книги / Теория функций комплексной переменной

соответственно1), откуда и следует высказанное утверждение. Подчеркнем, что для существования криволинейных интегралов (1.35), а тем самым и интеграла (1.34) по комплексной перемен­ ной достаточно лишь кусочной непрерывности функций и и v действительных переменных. Это означает, что интеграл (1.34) существует и в случае неаналитической функции / (гг), если эта функция является кусочно непрерывной.

Итак, интеграл (1.34) представим в виде

Это соотношение может само служить определением интегра­ ла от функции f(z) по кривой С. Из него следует ряд свойств, являющихся очевидным следствием соответствующих свойств криволинейных интегралов:

c

где ds —дифференциал длины дуги кривой (7 , а интеграл, стоя­ щий справа, является криволинейным интегралом первого рода. Действительно, в силу неравенства треугольника имеем

шах |Д£|-»0 2=1'

п

1) Определение криволинейных интегралов и теорему существования см. вып. 2.

44 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

теграл первого рода по бесконечной кривой С называется схо­ дящимся, если существует предел последовательности интегра­

лов f /(С) п0 любой последовательности конечных кривых

сп

Сп, составляющих часть С, при Сп, стремящихся к С, причем этот предел не зависит от выбора последовательности {Сп}. Ес­ ли лишь при определенном выборе последовательности {Сп} су­

ществует предел последовательности интегралов f f(C)d(, то

сп

несобственный интеграл называется сходящимся в смысле глав­ ного значения.

В дальнейшем мы будем рассматривать интегралы от функ­ ций, аналитических в некоторой ограниченной области, причем нас в основном будет интересовать тот случай, когда границей области является кусочно гладкая замкнутая кривая, не име­ ющая самопересечений. Кусочно гладкую замкнутую кривую, не имеющую точек самопересечения, будем называть замкну­ тым контуром. Если функция z(t) (а ^ t ^ /3) задает пара­ метрически замкнутый контур, то она удовлетворяет условию z(ti) Ф z(tk) при U Ф tk, за исключением случая ti = a, tk = = р. Интеграл (1.34) по замкнутому контуру часто называется контурным интегралом.

2 . Теорема К ош и . Поскольку значение контурного ин­ теграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве полоэюительного направления обхода контура прини­ мать направление, при котором внутренняя область, ограни­ ченная данным замкнутым контуром, остается слева от на­ правления движения. Интегрирование в положительном на­ правлении будем обозначать символом f }(z)dz или просто

/ f(z) dz, интегрирование в отрицательном направлении — сим-

С -

Свойства интегралов по замкнутому контуру от функций, аналитических внутри области, ограниченной данным конту­ ром, во многом определяются известными свойствами криволи­ нейных интегралов второго рода1). Как известно2), для криво­

*) См. вып. 2. Напомним, что по принятому нами определению контуры интегрирования всегда являются кусочно гладкими кривыми.

2) В вып. 2 эта теорема доказана при дополнительном условии ограничен­ ности частных производных функций P H Q B области Q, введенном с целью облегчения доказательства. В случае кусочно гладкой границы это условие может быть снято с помощью дополнительного предельного перехода. Мы здесь не будем приводить подробное доказательство, а ограничимся лишь данным замечанием.

линейных интегралов по замкнутому контуру имеет место сле­ дующее утверждение: если функции Р(ж, у) и Q(x, у) непрерыв­

ны в замкнутой области Q, ограниченной кусочно гладким кон­ туром С, а их частные производные первого порядка непрерыв­ ны в Q, то

c G

Перейдем теперь к доказательству основного положения дан­ ного параграфа.

Теорема 1 .5 (теорема Коши). Пусть в односвязной области Q задана однозначная аналитическая функция f(z). Тогда интеграл от этой функции f(z) по любому замкнуто­ му контуру Г, целиком леэюащему в области G, равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно формуле (1.36)

Так как функция f(z) — аналитическая всюду внутри контура Г, то функции и(х, у) и v(x, у) в области, ограниченной этим кон­ туром, обладают непрерывными частными производными пер­ вого порядка. Поэтому к криволинейным интегралам, стоящим в правой части последнего равенства, можно применить форму­ лу (1.47). Кроме того, частные производные функций и(х,у) и v(x, у) связаны соотношениями Коши-Римана. Поэтому

что и доказывает утверждение теоремы.

Итак, теорема 1.5 устанавливает факт равенства нулю инте­ грала от аналитической функции по любому замкнутому кон­ туру, целиком лежащему в односвязной области ее аналитич­ ности. При дополнительном условии непрерывности функции в замкнутой области данное утверждение справедливо и для замкнутого контура, являющегося границей области аналитич­ ности. Последнее утверждение фактически является несколько видоизмененной формулировкой теоремы Коши, но ввиду его важности для практических приложений мы выделим это утвер­ ждение в отдельную теорему.

Теорема 1 . 6 (вторая формулировка теоремы Коши). Если функция f(z) является аналитической функцией в одно­

Последнее равенство имеет место в силу независимости значе­ ния интеграла, определяющего функцию Ф(г), от пути интегри­ рования и (1.38). Выберем в качестве пути интегрирования в последнем интеграле прямую, соединяющую точки z и z + Az. Такой путь интегрирования является удобным, поскольку имеет

z + A z

место очевидное соотношение f d( = Az. Оценим выражение

Z

В силу непрерывности функции f(z) в точке z для любого поло­ жительного числа е может быть указано такое значение 6 > О,

Итак функция Ф(г), определенная интегралом (1.50), во всех точках области Q имеет непрерывную производную (функция f(z) по условию теоремы непрерывна в Q). Тем самым Ф(г) яв­ ляется аналитической функцией в области Q.

Доказанная теорема позволяет ввести понятие неопределен­ ного интеграла функции комплексной переменной. Аналитиче­ ская функция Ф(г) называется первообразной функции f(z) в

области Q, если в этой области имеет место соотношение Ф'(;г) = = f{z). Очевидно, функция f(z) имеет множество различных первообразных, но, как легко доказать, все первообразные этой функции различаются между собой лишь постоянными слагае­

мыми1) . Совокупность всех первообразных функции f(z) на­ зывается неопределенным интегралом от функции f(z).

*) Действительно, так как Ф'(z) = Фi(z) —Ф'2(г) = 0, где ФДг) и Ф2^) суть различные первообразные функции /(z), то из (1.21) следует, что все частные производные действительной и мнимой частей функции Ф(г) то­ ждественно равны нулю, откуда по известной теореме анализа (см. вып. 1, гл. 8) получим Ф(г) = const.

Так же, как и в случае функции действительной переменной, имеет место формула

f H Q d C ^ F W - F iz i) ,

где F(z) — любая первообразная функции f(z). Действительно, интеграл, стоящий слева, не зависит от пути интегрирования. Поэтому его можно представить в виде

/ т < к = | / к к - / я с к ,

где ZQ — произвольная точка области G- Согласно (1.50) каж­ дый из интегралов в правой части этой формулы представляет собой значение определенной первообразной в соответствующих точках, а так как все первообразные различаются лишь на по­ стоянную, то безразлично, какую первообразную мы подставим

вданную формулу.

Вкачестве существенного для дальнейшего примера рассмо­ трим функцию

(1.52)

Так как подынтегральная функция является аналитической на всей комплексной плоскости z, за исключением точки z —0, то выражение (1.52) имеет смысл при условии, что кривая инте­ грирования не проходит через точку z —0. При этом в любой односвязной области Qкомплексной плоскости, не содержащей точку z — 0, функция f(z) является однозначной аналитиче­ ской функцией z, не зависящей от выбора пути интегрирования в формуле (1.52). В качестве такой области будем рассматривать полную комплексную плоскость z, разрезанную по отрицатель­ ной части действительной оси, т. е. область —ж< axgz < ж. Бу­ дем считать, что путь интегрирования в формуле (1.52) лежит целиком в области —ж< axgz < ж, т. е. не пересекает разре­ за и не проходит через точку z —0. Тогда для действительных положительных значений z —х, выбрав в качестве пути инте­ грирования в формуле (1.52) соответствующий отрезок действи­ тельной оси, получим

То есть для положительных значений своего аргумента функ­ ция f(z) совпадает с логарифмической функцией действитель­

§6. Интеграл Коши

1. Вывод формулы Коши. В предыдущем параграфе мы доказали теорему Коши. Эта теорема влечет за собой ряд важных следствий, в частности, позволяет установить опреде­ ленную связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными зна­ чениями этой функции. К установлению данного соотношения мы сейчас и перейдем.

Пусть функция f(z) является аналитической в односвязиой области Q, ограниченной контуром С. Возьмем произвольную внутреннюю точку ZQ и построим замкнутый контур Г, целиком лежащий в Qи содержащий точку ZQ внутри себя. Рассмотрим вспомогательную функцию

Функция (p(z), очевидно, является аналитической функцией всюду в области Q, за исключением точки ZQ. Поэтому, если мы в области Q возьмем такой замкнутый контур 7 , лежащий внутри Г, чтобы точка ZQ попала внутрь области, ограниченной контуром 7 , то функция ip(z) будет аналитической в двухсвяз­ ной области Q*, заключенной между контурами Г и 7 . Соглас­ но теореме Коши интеграл от функции ip(z) по кривой Г + 7