где Rep > |Im w|, а интегрирование производится по любой прямой, параллельной мнимой оси и лежащей правее прямой Re q = |Im CJ|. В качестве такой прямой интегрирования выбе рем прямую, проходящую левее точки q = р, и рассмотрим на комплексной плоскости q замкнутый контур Г, состоящий из от резка [ж — ijR, х + гЛ] данной прямой и замыкающей его в правой полуплоскости дуги полуокружности \q —x\= R. Внутри данно го контура подынтегральная функция из (8.64) является всюду аналитической, кроме точки q = р, которая есть полюс второго порядка данной функции. Точка q = оо является нулем третьего порядка этой функции. Поэтому в силу леммы 1 гл. 5 значение интеграла (8.64) определяется вычетом в особой точке подынте гральной функции. Заметив, что обход контура Г совершается в отрицательном направлении, получим
F(P) =
(q2
+ и 2) ,= Р
(р2 + “ 2)2'
Итак,
tcos cot.—
(8.65)
2. Условия сущ ествования оригинала. В настоящем пункте мы рассмотрим некоторые достаточные условия, при ко торых заданная функция F(p) комплексной переменной р яв ляется изображением некоторой функции f(t) действительной переменной t, и покажем, как найти последнюю.
Теорема 8 .5 . Пусть функция F(p) комплексной переменной
р= х + гу удовлетворяет следующим условиям:
а) F(p) — аналитическая функция в области Re р > а;
б) в области Re р > а функция F(p) стремится к нулю при |р| —> оо равномерно относительно argр\
в) для всех Re р =
х > а сходится интеграл1)
X + too
f
\F(p)\dy<M ,
х > а.
(8.66)
X—200
Тогда функция F{p)
при R ep > а
является изображением
функции f(t) действительной переменной t, которая опреде-
х) Интеграл (8.66) представляет собой несобственный интеграл первого рода по прямой Re р = х от действительной функции |F(p)|.
242 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ, 8
ляетпся выражением
X+ too
f(t) =
f eptF(p) dp, x > a.
(8.67)
X— 2 0 0
До к а з а т е л ь с т в о . Итак, надо доказать, что инте грал (8.67) является оригиналом функции F(p). Первым делом возникает вопрос о существовании этого несобственного инте
грала1). Очевидно, что
X+ too
X + too
2 ^ /
Л Р (р ) dp\ < i
f
|eptP’(p)| • \dp\ =
x —too
x —too
x + too
= | -
/
(8.68)
X —zoo
откуда и следует сходимость интеграла (8.67) при любом х > а. Отметим для дальнейшего, что из оценки (8.68) следует равно мерная сходимость интеграла (8.67) по параметру t на любом конечном промежутке 0 ^ i Т.
Для того чтобы доказать, что интеграл (8.67) является ори гиналом заданной функции F(p), следует установить, что:
1° Интеграл (8.67) не зависит от х и определяет функцию f(t) лишь одной переменной £, причем эта функция обладает ограниченной степенью роста.
2° При t < 0 f(t) = 0.
3° Изображением Лапласа функции f(t) является заданная функция F(p).
Докажем каждое из высказанных утверждений.
1° Рассмотрим в области Re р > а замкнутый контур Г, со стоящий из отрезков прямых [х\ —гА, х\ + iA] и [х2 — гА, Х2 + + iA], параллельных мнимой оси, и соединяющих их отрезков прямых [х\ —iA,x2— гЛ], [х\ + гЛ, яч + гЛ], параллельных дей ствительной оси (рис. 8.1). Здесь Л > 0; x\,x<i — произвольные числа, большие а. Так как функция F(p) является аналитиче ской в области Re р > о, то в силу теоремы Коши интеграл от функции eptF(p) по контуру Г равен нулю. Устремим Л к беско-
*) Несобственный интеграл (8.67) вычисляется вдоль прямой Re р = х и понимается в смысле главного значения, т.е.
х + too
х + t\A
Г
eptF(p) dp = lim
Г eptF(p) dp.
J
A—too
J
x —too
x —iA
§2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 243
нечности, оставляя фиксированными х\, Тогда по условию б) теоремы интегралы по горизонтальным отрезкам пути инте грирования дадут в пределе нуль. В то же время интегралы по вертикальным прямым переходят в интеграл (8.67). Отсюда
х\ + too
Х2 + гоо
j
eptF(p) dp =
j
eptF(p) dp,
X \ — ZOO
X 2
— ZOO
что в силу произвольности х\ и Х2 доказывает утверждение 1°. Итак, интеграл (8.67) является функцией лишь одной перемен ной t. Отметим, что при этом из оценки (8.68) сразу следует, что интеграл (8.67) представляет собой функцию ограниченной сте пени роста по t, причем показатель степени роста этой функции равен а.
2° Рассмотрим значение интеграла (8.67) при t < 0. Для это го в области Re р > а рассмотрим замкнутый контур С, состо ящий из отрезка прямой [х —iR,x+ iR], х > а, и замыкающей
его дуги C'R полуокружности \р —х\ = R (рис. 8.2). По теореме Коши интеграл от функции eptF(p) по данному контуру равен
Рис. 8.1 Рис. 8.2
нулю. В силу замечания к лемме Жордана (см. гл. 5, с. 139)
при R
оо интеграл по дуге C'R стремится к нулю при t < 0.
Поэтому
X + too
f(t) = i
f (?lF{p) dp = 0, t < 0, Re p > a,
(8.69)
X — zoo
и утверждение 2° доказано.
3°
Построим
изображение Лапласа функции (8.67)
и рас
244 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8
смотрим его значение при некотором произвольном ро, где Re ро > а:
ОО
ОО
X+ too
f e- po7 ( i) dt =
^ - J e~pot dt
f <?lF(p) dp.
(8.70)
0
0
x —too
Внутренний интеграл в (8.70) не зависит от х. Выберем значение ж, удовлетворяющее условию а < х < Re ро, и изменим порядок интегрирования, что возможно в силу равномерной сходимости соответствующих интегралов; получим
оо
х + гоо
оо
/ e -»*/(t) dt = ±
f
F(p) dp f e-bo-P* dt =
0
x —zoo
0
x + too
= h
I F ^ ^ r P- <8-7 1 )
X— 2 0 0
Интеграл (8.71) может быть вычислен с помощью вычетов, так как в силу условия б) теоремы подынтегральная функция стре
мится к нулю при |р| ->■ оо быстрее, чем функция - . Поэтому,
учтя, что единственной особой точкой подынтегральной функ ции — полюсом первого порядка — является точка р = ро и что при замыкании (8.71) в правой полуплоскости интегрирование производится в отрицательном направлении, получим
ОО
/(*) •= / e~potf(t) dt = F(po).
(8.72)
О
Поскольку ро — произвольная точка в области Re р > а, теорема доказана. Естественно, что интеграл (8.67) совпадает с форму лой Меллина (8.58), выведенный в предположении существова ния оригинала. Итак, нами установлены некоторые достаточные условия, при которых заданная функция F{p) комплексной пе ременной р является изображением.
3. Вычисление интеграла Меллина. Во многих прак тически важных случаях интеграл (8.58), (8.67), дающий выра жение оригинала по заданной функции F(p) комплексной пере менной, может быть вычислен с помощью рассмотренных вы ше (см. гл. 5) методов вычисления контурных интегралов от функции комплексной переменной. Пусть функция F(p), перво начально заданная в области Re р > а, может быть аналитиче ски продолжена на всю плоскость р, за исключением конечного числа особых точек и разрезов. Пусть ее аналитическое продол жение удовлетворяет при Re р < а условиям леммы Жордана.
§2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
245
Тогда при t > О
J eptF(p) dp-¥ О, R -> оо,
(8.73)
гп
где С д — дуга полуокружности |р —х\= R в левой полуплос кости. В этом случае интеграл (8.67) может быть вычислен с помощью теории вычетов. Рассмотрим ряд примеров.
П р и м е р 2. Найти оригинал функции F(p) = -~ш2,
Re р > 0, иг > 0. Так как условия теоремы 8.5 выполнены, то
ж+гоо
*<*) •='/(*) = h / ePtw r ^ dp' х > 0 - X—200
Аналитическое продолжение функции F(p) в левую полу
плоскость R e p < 0, функция - 2— 2-, удовлетворяет условиям
Р "Р w
леммы Жордана и имеет две особые точки — полюсы первого
порядка при pi}2 =
±iw . Поэтому при £ ^ О
2
и>еiuft
ше—iut
= sin cut, t ^ 0.
№ = ^ В ы ч
=
2ioo
2га»
к= 1
Условия теоремы 8.5, в частности условие в), являются доста точными условиями существования оригинала аналитической в области R ер > а функции F(p). Нетрудно привести примеры, показывающие, что, если это условие не имеет места, функция F(p) может все же быть изображением некоторой функции дей ствительной переменной.
П р и м е р 3. Найти оригинал функции F(p) =
—1 < а < 0, Re р > 0. Эта функция является многозначной в рассматриваемой области. Мы будем понимать под функцией F(p) ту ветвь дайной многозначной функции, которая являет ся непосредственным аналитическим продолжением в область
R ep > 0 действительной функции действительной пере-
менной х > 0. При этом мы, очевидно, должны считать argp = О при р = х, х > 0. Функция F(jp) не удовлетворяет условию в) теоремы 8.5. Покажем, однако, что функция
i+ io o
/Ю = h /
dp> х > 0 ’
<8-74)
X—200
является оригиналом заданной функции F(p
Аналитическое продолжение функции F(p) на левую полу-
246 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8
плоскость R ep < 0 является многозначной функцией, имею щей точками разветвления точки р = 0 и р = оо. Будем рас сматривать в области Q, представляющей собой комплексную плоскость р с разрезом по отрицательной части действитель ной оси, ту ветвь многозначной
функции
которая явля
ется непосредственным анали
тическим продолжением функ
ции F(p)} первоначально за
данной в правой полуплоско
сти Re р > 0. В области Я рас
смотрим замкнутый контур Г,
состоящий из отрезка прямой
[ж — гЯ7, х 4- гЯ7], х > 0, отрез
ков —Я < х <
—рна берегах
разреза и замыкающих их ду
ги окружности
С 7,
|р| = р, и
дуг окружности Сд,
\р —х\ =
= Я 7, соединяющих берега раз
реза с вертикальным отрезком
[х —iB!, х 4- гЯ7] (рис. 8.3). Так
как функция
в области
Я особых точек не имеет, то
Рис з з
по теореме Коши интеграл от
этой функции по контуру Г ра
вен нулю. Устремим Я 7 к бес
конечности, а р к нулю. В силу леммы Жордана интегралы по кривым Сд, дадут в пределе нуль. Оценим интеграл по окруж ности С 7, положив р = рег(р:
2т /
dp
J - f eipcos (pd(pt
na+l
2ттра J
с,
—7Г
Так как — 1 < a <
0, то интеграл по С 7 также стремится к
нулю при р -> 0. Тем самым остаются лишь интегралы по пря молинейным участкам контура интегрирования. Заметим, что на нижнем берегу разреза argp = —я, на верхнем argp = я. Поэтому получим
являющуюся обращением формулы (8.18), что и доказывает на ше утверждение.
П р и м е р 4. Найти оригинал функции F(p) = - е~а'/р,
а > 0, Re р > 0. При этом, так же как и в предыдущем при мере, мы рассматриваем ту ветвь многозначной функции ^/р, которая является непосредственным аналитическим продолже нием в область Re р > 0 действительной функции у/х действи тельной переменной х > 0. Напомним, что в этом случае мы должны положить argp = 0 при р = х > 0. Аналитическое продолжение функции F(p) в левую полуплоскость R ep < О опять имеет точками разветвления точки р = 0 и р = оо. Бу дем рассматривать область Q — плоскость р с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси. В этой области опре
делена однозначная аналитическая функция -е~а^ ,являюща-
Р
яся непосредственным аналитическим продолжением функции F(p). Отметим, что функция F(p) при R ep > 0 удовлетворяет условиям теоремы 8.5, а ее аналитическое продолжение в обла сти Q в левой полуплоскости Re р < 0 при t > 0 удовлетворяет условиям леммы Жордана. Поэтому, выбрав тот же контур ин тегрирования Г, что и в предыдущем примере, и заметив, что на
*) См. вып. 2.
248 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8
верхнем берегу разреза arg p = —7Г, что даетр =
£ег7Г =
—£, у/р =
= \/? exp
—*\/£, а на нижнем берегу разреза a rg p =
— 7г,
что дает р =
=
V ? exp
( - * | )
=
- i \ / ? (f
>
0),
получим
4
7
x+ioo
= ±
/
е ^
Ф
=
ж—too
оо
со
1
I
-^te-iav^
-
0
/*
dZ
27ri
d £ -
Je-*te—
+
LO
+
j
- L
f
dp.
lim
p
0 27rt J
p->о
Так как
7Г
exp [-ay'pexp (i| )]
lim 5 .
/ e^
, _ c
—
р->0 2?rt
—7Г
pe^
TO
f e - f ' S M
/(i) =
- I
d£ + 1.
* J
€
о
Сделаем в этом интеграле замену переменной, положив у ? =
я,
учтем, что
с»
sin ах
о JO
г
-------
I
cos рж ар,
X
I/
0
и изменим порядок интегрирования. Получим
(8.77)
оо
а
оо
Jе-^^£<и, =2fdpJe~tx\ospxd.
о
0
0
Внутренний интеграл в (8.77) легко может быть вычислен*). Он равен
/ e~ tx2 cospxdx = | \ / f exp
.
о
Отсюда
*) Например, дифференцированием по параметру (см. вып. 2).
§2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
249
а
т= 1 - j a j l { ехр { - * ) # -
Положив
—77, окончательно получим
\/4t
F{p) =
e > 0
, Re р > О,
(8.78)
где функция
»(*) = +
/
е“ "2 dr,
(8.79)
v
О
есть так называемая функция ошибок1).
4.
С л уч ай регулярной
на бесконечности
ф ункции.
Рассмотрим еще один частный случай, когда определение ориги нала для заданной функции F(p) комплексной переменной про изводится особенно просто. Пусть аналитическое продолжение первоначально заданной в области Re р > а функции F(p) явля ется однозначной функцией на полной плоскости комплексной переменной р, причем точка р = оо — правильная точка функ ции F(p). Это означает, что разложение функции F(p) в ряд Лорана в окрестности точки р = оо имеет вид
00
F (P ) = £ F -
(8-8°)
п=О
При рассмотрении свойств изображения было отмечено, что \F(p)\ -+ 0 при Re р —>+оо. Поэтому в разложении (8.80) коэф фициент со равен нулю и
т
= £ ^ -
(8-8 1)
71=1 У
Легко найти функцию f(t) действительной переменной £, для которой функция (8.81) является изображением.
Теорема 8 .6 . Если точка р = оо является правильной точ кой функции F(p) и F (оо) = 0, то функция F(p) представляет собой изобраоюение Лапласа функции действительной перемен ной
о,
t <
о,
оо
(8.82)
/(<) =
1 ^ -
О
£ ^ +
О,
п=0
где Сп суть коэффициенты разложения функции F(p) в ряд Ло рана (8.81) в окрестности точки р —оо.
х) Определение и свойства функции Ф(г) см. А. Н. Т и х о н о в, А. А. С а м а р с к и й . Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1972.
250 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выше было показано, что коэф фициенты разложения (8.81) определяются формулой1)
* = гЬ /
где CR — окружность |р| = R, вне которой нет особых точек функции F(p). Так как точка р = оо является нулем функции
F(p), то |F(p)| < % при \z\ > R. Поэтому формула для Сп дает
Н
jcn| < M R 1- 1.
Из этой оценки следует сходимость ряда (8.82). Действительно,
ОО
00
оо
71=0
71=0
71=о
Отсюда же следует, что в круге любого конечного радиуса ряд (8.82) сходится равномерно, тем самым определяя некоторую целую функцию комплексной переменной t:
оо
/ W = E « w « 5 f
П=0
(Заметим, что функцию /(*), определенную формулой (8.82),
мы можем рассматривать как произведение функции f(t) на единичную функцию Хевисайда сг0(t).)
Умножив функцию f(t) на e~pt и проинтегрировав по t рав номерно сходящийся ряд (8.82) почленно, на основании соотно-
шения 2)
n\
tn =
рп-И
получим
оо
00
00
tn
E
zLt011+1 n! •” 53 011+1 ^йТ =
(8.83)
n=0
71=0
n'=l
что и доказывает теорему.
П р и м е р 5.
Пусть
F(p) =
V P’T T *
(8.84)
Эта функция имеет две особые точки p i|2 = ±i и является одно значной аналитической функцией в окрестности точки р = оо,
