Q функции F(z) = f(z) +

+ip{z) равно полному числу нулей функции f(z).

До к а з а т е л ь с т в о . .Для функций f(z) и F(z) =

—fiz)+ выполнены все условия теоремы 5.5. Действитель­ но, функция f(z) не имеет особых точек на Г (она аналитиче­

ская в Q) и не обращается в нуль на Г в силу (5.94). Эти условия также выполнены для функции F(z), так как |.F(z)|r = \f(z) + + 4>{z)I ^ \f{z)\r ~ \4>(Z)\T > 0. Поэтому на основании формулы (5.93) получим

N\f(z) + tp(z)| = -^Var [arg (/ + <rf]r

И

JV[/W] = ^Varfarg f(z)]r.

Рассмотрим разность

N[nz) + ip(z)]-N{f(z)} =

= -^Var [arg (f + (p)- arg /]г = -^Var [arg (l + j ) ] p

Введем функцию w = I + TT-T- Как легко видеть, при обходе точ-

кой z контура Г соответствующая ей точка w опишет'замкнутую кривую С, которая в силу условия (5.94) будет целиком лежать внутри некоторого круга \w— 1| ^ ро < 1 (рис. 5.7). Тем самым

154 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. 5

точка w = 0 лежит вне кривой С. Следовательно, Var [arg w]r — = 0, что и доказывает теорему.

П р и м е р . Найти полное число нулей функции F(z) = = z8 — 5z5 — 2;z + l внутри единичного круга \z\ < 1. Представим функцию F(z) в виде F(z) = f(z)+<p(z), положив f(z) = —5z5 + + 1 и (p(z) = z8 —2z. Тогда

|/WI|z|=i > I “ 5г5||2|= 1 - 1 = 4, M*)l|.|=l < k 8||z|=l + |22r||^|=1 = 3,

откуда |/(2)||z|= i > |y?(z)||2|=i > 0. Следовательно, полное число

нулей в области \z\ < 1 функции F(z) равно полному числу нулей функции /(2), но последняя имеет, очевидно, ровно пять нулей:

5/Г /.27гЛЛ

+ ... + — — . Как легко видеть, при любых заданных значениях

do Zn

коэффициентов оо, о ь ... , апвсегда найдется такое значение Ro, что для всех значений \z\ = R > RQимеет место неравенство

В силу теоремы Руше из (5.95) следует, что полное число ну­ лей функции F{z) в круге \z\ = R равно числу нулей в этом круге функции f(z) —аоzn. Но функция f(z) = aozn на всей комплексной плоскости имеет единственный n-кратный нуль — точку 2 = 0. Отсюда в силу произвольности R ^ RQ и следует утверждение теоремы.

Г Л А В А б

КО Н Ф О РМ Н О Е О ТО БРАЖ ЕН И Е

,Как при построении общей теории функций комплексной пе­ ременной, так и в ее многочисленных приложениях, в частно­ сти к решению задач механики и физики, большое значение имеет изучение геометрических свойств конформных отобра­ жений, осуществляемых аналитическими функциями. В гл. 1 было введено понятие конформного отображения, обладающего свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. Фунда­ ментальной задачей теории конформных отображений является следующая. Даны две области комплексной плоскости, и требу­ ется найти функцию, осуществляющую взаимно однозначное и конформное отображение одной области на другую. При этом, конечно, возникают вопросы об условиях существования и од­ нозначного определения такой функции.

Вэтой главе будут кратко изложены основные понятия те­ ории конформного отображения. Мы также рассмотрим неко­ торые геометрические свойства отображений, осуществляемых рядом аналитических функций, находящих наиболее широкое применение в приложениях.

§1. Общие свойства

1. Определение конформного отображения. В гл. 1 при рассмотрении геометрического смысла модуля и аргумен­

та производной было введено понятие конформного отображе­ ния. Было показано, что если функция w = f(z) является од­ нозначной и аналитической в окрестности некоторой точки zo и f'(zo) Ф 0, то отображение, осуществляемое данной функцией,

вточке ZQ обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений. То есть угол между любыми двумя гладкими кри­ выми, пересекающимися в точке zo, равен и по абсолютной ве­ личине и по направлению углу между их образами на плоскости w в точке W Q — / ( Z Q ) , а бесконечно малые линейные элементы,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Действительно, в силу условия f(z) ф 0 при z G Q отображение, осуществляемое функцией f(z), во всех точках области Qобладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений, что и доказывает теорему.

Итак, условия аналитичности, однолистности и отличия от нуля производной функции комплексной переменной являются достаточными условиями конформности отображения, осуще­ ствляемого этой функцией. Естественно поставить вопрос, яв­ ляются ли эти условия необходимыми. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 6.2. Пусть функция f(z) осуществляет кон­ формное отображение области Qкомплексной плоскости z па область G комплексной плоскости w и ограничена в Q. Тогда функция f(z) является однолистной и аналитической в обла­ сти Q, причем f{z) ф 0 при z GQ.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как отображение, осуще­ ствляемое функцией f(z), является конформным, то оно явля­ ется взаимно однозначным, и в любой точке zo G Явыполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений. Следова­ тельно, для любых точек z\ и Z2, принадлежащих окрестности точки zo, с точностью до бесконечно малых величин выполня­ ются соотношения

где Az\ = Z\—ZQи AZ2 —Z2 —ZQсуть бесконечно малые линейные элементы, выходящие из точки ZQ, a Aw\ и Aw2 — их образы

Рис. 6.1

(рис. 6.1). Заметим, что в силу (6.1) соответствующие углы в точках zo и wo равны не только по абсолютной величине, но и

Как было отмечено выше, свойство сохранения углов означа­ ет, что сохраняется не только абсолютная величина углов меж­ ду кривыми, пересекающимися в точке zo, и их образами, но и их направление. Отображение, при котором сохраняются аб­ солютные величины углов между кривыми и их образами, но

направление углов меняется на противоположное, называется

конформным отобраэюением второго рода. Рассмотренное вы­ ше отображение называется конформным отображением пер­ вого рода.

Нетрудно показать, что конформное отображение второго рода осуществляется функциями комплексной переменной, яв­ ляющимися комплексно сопряженными аналитическим функци­ ям с отличной от нуля производной. Действительно, пусть функ­ ция w = f(z) осуществляет конформное отображение второго рода некоторой области Qкомплексной плоскости z на область G комплексной плоскости w. Рассмотрим функцию w\ = гй, ото­ бражающую область G на область G* комплексной плоскости w\. Очевидно, геометрический смысл последнего отображения заключается в зеркальном отражении области G относительно действительной оси и плоскости w. Но при зеркальном отраже­ нии направление всех углов меняется на противоположное при сохранении их абсолютной величины. Это означает, что отобра­ жение области Qна область G*, осуществляемое функцией

является конформным отображением первого рода. Тем самым функция ip(z) должна быть аналитической в области Q, причем

ip'(z) ф 0, JZ G Q. Но из (6.6) следует, что f(z) = <p(z), что и доказывает высказанное утверждение. До сих пор мы предпо­ лагали, что производятся конформные отображения ограничен­ ной области Qна ограниченную область G. В некоторых случа­ ях приходится рассматривать отображение окрестности точки ZQ на окрестность точки w = оо (или наоборот). При этом мы будем называть данное отображение конформным, если окрест­ ность точки ZQ конформно отображается на окрестность точки

С = 0, где С= — • Аналогично определяется конформное отобра­

жение окрестности точки z = оо на окрестность точки w = со.

2. Простейшие примеры. В предыдущих главах мы уже рассмотрели некоторые геометрические свойства отображений, осуществляемых рядом элементарных функций. Выясним те­ перь, являются ли эти отображения конформными, и если да, то в каких областях.

Как легко видеть, линейная функция w = f(z) = az + b (а ф 0 и Ъ— произвольные комплексные постоянные) осуще­ ствляет конформное отображение полной комплексной плоско-

сти z на полную плоскость ад, поскольку эта функция однолист­ на и ее производная f'(z) = а отлична от нуля во всех точ­ ках плоскости z. Чтобы убедиться в сохранении конформности отображения окрестности точки z — оо на окрестность точки

рая осуществляет конформное отображение окрестности точки t = 0 на окрестность точки £ = 0 (точка t = 0 является правиль­

ной точкой этой функции, и ('(£) |t=o = - ф 0).

а

Выше мы видели, что геометрический смысл отображения, осуществляемого линейной функцией, заключается в подобном растяжении и сдвиге плоскости z. Поэтому данная функция мо­ жет быть применена для построения конформных отображений подобных фигур.

П р и м е р 1. Построить функцию, осуществляющую кон­ формное отображение круга \z —1 — г| ^ 2 на единичный круг

М < 1.

Так как области Qи G представляют собой подобные фигу­ ры, то задача может быть решена при помощи линейной функ­ ции, которая осуществляет подобное растяжение плоскости z и сдвиг начала координат. Как легко видеть, искомая функция имеет вид

w = a(z — 1 — г),

где |о| = ^ а аргумент комплексного числа а может иметь любое

значение, определяя поворот плоскости ад вокруг точки ад = 0. Рассмотрим степенную функцию ад = f(z) = zn, где n > 1 —

целое число. Как следует из рассмотрений, проведенных в гл. 1 и 3, эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение

области своей однолистности — сектора фо < arg z < фо + 2тгп

на полную плоскость w, разрезанную по лучу arg ад = пфо. Ее производная f'(z) = nzn~l отлична от нуля и ограничена всюду внутри данного сектора и в точках его границы, за исключением точек z = 0 и z = оо. Поэтому данная функция осуществляет конформное отображение области внутри указанного сектора на разрезанную плоскость ад. Любая бесконечно малая плоская фи­ гура, лежащая внутри данного сектора, переходит в подобную ей бесконечно малую фигуру на плоскости ад, например парал­ лелограмм ABCD, сторонами которого являются координатные линии полярной системы координат (рис. 6.2), перейдет в подоб­ ный ему бесконечно малый параллелограмм А 'В 'С D\ сторо­ нами которого также являются координатные линии полярной системы координат на плоскости ад. Однако в граничной точке