книги / Теория функций комплексной переменной

162 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ГЛ. 6

формность отображения, соответствуют точки го —0 и w —оо, являющиеся точками разветвления обратной функции.

В общем случае степенная функция w = f(z) —zQ, где а > 0 —

поверхности (бесконечнолистной для иррационального а, конеч­ нолистной для рационального дробного а и обычной плоскости

z для целого а) на полную плоскость w ^луч arg z — ~ к ото­

бражается на положительную часть действительной оси ^ . Ее

производная f'(z) = о:za~ 1 существует и отлична от нуля всюду внутри данного сектора, кроме точек z = 0 и z = оо. Тем самым и эта функция осуществляет конформное отображение данного сектора на разрезанную плоскость го.

В точках z = 0 и z = оо, так же как и для функции го = zn, конформность отображения нарушается.

П р и м е р 2. Построить функцию, конформно отобража­ ющую первый квадрант плоскости z (Re z > 0, Im z > 0) на верхнюю полуплоскость го (Im w > 0).

Легко видеть, что функция

w = az2 4- 6,

где а > 0 и b —произвольные действительные постоянные, дает решение этой задачи. В точках z = 0 и z = оо конформность отображения нарушается.

В гл. 3 мы рассмотрели отображение, осуществляемое по­ казательной функцией w = f(z) = ez. Было показано, что эта функция осуществляет взаимно однозначное отображение лю­ бой своей области однолистности — полосы уо < Im z < уо + + 2 п плоскости z — на полную плоскость w, разрезанную по лучу argn; = уо. Так как производная рассматриваемой функ­ ции f(z) = ez отлична от нуля всюду внутри данной полосы, то это отображение является конформным. Как легко видеть, при данном отображении ортогональная сетка декартовых ко­ ординат х = С\, у = Сг внутри рассматриваемой полосы пере­ ходит в ортогональную сетку полярных координат |ги| = eCl, arg w = Сг на плоскости w. Полная аналитическая функция F(z) — е2, являющаяся целой функцией на плоскости z, осу­ ществляет конформное отображение полной плоскости z на

бесконечнолистную риманову поверхность обратной функции1) z = Lnw. Заметим, что конформность отображения нарушается

вокрестности точек w = 0 и w = оо плоскости го, являющихся

*) Построение римановой поверхности функции Lnw, см. гл. 3, с. 107.

§1 ОБЩИЕ СВОЙСТВА 163

точками разветвления функции Ln гу, где отображение не явля­ ется взаимно однозначным.

П р и м е р 3. Построить функцию, конформно отображаю­ щую полосу 0 < Re z < а на верхнюю полуплоскость Im w > 0.

Функция z\ = -z отображает исходную полосу на полосу

а

0 < Re z\ < 7г. Функция Z2 = iz\ переводит полученную полосу в полосу 0 < Im Z2 < тг. Наконец, функция w = ez2 осуществляет конформное отображение данной полосы на верхнюю полуплос­ кость Im w > 0. Поэтому функция, осуществляющая заданное конформное отображение, может быть взята в виде

w = ехр

3. Основные принципы. Мы рассмотрели некоторые простейшие примеры функций, осуществляющих конформные отображения, и с их помощью решили основную задачу кон­ формного отображения для ряда простейших областей. Рассмо­ трение более сложных примеров требует использования общих принципов конформного отображения, к изложению которых мы переходим. При этом в ряде случаев ограничимся лишь фор­ мулировкой соответствующих положений, не проводя их строго­ го обоснования, что значительно выходит за рамки настоящего курса.

а) В з а и м н о о д н о з н а ч н о е с о о т в е т с т в и е . Как было отмечено, при конформном отображении области Qкомп­ лексной плоскости z на область G плоскости w, осуществляе­ мом аналитической в Qфункцией f(z), устанавливается взаим­ но однозначное соответствие этих областей. Тем самым усло­ вие однолистности функции f(z) в области Qявляется необхо­ димым условием конформности отображения. Оказывается, что это условие является и достаточным.

Теорема 6.3. Пусть функция f(z) является однозначной аналитической функцией в области G, осуществляющей вза­ имно однозначное отображение области Q на область G комп­ лексной плоскости w. Тогда это отображение является кон­ формным.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства теоремы, оче­ видно, достаточно показать, что при выполнении условий теоре­ мы производная функции f(z) отлична от нуля всюду в области

Q. Предположим, что это не имеет места, т.е. что в области Q существует такая точка ZQ, в которой f'{zo) = 0. Так как f(z)

является аналитической в области Q, то в силу сделанного пред­ положения ее разложение в степенной ряд в окрестности точки ZQ должно иметь вид

причем к ^ 2 и а* ф 0. Если /'(г)ф 0, то точка ZQ не может быть предельной точкой нулей функции f'(z). Это означает, что можно указать такое значение S', что f'(z) ф 0 во всех точках z ф zo внутри круга \z —zo\ < 5*. Кроме того, очевидно, можно выбрать такое значение <5", чтобы имело место неравенство

ф(г) = ак + ak+1 (z - zo) + ... ф 0 при \z — zo\ < 6й.

Выберем некоторое комплексное число а, удовлетворяющее условию \а\ < т. Согласно теореме Руше аналитическая функ­

имеет внутри круга \z —zo\ < 5 столько же нулей, сколько и функция (z —zo)кф(г). Последняя в силу условия (6.8) имеет в этом круге к нулей — точка z = ZQ является ее нулем к-то порядка. Тогда из (6.9) следует, что уравнение

имеет к корней в круге \z —zo\ ^ S, причем все эти корни про­ стые, так как точка z = ZQ не является корнем уравнения (6.10) и в силу (6.8) f(z) ф 0 в остальных точках данного круга. Это

последнее противоречит условию взаимной однозначности ото­ бражения области Qна область G, что и доказывает теорему.

Итак, из доказанной теоремы следует, что необходимым и достаточным условием того, чтобы однозначная функция f(z), аналитическая в области Q, осуществляла конформное отобра­ жение этой области на некоторую область G плоскости w, явля­ ется условие однолистности f(z) в области Q.

б) П р и н ц и п с о о т в е т с т в и я г р а н и ц . При ре­ шении конкретных задач конформного отображения заданной области Q на заданную область G обычно следят лишь за тем, чтобы искомая функция f(z) производила отображение грани­ цы 7 области Qна границу Г области G, не рассматривая специ­ ально отображения внутренних точек. Это можно делать в силу так называемого принципа соответствия границ, доказательство

166 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ГЛ. 6

Из (6.13) в силу произвольности выбора точки w2 вне области G следует, что все значения функции f(z) при z е Qпринадлежат области G. Из (6.12) следует, что для любой точки из\ Е G в области Я найдется одна и только одна точка zi, для которой f(z\) = -шх, что и доказывает взаимную однозначность данного

отображения. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Если функция f(z) является аналитиче­ ской в области Я, за исключением единственной особой точки JZO, являющейся полюсом первого порядка, и при отображении границы области Q, контура 7 , на контур Г плоскости изнаправ­ ление обхода меняется на противоположное, то функция f(z) осуществляет конформное отображение области Q на область G', внешнюю к контуру Г, на плоскости w (при этом точка ZQ соответствует точке w —со).

Данное утверждение доказывается аналогично предыдущей теореме, причем вместо (6.12) и (6.13) получим соотношения

из которых и следует справедливость высказанного утвержде­ ния.

Приведем без доказательства утверждение, в известном смы­ сле обратное доказанной теореме.

Теорема 6.5. Если функция f(z) осуществляет конформ­ ное отображение области Q комплексной плоскости z на огра­ ниченную область G плоскостиw, то функция f(z) непрерывна на границе области Q и осуществляет непрерывное и взаимно однозначное соответствие границ 7 it Г областей Q и G.

сток 7 ' (рис. 6.5). Область Я, полученную путем зеркального отражения области Я относительно прямой, на которой лежит отрезок 7 ', будем называть областью, симметричной области Я

относительно у . Симметрию точек областей Я и Q будем обо­ значать символом z z. Принцип симметрии может быть сфор­ мулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 6.6. Пусть в замкнутой области Q, граница 7 которой имеет прямолинейный участок 7 ', задана непрерыв­ ная функция f(z), осуществляющая конформное отображение области Я на область G комплексной плоскости w, при кото­ ром участок 'у1 границы7 переходит также в прямолинейный

участок Г' границы Г области G. Тогда в области Q, симмет­

ричной Q относительно отрезка у', можно построить функ-

л

цию f(z), являющуюся аналитическим продолжением функции f(z) из области Q в область Q, осуществляющую конформное

Заметим, что полученная таким образом область Q= Q4- G

может иметь участок Q12, принадлежащий одновременно обла-

>•4. __

стям Q и Q. Тогда полная аналитическая функция F(z), полу­ ченная аналитическим продолжени-

енная функция f(z) является аналитической в области Q. Дей­ ствительно, в силу соответствий (6.16) из существования пре-

Дw

дела разностного отношения — следует существование предела

границ областей Q и Q. Поэтому в силу принципа аналитиче-

Л

ского продолжения функция f(z) и является аналитическим

продолжением функции f(z) из области G в область Q. Первая часть утверждения теоремы доказана. В силу (6.16) отображе-

ние области Q на область G, осуществляемое функцией /(5), является взаимно однозначным. Следовательно, на основании теоремы 6.3 это отображение является конформным. Теорема полностью доказана.

гиваться к некоторой внутренней точке ZQ области Q, оставаясь все время внутри этой области, что, очевидно, невозможно в си­ лу многосвязности области Q и указанного выбора контура 7 . Итак, конформное отображение многосвязной области на одно­ связную невозможно. Однако, как будет показано ниже, в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинако­ вой связности.

Рис. 6.6

Перейдем теперь к определению условий, однозначно опреде­ ляющих функцию, осуществляющую заданное конформное ото­ бражение. Ясно, что такие условия необходимы, поскольку, как видно из предыдущих примеров, единичный круг с помощью простейшего линейного преобразования, заключающегося в по­ вороте комплексной плоскости, можно конформно отобразить сам на себя. Поэтому, если функция f(z) осуществляет кон­ формное отображение заданной области Qна единичный круг, то и любая функция, полученная из f(z) с помощью указанно­ го линейного преобразования, будет осуществлять конформное отображение области Qна тот же единичный круг.

Теорема 6.8 . Функция f(z), осуществляющая конформное отобраоюение заданной односвязной области Q{ граница кото­ рой состоит более чем из одной точки) на единичный круг

|ги| < 1 так, что f(zo) = 0 и arg f(zo) = ао( где го £ G и <*о — за­ данное действительное число ), определена единственным образом.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что в области Q существуют две различные функции w\ = f\(z) и W2 —/2(г), осуществляющие заданное конформное отображение, т. е.

Заметим, что в силу теоремы 6.5 функции w\ = fi{z) и и>2 = = /2 (г) устанавливают взаимно однозначное и непрерывное со­ ответствие между границей 7 области Qи окружностями |wi| = = 1 и |гУ2| = 1 соответственно.

Так как при конформном отображении устанавливается вза­ имно однозначное соответствие, то тем самым установлено и взаимно однозначное соответствие между точками единичных кругов \wi\ ^ 1 и |гс?21 ^ 1- Значит, установленные соответствия определяют аналитическую функцию W2 = (p(wi), осуществля­ ющую конформное отображение единичного круга |гих| < 1 на единичный круг |гог| < 1 , причем

</?(0)=0, |v>(wx)||Wl|=i = 1*

Заметим, что, кроме того, в силу взаимно однозначного соответ­ ствия областей |гих| < 1 и |гиг| < 1 имеет место условие

(p(wi) ф 0 при гУх Ф 0.

Вычисляя значение производной awi по правилу определения

производной от сложной функции, получаем

положительным действительным числом. Рассмотрим вспомога­

Очевидно, функция ip{wi) является однозначной аналитической функцией в области 0 < |гох| < 1. Точка w\ —0 — устранимая особая точка этой функции. Доопределим ^(^х) при Щ = 0 по непрерывности. Разложим (p(w\) в окрестности гох = 0 в ряд Тейлора:

В силу принципа максимума и минимума модуля аналитической функции из (6.19) следует, что

\Ф(т)\ = 1 при |гох| ^ 1,