книги / Теория функций комплексной переменной

Г

Интеграл, стоящий в правой части (1.59), выраэюает значе­ ние аналитической функции f(z) в некоторой точке ZQ через ее значения на любом контуре Г, леэюащем в области аналитич­ ности функции f(z) и содержащем точку ZQ внутри. Этот интеграл и называется интегралом Коши. Формула (1.59) ча­ сто называется формулой Коши.

З а м е ч а н и е 1 . В формуле (1.59) интегрирование произ­ водится по замкнутому контуру Г, целиком лежащему в области аналитичности функции f(z) и содержащему внутри точку ZQ. При дополнительном условии непрерывности f(z) в замкнутой

области Qаналогичная формула имеет место в силу теоремы 1.6

ипри интегрировании по границе С области Q.

За м е ч а н и е 2. Проведенные рассмотрения остаются справедливыми и в случае многосвязной области Q. При этом для вывода основной формулы (1.59) следует рассматривать та­ кой замкнутый контур Г, который может быть стянут к точке ZQ, все время оставаясь в области Q. Тогда легко показать, что

при условии непрерывности функции f(z) в замкнутой области

G с кусочно гладкой границей формула (1.59) остается спра­ ведливой при интегрировании в положительном направлении по полной границе С данной многосвязной области.

2 . Следствия из формулы Коши. Сделаем ряд заме­ чаний по поводу формулы (1.59).

целиком лежащему в области Q аналитичности функции f{z), имеет смысл для любого положения точки ZQ на комплексной плоскости при условии, что эта точка не лежит на контуре Г. При этом, если точка ZQ лежит внутри Г, то значение интегра­ ла равно f(zo); если точка ZQ лежит вне Г, значение интеграла равно нулю, поскольку в этом случае подынтегральная функция является аналитической всюду внутри Г. Итак,

еле не существует, однако при дополнительных требованиях на

по условию является непрерывной в замкнутой области. Поэто­ му она достигает своего максимального значения М в какойлибо точке (гго, уо) данной области. То есть

Предположим, что точка ZQ —внутренняя точка области Q. По­ строим в области Q круг Ко некоторого радиуса R с центром в точке zo и запишем формулу среднего значения для ZQ и R.

Из этого соотношения в силу непрерывности функции /(О на контуре интегрирования и неравенства (1.63) следует, что

Действительно, по (1.63) функция |/(С)| не может быть больше М ни в одной точке контура интегрирования. Если мы пред­ положим, что в какой-либо точке Со контура интегрирования функция |/(Со)| строго меньше М , то из непрерывности |/(С)| следует, что |/(С)| строго меньше М и в некоторой окрестности точки Со» т . е. можно указать отрезок [^1 ,^ 2] интегрирования, на котором

что противоречит (1.64). Итак, соотношение (1.65) действитель­ но имеет место. Это означает, что на окружности радиуса R с центром в точке ZQ функция \f(z)\ имеет постоянное значение, равное своему максимальному значению в области Q. То же бу­ дет иметь место и на любой окружности меньшего радиуса с центром в точке ZQ, а следовательно, и во всем круге Ко. Те­ перь легко показать, что это же значение функция \f(z)\ имеет и в любой другой внутренней точке z* области Q. Для этого

§7 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 55

соединим точки ZQ и Z * кривой С, целиком лежащей в обла­ сти Q и отстоящей от ее границы не меньше чем на некоторое положительное число d. Возьмем точку z\, являющуюся послед­ ней общей точкой кривой С и круга KQ (рис. 1.10). Поскольку |/(zi)| = М , то, повто­

ряя проведенные выше рассуждения, покажем, что внутри круга К\ С С G с центром в точке z\ радиуса R\ ^ d модуль функции f(z) принима­ ет постоянное значение, равное максимальному значению М. Взяв на кривой С точку Z2 iявля­ ющуюся последней об­ щей точкой кривой С и круга К\, и продолжая данный процесс, мы в

результате конечного числа шагов получим, что внутри кру­ га Кп, которому принадлежит точка z*, имеет место равенство |/(z)| = М , что и доказывает высказанное утверждение.

Итак, мы показали, что если \f(z)\ принимает максимальное значение М в некоторой внутренней точке области, то \f(z)\=M во всей области -1).

Таким образом, если функция \f(z)\ не является постоян­ ной величиной в области Q, то она не может достигать своего максимального значения во внутренних точках Q. Но так как функция, непрерывная в замкнутой области, достигает своего максимального значения в какой-либо точке этой области, то в последнем случае функция \f(z)\ должна достигать своего мак­ симального значения в граничных точках.

В качестве последнего замечания отметим, что если анали­ тическая в области Q функция f(z) не равна нулю ни в одной точке этой области и непрерывна в Q, то имеет место прин­ цип минимума модуля этой функции. Для доказательства это­

го утверждения достаточно рассмотреть функцию cp(z) —ущ и

воспользоваться принципом максимума модуля этой функции.

г) Как следует из соотношений (1.20), в этом случае и аргумент анали­ тической функции /(г) также сохраняет постоянное значение в области Q, откуда следует, что если модуль аналитической функции постоянен в неко­ торой области, то эта функция тождественно равна постоянной в данной области.

§7. Интегралы, зависящие от параметра

1. Аналитическая зависимость от параметра. Рас­ сматривая интеграл Коши, мы видим, что подынтегральная функция зависит от двух комплексных переменных: перемен­ ной интегрирования £ и фиксированного значения переменной

ZQ. Тем самым интеграл Коши является интегралом, зависящим от параметра ZQ. Естественно поставить вопрос об общих свой­ ствах интегралов по комплексной переменной, зависящих от па­ раметра.

Пусть задана функция двух комплексных переменных1) </?(z, (), однозначно определенная для значений комплексной пе­ ременной z = х+iy из области Qи для значений комплексной пе­ ременной £ = £+Й7, принадлежащих некоторой кусочно гладкой кривой С. Взаимное расположение области Qи кривой С может быть совершенно произвольно. Пусть функция двух комплекс­ ных переменных tp(z, £) удовлетворяет следующим условиям:

а) Функция (p(z, £) при любом значении £ Е С является ана­

литической функцией z в области Q.

б) Функция у?(;г, £) и ее производная ^“ (^>0 являются

непрерывными функциями по совокупности переменных z,( при произвольном изменении z в области Q и £ на кривой С.

Условие б) означает, что действительная и мнимая части

функции ^ ( JZ, £) непрерывны по совокупности переменных

я» 2/, L *?•

Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от

Естественно поставить вопрос о свойствах функции F(z). Ока­ зывается, что при сделанных предположениях относительно функции (p(z, £) функция F(z) является аналитической функ­ цией комплексной переменной z в области Q, причем производ­ ную функции F(z) можно вычислять при помощи дифферен­ цирования под знаком интеграла.

*) Функция двух комплексных переменных 2, £ определяется законом, ставящим в соответствие каждой паре значений z, £ из области их опре­ деления некоторое комплексное число w. Подробнее о функциях многих комплексных переменных см. Приложение 3.

Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим кри­ волинейный интеграл

Щх,у)= f u(x,y,Z,r))d£-v{x,y,ti,r))dr).

С

Так как, по предположению, функции и и v обладают частными производными по ж и у, непрерывными по совокупности пере­ менных, то частные производные функции U(x,y) по перемен­ ным х, у существуют и их можно вычислить при помощи диф­ ференцирования под знаком интеграла1) :

Ux(x, у) = f uxd£ - vx dr),

С

Uy(x,y)= f Uydt-Vydr).

C

Сами функции Ux и Uyявл яются непрерывными функциями пе­ ременных ж, у в области Q2). На основании аналогичных свойств функции V(x,у) и используя условия Коши-Римана для функ­ ции (p(z, С), получим

Таким образом, для F(z) выполнены условия Коши-Римана (частные производные функций U(x,y) и К(ж, у) непрерывны и связаны соотношениями (1.67)), что и доказывает аналитич­ ность f(z) в области Q.

Отсюда следует возможность вычисления производной от инте­ грала путем дифференцирования подынтегральной функции по

параметру. При этом, если ^ удовлетворяет тем же условиям

*) Об условиях дифференцируемости по параметру интеграла, зависяще­ го от параметра, см. вып. 2, гл. 10.

2) См. вып. 2, гл. 10.

а) и б), что и (p(z,Q, то F(z) также является аналитической функцией в области Q.

2 . Существование производных всех порядков у ана­ литической функции. Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные харак­ теристики аналитических функций. Как мы видели, значение функции f(z), аналитической в некоторой области Q, ограни­

ченной контуром Г, и непрерывной в замкнутой области Q, во внутренних точках этой области может быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:

Г

Рассмотрим в области Q некоторую замкнутую подобласть Q, расстояние всех точек которой от границы Г области Q больше некоторого положительного числа d (\z — £| ^ d > 0). Функция

4>(z>С)

№

С - *

является аналитической функцией z в области Q', причем ее

непрерывной функцией своих аргументов. Тем самым в силу об­ щих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутрен­ них точках области Q' производная f(z) может быть представ­ лена в виде

(1.70)

Интеграл (1.70) опять является интегралом, зависящим от па­ раметра, причем его подынтегральная функция обладает те­ ми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (1.69). Следовательно, f'(z) является аналитической функцией z в области Q\ причем для ее производной справедлива формула

г

Так как для любой внутренней точки z области Сможет быть построена соответствующая замкнутая подобласть Q', то форму­ лы (1.70) и (1.71) справедливы в любой точке z. Имеет место и более общая теорема.

Теорема 1.9. Пусть функция f(z) является анаштической в области Q и непрерывной в замкнутой области Q. Тогда

60 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем значение производной f f(z) в произвольной точке z по формуле (1.70):

= 2Id f (C-l) 2 d<*:

CR

причем интегрирование будем вести по окружности некоторого радиуса R с центром в точке z, т. е. |£ — z\ = R. По условию тео­ ремы существует такая константа М , что |/(С)| ^ М независимо от R. Поэтому

CR

Так как радиус R можно выбрать сколь угодно большим, a f'(z) не зависит от Л, то \f{z)\ = 0. В силу произвольности выбора точки z заключаем, что \f(z)\=0 на всей комплексной плоско­ сти. Отсюда следует, что f(z) = const.

В § 4 мы ввели тригонометрические функции комплекс­ ной переменной и показали, что они являются аналитически­ ми функциями на всей комплексной плоскости. В силу только что доказанной теоремы эти функции не могут быть равномерно ограничены на всей комплексной плоскости. Отсюда, в частно­ сти, следует, что найдутся такие значения комплексной перемен­ ной Z, для которых

Этим тригонометрические функции комплексной переменной существенно отличаются от соответствующих функций действи­ тельной переменной.