книги / Теория функций комплексной переменной

72 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГЛ. 2

Рассмотрим точную верхнюю грань R расстояний \z — ZQ\ от

Если i£ ф оо, то во всех точках z\ удовлетворяющих условию \z' —ZQ\>R , данный степенной ряд расходится. Пусть R строго больше нуля, тогда наибольшей областью сходимости данного ряда является круг \z —ZQ\< R. Всюду вне этого круга ряд рас­

ходится, в точках границы \z— ZQ\= R он может как сходиться, так и расходиться.

Область \z—ZQ\ < R (R > 0) называется кругом сходимости степенного ряда, а число R — его радиусом сходимости.

Итак, мы установили Следствие 2 . Для всякого степенного ряда существует та­

кое число R, что внутри круга \z —zo\ < R данный степенной ряд сходится, а вне этого круга расходится.

В круге \z —ZQ\^ р < R любого радиуса р, меньшего, чем ра-

п = 0

номерно. Отметим, что радиус сходимости степенного ряда в зависимости от вида его коэффициентов может иметь любое значение в пределах от 0 до оо. Первый предельный случай бу­ дет соответствовать ряду, сходящемуся лишь в точке Z Q , вто­

рой — сходящемуся на всей комплексной плоскости. Примеры соответствующих рядов уже были приведены. Радиус сходимо­ сти степенного ряда может быть определен через его коэффи­ циенты Сп.

Следствие 3. Внутри круга сходимости степенной ряд схо­ дится к аналитической функции. Действительно, члены степен­ ного ряда un(z) = Cn(z—zo)n представляют собой функции, ана­ литические на всей комплексной плоскости, ряд сходится рав­ номерно в любой замкнутой подобласти круга сходимости. Сле­ довательно, по первой теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция.

Следствие 4. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда. Это свойство также явля­ ется прямым следствием теорем Абеля и Вейерштрасса.

Следствие 5. К о эф ф и ц и ен ты степ ен н о го ряда

оо

^ 2 Cn(z — zo)n выражаются через значения суммы ряда f(z) и

п —0

ее производных в центре круга сходимости по формулам

74 РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ГЛ. 2

V\Cn\ \z2 - z o\ > (l - e)\z2 - Zo\ = 1

для бесконечного множества значений п. Отсюда \cn(z2 —ZQ)u\> 1 , что на основании необходимого признака сходимости свидетель-

00

ствует о расходимости ряда ^ °n(z2 ~ ^о)п-

71=0

За м е ч а н и е . Мы провели доказательство для случая

О< I < оо. Рассмотрим теперь предельные случаи.

00

При I —0 ряд ^2 °n(z — zo)n сходится в любой точке z, т. е.

71=0

i? = оо. Действительно, в этом случае для любого е > 0 может быть указано такое число N, начиная с которого у/\сп\ < е.

Выбрав в качестве е число 1—-—г, где z — произвольная точка

Iz — Zo\

комплексной плоскости и 0 < q < 1 , получим \cn{z — zo)n\ < qn,

При I = оо ряд cn(z —Z0)n расходится в любой точке

71=0

z ф zo, т. е. R = 0. Действительно, в этом случае для любо­ го числа М найдется бесконечно много коэффициентов Сп та­ ких, что у/\сп\ > М. Рассмотрим произвольную точку z ф zo и выберем М так, чтобы M\z —ZQ\ = q > 1. Тогда бесконечное

ОО

множество членов ряда Cn(z —zo)n удовлетворяет условию

71=0

\cn(z — zo)n\ > 1 , что и доказывает его расходимость.

справедлива при любом значении I.

В качестве примера, существенного для дальнейшего, рас-

ОО

смотрим степенной ряд J2 (z ~ zo)n, все коэффициенты Сп кото-

71=0

рого равны 1 . По признаку Даламбера получим, что данный ряд сходится в круге \z — zo\ < 1 к некоторой аналитической функ­ ции. Чтобы найти эту функцию, применим прямое определение суммы ряда как предела частичных сумм:

Здесь мы воспользовались, очевидно, справедливой и в области комплексных чисел формулой суммы геометрической прогрес­ сии с конечным числом членов и возможностью предельного

означает эквивалентность понятий аналитической функции, как функции, бесконечное число раз дифференцируемой, и функ­

ции, представимой в виде суммы степенного ряда1). Последнее имеет не только большое значение для построения теории ана­ литических функций, но и находит широкое применение при ре­ шении многочисленных прикладных вопросов.

Заметим, наконец, что если функция f(z) является анали­ тической в области Q и ZQ — внутренняя точка этой области,

этой функции не меньше, чем расстояние от точки zo до грани­ цы области Q.

П р и м е р о в качестве простейшего примера рассмотрим разложения в ряд Тейлора функции f(z) = . 1- - . Эта функ-

ция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек z\^ = ±г, в которых знаменатель дро­ би обращается в нуль. Поэтому в любом круге на комплексной плоскости, не содержащем точек z\%i —±г, эта функция в силу теоремы 2.6 может быть разложена в ряд Тейлора. Начнем с

круга \z\ < 1. При условии \z\ < 1 выражение 1 -2 может рас-

сматриваться как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому в силу (2.10)

71=0

что и дает искомое разложение. Заметим, что радиус сходимо­ сти ряда (2.17) равен 1 , т. е. определяется расстоянием от цен­

тра разложения до границы области аналитичности функции

/м =1 +1 z*‘

х) Заметим, что аналогичная эквивалентность для функций действитель­ ной переменной не имеет места. Действительно, из существования на от­ резке [а, 6] всех производных функции /(х) еще не следует возможность

хо € [а, Ь], сходящийся на всем отрезке [а,Ь]. Например, функция /(х) =

=-—— - при любом действительном х имеет производные всех порядков,

1 + хг

ОО

однако при хо = 0 степенной ряд ^ (—1)пх2п сходится к данной функции

71=0

лишь на интервале —1 < х < 1, а не на всей действительной оси х. Подроб­ нее о разложении функций действительной переменной в степенные ряды см. вып. 2, гл. 8.

лора в круге \z — 1 | < у/2. Определение коэффициентов Сп ря-

ОО

да X) °n(z —1 )п по формуле (2.16) в данном случае связано

п=0

с довольно громоздкими вычислениями. Поэтому, представив

справедливой в данном случае при условии \z—l\ < \/2 , получим

С помощью показательной формы записи комплексных чисел

Как следует из формулы Коши-Адамара, радиус сходимости

ряда (2.18) равен у/2 , т. е. опять определяется расстоянием от центра разложения до границы области аналитичности рассма­ триваемой функции.

П р и м е р 2. В качестве следующего примера рассмотрим

денной в гл. 1 (с. 49). Выше было установлено, что эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости с раз­ резом по отрицательной части действительной оси, а следова­ тельно, и внутри круга \z — 1 | < 1 . Полагая ZQ = 1 и вычисляя коэффициенты Сп по формуле (2.16), получаем

Как легко убедиться с помощью признака Даламбера, кругом сходимости ряда (2.19) является круг \z — 1| < 1 .

к пределу а, принадлежащему той же области, то функция f(z) тоэюдественно равна нулю в области Q.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как а € Q, то функцию f(z) можно разложить в степенной ряд в окрестности данной

ОО

точки: f(z) = X) °n(z —а)п, причем радиус До сходимости дан-

п=0

ного ряда не меньше расстояния от точки а до границы обла­ сти. Из определения непрерывности функции f(z) следует, что f(a) = 0. Отсюда следует, что со = 0, и разложение функ­

ции f(z) в окрестности z = а имеет вид

оо

/ М = (* - a )/iM , где fi{z) = ^ cn+i(z - а)п.

п=0

Будем предполагать, что все точки последовательности {zn} от­ личны от а. Это не уменьшает общности наших рассмотрений, так как только одна из этих точек могла быть равна а. В си­ лу последнего условия fi(zn) = 0, и по определению непре­ рывной функции fi(a) = 0. Отсюда с\ = 0, и разложение fi{z) в окрестности а принимает вид : fi{z) = (z —a)f2 (z), где

ОО

/ 2(2) = Сп+г{z~a)n. Аналогично предыдущему получим, что

п=0

и / 2(a) = 0, т. е. С2 = 0. Продолжая неограниченно данный про­ цесс, получим, что все коэффициенты Сп в разложении f(z) в степенной ряд

ОО

71=0

в окрестности точки а равны нулю. Отсюда следует, что f(z)=Q внутри круга \z —а\ < RQ.

Обратимся теперь к доказательству1) тождественного ра­ венства функции f(z) нулю во всей области Q. Достаточно по­ казать, что f(z\) = 0, где z\ — произвольная точка области Q, лежащая вне круга \z —а\ < RQ. Д л я э т о г о соединим точки а и z\ спрямляемой кривой L, целиком лежащей в Qи отстоящей от ее границы на расстояние d > 0. Поскольку любую точку круга \z —a\ < RQ, лежащую внутри области Q, можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z), то, выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z —а\ пересечения кривой L с окружностью \z —a\ = Ro, получим, что f(z) = 0 внутри круга \z —oi| < R\, где R\ ^ d. Продолжая аналогичным образом, покроем всю кривую L конечным чис­ лом кругов радиусов, не меньших d, внутри которых f(z) = 0.

х) Это доказательство проводится аналогично доказательству на с. 55.