Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория функций комплексной переменной

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

28.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

§1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

231

Полученный результат находит многочисленные применения. Рассмотрим, например, решение следующей задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, линейного

с постоянными коэффициентами:.

ао2/(n) +	ai2/(n_1) +	• • • + o.ny(t) =	/(*),	(8.40)
2/(0) =	у'(0) = ...	= у(п_1)(0) =	0,	(8.41)

где f(t) — заданная при t ^ 0 функция t. Положив, что f(t) = 0 при t < 0, мы в том случае, если f(t) удовлетворяет услови ям существования изображения, можем построить изображение F(p) функции /(£). Предположим, что функция y(t), являюща яся решением задачи (8.40), (8.41), и все ее производные до п-го порядка удовлетворяют условиям существования изображения. Тогда, умножив обе части уравнения (8.40) на e~pt и проинте грировав по t от 0 до оо, в силу линейности изображения и на чальных условий (8.40) получим

Y(p){a0pn + aipn_1 + ... + an} = F(p),

где через Y{p) — f e~piy(t)dt обозначено изображение иско-

мого решения задачи (8.40), (8.41). Обозначив Рп(р) = о>оРп + + ttiрп~ 1 + ... + ап, получим

У(Р) =

(8-42)

Формула (8.42) дает достаточно простое выражение изо бражения искомого решения y(t) через известные функцииполином Рп(р), коэффициенты которого определяются уравне нием (8.40), и изображение F(p) заданной правой части урав нения. Тем самым, если мы сможем определить неизвестный оригинал y(t) по его известному изображению Yip), то зада ча (8.40), (8.41) будет решена. Ниже мы рассмотрим различные способы определения оригинала по заданному изображению, а сейчас продолжим рассмотрение еще ряда общих свойств изо

бражения.

д) и з о б р а ж е н и е и н т е г р а л а .

С в о й с т в о 5. Пусть /(<) .= Р(р), Re р > о. Тогда t

(p(t) = J* /(т) dr =	-F (p ), Re p > a.	(8.43)
о	p

Действительно, легко проверить, что функция <p{t) удовле творяет всем условиям существования изображения, причем <p(t) имеет тот же показатель степени роста, что и f(t). Вычис

232 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

лив изображение функции <p(t) по формуле (8.2), получим

		t		оо	t
		f	f(r)dT= f e~ptdt J f(r)dr.
		0		0	0
Меняя в последнем интеграле порядок интегрирования1),
получаем		00
t		00		оо	оо
f f(r)dT=		f f(r)dr f e~ptd t = ± f e~pTf(r) dr =				^F(p),
0		O		r	P 0	p
что и доказывает формулу (8.43).
Аналогичным образом может быть доказано
С в о й с т в о			5'.	Пусть f(t) = F(p), Rep > а; тогда
t	t\		tn—1
J d t i f d t 2 ...			f	f(tn)dtn =	~ F (p )} R e p > a .	(8.44)
o	o	o			p

Свойства 5 и 5' находят многочисленные применения при вы числении изображений различных функций.

Например, найдем изображение пилообразной функции f(t), предста вляющей собой периодически повторяющийся равнобедренный треугольник с основанием 2г и высотой /от. Как легко видеть, эта функция представля ет собой интеграл от 0до tот функции (8.28), изображение которой дается формулой (8.29). Поэтому

(8.45)

е) И з о б р а ж е н и е с в е р т к и . Сверткой функций Д (t)

и f2 (t) называется функция (p(t), определенная соотношением t t

¥>М = f fi(r)f2 (t -r )d T =	J fi(t -T )f2 (r)dT.	(8.46)
о	о

В справедливости последнего равенства легко убедиться, сделав

впервом интеграле замену переменной интегрирования t —т—

=t'. Имеет место следующее

С в о й с т в о 6.	Если f\(t) == Fi(p), Re р > а\, f2 (t) == F2 (p),
R ep > a2, TO
t
<p(t) = / Д М Д (t -	T) dr = Fi (p)F2 ip), Re p > max { 01,^ 2}*
0
	(8.47)

*) Возможность изменения порядка интегрирования следует из теоремы 10.9, выл. 2, выполнение условий которой в данном случае легко проверя ется.

§1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

233

Свертка функций fi(t) и /г(£) с ограниченной степенью ро ста также является функцией с ограниченной степенью роста. Действительно,

				е01Т g °j(t-T ) d T _
				M i М 2 at	a = maLx{ai, ^2}.
/7.	/7.	^	J	^	a = maLx{ai, ^2}.
/7.	/7.	^	J	^
01	—02	'	^	' \|ai —ог\|

Аналогичным образом легко проверить, что свертка функций fi(t) и / 2(2) с ограниченной степенью роста и при а\ = <12 также является функцией с ограниченной степенью роста. Сте пень роста свертки, очевидно, равна наибольшей степени роста функций f\(t) и f 2 (t). Легко видеть, что ip(t) удовлетворяет и остальным условиям существования изображения. Для вычис ления изображения свертки воспользуемся формулой (8.2) и из

меним порядок интегрирования: ):

00	t	ОО	ОО
f e	ptd t f fi(r)f2 (t -r ) d r =	j	fi(t) dr f e ptf2 (t-T)dt.

Сделав замену переменной t —т= t' во внутреннем интеграле, окончательно получим

/ h (r)f2 (t-T) dr = J e“ pr/i(r) dr f e~pt'f 2 {t') dt' = F1 {p)F2 (p)i

0	0	0
что и доказывает свойство 6.

В приложениях формула (8.47) часто используется для опре деления оригинала по заданному изображению, когда задан ное изображение удается разбить на сомножители, для которых оригиналы известны.

pcj

Например, пусть требуется найти оригинал функции F(p)

(p2+w 2)2

Ранее мы нашли (см. формулы (8.21) и (8.22)), что

= COS wt,	U)
= COS wt,	= sinwt.
Р 2 + LJ2	P 2 + U ) 2 '
Поэтому	t
t	t

F(p) = J sinOJT • cos u){t—r) dr = - sinwt.

Рассмотрим еще ряд общих свойств изображений.

х) О возможности изменения порядка интегрирования см. ссылку на с. 232.

e~pttf(t) dt =

234 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ		ГЛ. 8
ж) Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е и з о б р а ж е н и я .
С в о й с т в о 7. Пусть F(p) == f(t), Re р > а. Тогда
F'{p) == —t/(i),	Re р > а.	(8.48)

Действительно, выше мы отмечали, что производную аналити ческой функции F(p) в области ее определения Re р > а мож но вычислять, дифференцируя подынтегральную функцию в несобственном интеграле (8.2) по параметру. Проделав это, по лучим

F'(p) = “ /

что и доказывает свойство 7. Заметив, что умножение функции f(t) на любую степенную функцию tn не меняет ее степени ро ста, получим

С в о й с т в о 7'. Если F{p) == /(i), Re р > а, то
F^(p) = ( - i r t n/(t), Rе р > а .	(8.49)

Формулы (8.48) и (8.49) могут быть применены для вычис ления изображения от произведения tn на функцию /(£), для которой изображение известно. В дальнейшем мы получим об щую формулу, выражающую изображение произведения через изображения сомножителей, а сейчас рассмотрим еще одно свой ство изображений.

з) И н т е г р и р о в а н и е и з о б р а ж е н и я .
С в о й с т в о 8.	Если функция	удовлетворяет условиям
	Ъ
существования изображения и f(t) == F(p), Re р > а, то
ОО	СО
== Jе	dt = JF(q) dq,	Re p > a.	(8.50)
Обозначим
	00
	, pt f(t)		(8.51)
	Up) = f e-P4^l dt.		(8.51)
	t

По теореме 8.2 функция I(p) является аналитической в области Re р > а, причем в силу замечания на с. 224 Цоо) = 0. Найдем производную функции /(р), дифференцируя интеграл (8.51) по параметру:

ОО

1'(р) = - / e-?lf(t)dt = -F(p).

§1	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	235
§1

Отсюда, учитывая условие /(оо) = 0, получаем

роо

1(р) = 7(оо) -		J* F(q) dq —		J F(q) dq,
		OO		p
что и доказывает свойство 8.
			,	1 •	*
В качестве примера найдем изображение функции у sinшг.
UJ
Так как sin ut == —z----- т, то
рг +ш г
	ОО
7 sin u)t =	f	***	d p = ^ -	arctg	(8.52)
t	J p2 + w 2		2
	p
С помощью свойства 5 из выражения (8.52) получаем
sit = J	—П/	d r =	—^ —arctgp^ .		(8.53)
о

Функция si t носит название интегрального синуса.

и)	Последнее свойство изображений, которое будет рассмо
трено	в данном параграфе, носит название т е о р е м ы

см е щ е н и я .

Св о й с т в о 9. Если /(£) = F (p ), Re р > а, то для любого

комплексного числа Л
F(p + А) .= e ~ xtf( t ) ,	Re р > а - Re А.	(8.54)

Действительно, функция <p(t) = e~xtf( t ) , очевидно, удовлетворяет условиям существования изображения, которое по формуле (8.2) определено в области Re р > а — Re Л, но

оо	оо
f e~ pte ~ Mf( t ) d t =	f e“ (p+A)7 ( i ) dt = F(p + A),
0	0

что и доказывает теорему смещения.

Формула (8.54) может быть применена для определения изображения

произведения функции e~xt на функцию /(i), для которой изображение известно. Так, с помощью этой формулы и уже полученных изображений можно найти

teat •— 7------- > Re р > Re а ,			(8.55)
(р — а у
tneat = 7-----Re р > Re а,			(8.56)
(Р — Q!)n+1
e“ atsin w t= 7— ;—	— 2	, R e p > \|Im w\|-Rea.	(8.57)
(р + a )2	+и>2

и т.д.

236 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

В заключение данного параграфа приведем таблицу рассмо тренных свойств изображений и таблицу изображений ряда эле ментарных и специальных функций, наиболее часто используе мых в приложениях.

4. Таблица свойств изображений. Пусть f(t) = F(p). Тогда

1) £ Oi/iM .=' £		&iFi(p),		cti =	const;
i=i	i=i
2) f(at) ==	^ j	, a =		const,	a > 0;
3 ) fr(t) = ( °	’		T>J	:	fr(t) =	( p ) ;
4) /W ( 1 ) = P”	\|F (P ) -		/ (0)		/<"■ -l)(Q )l.
					J	’
5 ) ff(T)dT = lF(p);
0	v
6) f fi(T)f2(t - T ) dr =			fh (t - r)/2(r) dr =			Fi{p)F2 (p)\
0			0

7) Jrf»)(p) =• (-1 )”*"/(*);

8) J F ( p ) d p = -S f -

9) F(p + A) =' e-A</(t).

5. Таблица изображений.

1)	1 .=	Re p > 0;
'	P
2)			v > - \ ,		R ep >	0;
3)	tn =		n — натуральное,			Re p > 0;
4 )	,at _•	1	Re p > Re a;
4 )	e1** = p —a		Re p > Re a;
5)	sinu)t ==			Re p >	I Im wl;
6)	costJi.= ^ - ^ ,			R ep >	\|Im CJ\|;
7)	shA2 =	jpZTx?»		Re p >	\|Re A\|;
8)	ch A* =	т Г д 2 »		Re p >	\| Re A\|;

§2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ

237

tnzat •= (рZ%n+ 1 >

R ep Ж

а;

Ю)

t sinu)t =

^ 22^ , 2)2 >

Re р >

| Im w|;

11)

D2 —CJ2

R e p > |I m w |;

tcoswt= ф --^

12)

eAi sin oil =' ^ _ лр +

Re p >

(Re A +

| Im oi|);

13)

e^cos cjt г~ ( p -pA)»*+ Mi ’

^ p

(Re Л +

1Im u|);

14)

sin U)t

. 7Г

R ep >

|Im w|;

^ p -

| - a r c t g ^ ,

15)

2kr^t <

(2& 4- 1)т 1

l ,,

-p

- 1 ,

(2k + l)r^ t <

(2fc + 2 ) T j" ~ V

2 ’

к = 0 , 1 , 2 , ;

16)

|sinb)f| =

p2“ M2c t h g ,

R e p >

|Im u|;

17)

е- “ 212 =

^ е х

( ^

) ( 1 - ф

( ^ ) ) ;

18)

„—at

yfnt ’

y/p+ Or ’

1 9 )

20)

Jo(ctt) =

1- - - ;

V » 2 +p

2 1 )

J o ( 2 V < ) . = £ e x p ( - i ) ;

22)

(д /р гТ Т -р )”

•=i2^ r r L;

23)

si *

^ ( f ~ arctgp);

24)

ф M

•=• д

25)

1 Ф(г^) '

P Г<*у/Р.

При действительных значениях параметров, входящих в функции /(£) в формулах 17)—25), изображения соответствую щих функций заведомо определены в области Re р > 0.

238 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

§2. Определение оригинала по изображению

Вэтом параграфе мы рассмотрим методы определения ори гинала по заданному изображению, а также приведем неко торые достаточные условия, при которых заданная функция F{p) комплексной переменной р является изображением функ

ции f(t) действительной переменной t.

Во-первых, отметим, что имеются различные таблицы изо бражений наиболее часто встречающихся в приложениях функ ций, так что при решении конкретных задач часто удается най

ти в соответствующем справочнике*) выражение оригинала для полученного изображения.

Во-вторых, приведенные в предыдущем параграфе свойства изображений 1)-9) во многих случаях позволяют решить и обратную задачу построения оригинала по заданному изобра жению. В первую очередь это относится к теореме смещения, интегрированию и дифференцированию изображения и изобра жению свертки функций. Ряд примеров был уже рассмотрен в § 1, некоторые примеры будут приведены в дальнейшем.

Однако все эти методы, по существу, являются методами подбора. Основной целью данного параграфа является изложе ние общего метода построения оригинала по изображению.

1. Ф ормула М еллина. Начнем с того случая, когда по условиям задачи известно, что заданная функция F(p) комп лексной переменной р является изображением кусочно гладкой функции f(t) с ограниченной степенью роста \f(t)\ < Meat, причем значение постоянной а заданно. Требуется по заданной функции F(p) построить искомую функцию f(t). Эта задача ре шается с помощью следующей теоремы.

Теорема 8.3. Пусть известно, что заданная функция F(p) в области Rер > а является изображением кусочно гладкой функции f(t) действительной переменной t, обладающей сте пенью роста а.

Тогда

x + ioo
/W = 2^ f	eptF(p)dp, x > a .	(8.58)
X — 100
Д о к а з а т е л ь с т в о .	По условию теоремы функция

f(t) существует и нам известна ее степень роста. Рассмотрим вспомогательную функцию ip(t) = e~xtf(t), х > а. Эта функ

*) Достаточно подробные таблицы читатель может найти в книге В. А. Диткинаи А. П. Прудникова. Интегральные преобразования и опера ционное исчисление. — М .: Физматгиз, 1961. Там же приведен и подробный список справочной литературы по операционному исчислению.

§2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ

239

ция является кусочно гладкой, на любом ограниченном участке оси t имеет конечное число точек разрыва первого рода и экс поненциально стремится к нулю при t ->• оо. Она может быть представлена с помощью интеграла Фурье1)

ОООО

¥>(<) = it f

dr1-

(8.59)

—оо —оо

Подставляя в (8.59) выражение функции (p(t) через искомую функцию /(£), получаем

	ОО	ОО
e~xtf(t) = £	f	d( f e - V O fle * * - » ) Aj =
—OO		—00
			OO	0 0
			= £ /	e ^ d i f e ^ + ^ m d v , (8.60)
			—оо	0
так как / ( 77) =	О при 77 <		0.
Обозначим р = ж +			и заметим, что внутренний интеграл в

(8.60) представляет собой заданное изображение F{p) искомой функции f(t). Тогда выражение (8.60) принимает вид

оо х + гоо

/Ю = h /	е(* м0‘* ’(р К = гЬ / Л (р )Ф .
—оо	х —гоо

что и доказывает теорему. Заметим, что в формуле (8.58) инте грирование производится на комплексной плоскости р по пря мой, параллельной мнимой оси и проходящей правее прямой Re р = а. Значение интеграла (8.58), очевидно, не зависит от ве личины х при условии, что прямая интегрирования лежит пра вее прямой Re р = а.

Формула (8.58) часто называется формулой Меллина, она яв ляется в определенном смысле обратной преобразованию Лапла са (формула (8.2)), так как выражает оригинал через заданное изображение. Отметим, что поскольку мы в процессе вывода формулы Меллина от самой неизвестной функции f(t) перешли к ее интегралу Фурье, сходящемуся к функции f(t) лишь в точ ках непрерывности этой функции, то и интеграл (8.58) совпада ет с функцией f(t) лишь в точках ее непрерывности.

В качестве примера применения доказанной теоремы рассмо трим вопрос об определении изображения произведения по из вестным изображениям сомножителей.

*) Определение интеграла Фурье и обоснование интегральной формулы (8.59) см. вып. 2.

240 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 8

Теорема 8.4. Пусть fi(t) == Fi(p), Re р > а\ и /г(£) .=' i*2 (p),

Re р > аг •	Тогда
		x + too
=	^	f F1 (q)F2 (p-g)dg =

x—too

x+ too

	=	j К	J	Fi(p - д)Ыя) dq,	( 8 . 6 1	)
			x —ioo
причем функция F(p) определена и аналитична в области
R ep > ai + 02, а интегрирование производится по любой пря
мой, параллельной мнимой оси, удовлетворяющей в первом слу
чае условию а\ < Re q <	Re р — 02?			а во втором — условию
й2 < Re q < Re р — а\ .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция f(t) удовлетворяет
всем условиям существования изображения, то для нее имеет
место преобразование Лапласа
/ ( « ) F(p). =		оо	e-#fi (t)f2 (t) dt.		( 8 . 6 2	)
/ ( « ) F(p). =	=	f	e-#fi (t)f2 (t) dt.		( 8 . 6 2	)
		0

Представляя в ( 8 . 6 2функцию) f\(t) в виде ее интеграла Меллина ( 8 . 5 8и) меняя порядок интегрирования, что возможно в силу равномерной сходимости данных несобственных интегралов, за висящих от параметра, получаем

ОО	X+ too
F(p) = ± - J e - ’‘th (t)di		I		eqtFi(q) dq =
0	x —too			00
	x + ioo			00
= 2h	f	Fi(g)dq f e - b - r t f 2(t)dt =
	x —too			0
				x + too				( 8 . 6 3	)
		=		2	i	Ъ(яЩ (р -	Я) dq.	( 8 . 6 3	)
		=		h		Ъ(яЩ (р -	Я) dq.
				X —too
Заметим, что в ( 8	. 6 3Re)	q = x > a\, а функция ^ ( p —q) опреде							)
лена при Re (p — q) > a2, откуда Re p > a\ + 0 2 - Заменив в ( 8 . 6 2									)
функцию /г(£) по формуле обращения, можно получить второе
равенство в ( 8 . 6	1 Теорема) .		доказана. Отметим, что доказанная
теорема в известном смысле обратна свойству 6.
П р и м е р	1. Пусть			fi(t)	= coswt, /г(£)		= t. Найдем
изображение функции f(t) = tcos ut.

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3424 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги