книги / Теория функций комплексной переменной

Однако, как легко видеть, при незначительном изменении фор­ мулировок этих лемм они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изолированных особых точек функции f(z). Потребуем, чтобы существовала такая неограниченно возраста­ ющая при 71 —^ оо последовательность чисел Rm что на дугах полуокружностей С'^ в верхней полуплоскости выполнялись бы

условия (5.29) или (5.37) соответственно. Тогда утверждения (5.30) или соответственно (5.36) лемм 1 и 2 будут иметь место при условии, что предельный переход в рассматриваемых инте­ гралах совершается по последовательности дуг C'Rn при п —> оо.

Очевидно также, что в случае существования соответствующих интегралов мы можем распространить рассматриваемые мето­ ды интегрирования и на случай функций с бесконечным числом изолированных особых точек. Важным классом таких функций являются так называемые мероморфные функции.

Функция комплексной переменной f(x) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов. Как легко видеть, в любой ограниченной области комплексной плоскости мероморфная функция имеет конечное число особых точек. Действительно, если бы число особых точек

вограниченной области было бесконечным, то согласно теореме

1.2в этой области существовала бы предельная точка данно­ го множества, которая тем самым не была бы уже изолирован­ ной особой точкой, что противоречит условию. Примерами,ме-

роморфных функций являются дробно-рациональные функции, тригонометрические функции tgz, sec 2 .

При доказательстве теорем 5.3 и 5.4 мы предполагали, что функция f(x) не имеет особых точек на действительной оси. Однако незначительные дополнительные рассмотрения позволя­ ют применять доказанные выше теоремы к вычислению несоб­ ственных интегралов и в том случае, когда функция f(x) имеет несколько особых точек на действительной оси.

Проиллюстрируем высказанное утверждение на простом примере.

П р и м е р 4. Вычислить интеграл 00

(5.48)

о

Воспользовавшись формулой Эйлера и свойством четности подынтегральной функции, осуществим формальное преобразо­ вание ~

(5.49)

X

—ОО

§2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 143

Заметим, что интеграл Ii имеет смысл лишь как главное значе­ ние несобственного интеграла второго рода1):

ОО R

Рассмотрим в верхней полуплоскости Im z ^ 0 замкнутый контур Г, состоящий из отрезков действительной

заданной на положительной части действительной оси 0 < х < оо, в области, ограниченной контуром Г, особых точек не имеет. Поэтому на основании теоремы Коши

(5.51) Последнее слагаемое правой части (5.51) стремится к нулю при R —)■ оо в силу леммы Жордана. Рассмотрим третье слагаемое. Заметив, что в этом интеграле полуокружность С'р проходится

в отрицательном направлении (по часовой стрелке), и сделав замену переменной интегрирования £ = рег^} получим

о

Подынтегральная функция в (5.52) является непрерывной функцией параметра р, и при р -> 0 ее предел равен 1. Поэтому

*) См. вып. 2.

146 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. 5

Поэтому

R

так как в окрестности точки z —0 имеет место оценка |/(^)| < М\ и а > 0.

Перейдя к пределу в (5.59) при р —> 0 и Я —>• со, на основании (5.60)—(5-62) окончательно получим

о

Подынтегральная функция в (5.64) удовлетворяет всем пе­ речисленным выше условиям. Поэтому

2° Интегралы вида*)

Пусть функция /(т), заданная на отрезке действительной оси (0,1), может быть аналитически продолжена на всю комплекс­ ную плоскость. Пусть ее аналитическое продолжение является однозначной аналитической функцией, за исключением конеч­ ного числа изолированных особых точек zk (к = 1 , 2 , . . . , iV), не лежащих на отрезке 0 ^ х ^ 1, а точка z = оо — устра­ нимая особая точка функции f(z). Тогда интеграл (5.66) легко может быть вычислен методами, аналогичными разобранным

О Как легко видеть, данный интеграл с помощью замены у = ------

1 ■*—«С

может быть сведен к интегралу типа (5.57), однако в ряде случаев проще произвести непосредственное вычисление интеграла (5.66), что и делается в этом пункте.

§2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 147

выше. Заметим, что аналитическое продолжение подынтеграль­ ной функции Ф(г) — za~l{1 —z)~af(z) имеет две точки раз­ ветвления: z = 0 и z = 1. Точка z —оо является устранимой особой точкой функции Ф(г). Действительно, полный обход по окружности достаточно большого радиуса, содержащий внутри

жащей внутри отрезок [0,1] и все особые точки функции f(z) (рис. 5.6). По основной теореме теории вычетов

= 2m Выч [zQ~l(1 —z)~af(z),zk]. (5.67)

Jb=l

Рассмотрим каждое слагаемое в правой части равенства (5.67). По условию z —оо — устранимая особая точка f(z), т.е. в окрест­ ности z = oo имеет место разложение

где ао = lim f(z).

z—>оо

являющуюся указанной выше ветвью функции Ф(z)/f(z). Точка

z = оо является правильной точкой выбранной ветви функции <p{z)] поэтому в окрестности точки z = оо функция ip(z) может

быть представлена в виде

Ф ) = + (5.70) где 'ipi(z) — ограниченная аналитическая функция в окрестно­ сти точки z —оо. Отсюда для разложения функции Ф(я) в ряд Лорана в окрестности точки z = оо получаем выражение

где ф(г) — ограниченная аналитическая функция в окрестности точки z = оо. Из (5.71) находим

Так как при обходе точки z = 1 по часовой стрелке аргумент выражения (1 — z) меняется на —27т, то аргумент функции Ф(г) на нижнем берегу разреза больше аргумента на верхнем берегу разреза на 2 ка. Поэтому

Как легко показать с помощью оценок, аналогичных (5.62), при О< а < 1 интегралы по малым окружностям С'ри Ср стремятся

к нулю при р -> 0. Тогда, переходя в (5.67) к пределу при р -> О, получаем

N

Л= 1

где ao = lim /(z). z->оо

Так как выполнены все сформулированные выше условия и ао = 1, то

sin7га’

3° Интегралы вида

Пусть функция f(x) является четной функцией и может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость Im z > О, причем ее аналитическое продолжение удовлетворяет услови­ ям леммы 1. Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый контур Г, состоящий из отрезков действительной оси [—Л, —р], [p,jR] и соединяющих их полуокружностей С'р, \z\ —р, и C'R,

\z\ — R. Функция Ф(г), являющаяся ветвью полной аналити­ ческой функции и совпадающая с f(x)\nx на положительной части действительной оси (х > 0), на отрицательной части дей­ ствительной оси при z = \z\e™ = хег1Г= —х (х > 0) принимает значение

Ф(я) I*=®е» = /0*0 Ь (хеш) = /(s)[lns + гтг].

Поэтому

R R

N

+ f Ф(С)^С = 2тгг^Выч[/(г)1п^^]. (5.79)

С- к=1

1) Заметим, что рассматриваемый интеграл является частным случаем В-функции (см. вып. 2):

150 ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ ГЛ. 5

Рассмотрим второе слагаемое в правой части (5.79)

Проведя аналогичные оценки, легко показать, что и последнее слагаемое в правой части (5.79) стремится к нулю при р —> 0.

ОО

Наконец, несобственный интеграл f f(x) dx существует и в силу

§3. Логарифмический вычет

1. Понятие логарифмического вычета. Пусть в обла­ сти Qзадана однозначная функция /(z), аналитическая всюду в Q, за исключением конечного числа изолированных особых то­

чек Zk (к = 1,... ,р), причем все z*; являются полюсами. Пред­ положим, что на границе Г области Q нет ни нулей, ни особых точек функции f{z), и рассмотрим вспомогательную функцию

Функцию (p(z) часто называют логарифмической производной

функции f(z), а вычеты функции (p(z) в ее особых точках zm (m = 1,... ,М) — логарифмическими вычетами функции f(z).

Определим особые точки функции (p(z) в области Q. В силу об­ щих свойств аналитических функций ясно, что особыми точ­ ками функции <p(z) будут нули Zk (к = 1 , . .. ,п) и полюсы Zk (к = 1,... ,р) функции /(z). Найдем значение вычета функции