книги / Теория функций комплексной переменной

102 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ГЛ. 3

римановым поверхностям, представляющим собой геометриче­ ское многообразие, в которое одна и та же область комплексной плоскости входит уже не в двух, а во многих экземплярах. Со­ ответствующие примеры будут рассмотрены в п. 3 данного па­ раграфа, а сейчас рассмотрим еще один способ аналитического

является аналитической в области Q = Q\ + Q2 + Г12. Очевид­ но, достаточно доказать, что для каждой точки ZQ области Q, лежащей на кривой Г12, можно указать такую окрестность, в которой функция F (z) является аналитической. Возьмем про­ извольную точку ZQ Е Г12 и построим окруж ность Со с центром в этой точке, целиком лежащую в Q. Рассмотрим интеграл типа интеграла Коши

В силу установленных ранее свойств интегралов, зависящих от параметра (гл. 1, с. 56), функция Ф(z) является аналитической функцией z при любом положении точки z, не лежащей на кри­ вой СоПокажем, что когда точка z лежит внутри окружности Со, то Ф(г) = F ( z ) . Действительно, представим интеграл (3.54) в виде

(3 .55)

§2 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 103

где С\ и С 2 суть части окружности Со, лежащие в G\ и 0 2 (Со = = С1+С2). а 712 — часть кривой Г12, попавшая внутрь окружно­ сти СоЕсли точка z принадлежит области Gi, то в силу теоремы К ош и1) получим

силу непрерывности функций Ф(г), f\(z), f2 (z) внутри окруж­ ности С0, также будем иметь Ф(г0) = fi(z0) = f2(z0) == F(z0), откуда и следует, что F(z) является аналитической функцией в области Q.

И в этом случае, так же как и в предыдущих, мы будем гово­ рить, что функция fi(z) (/2(2)), заданная в области Q\ (£2), ана­

литически продолжена на область Gi (Gi)- Построенная выше функция F(z) является аналитическим продолжением функ­

ции fi(z) в область Q — Q\ + Q2 + Г12. Описанная конструкция представляет собой частную форму общего принципа аналити­

ческого продолоюения —аналитическое продолжение через гра­

ницу области. При этом, так же как и в предыдущих случаях, мы при продолжении через границу можем прийти к необхо­ димости рассмотрения однозначной аналитической функции на римановой поверхности в тех случаях, когда области Q\ и 0 2, кроме общего участка границы Г12, имеют непустое пересече­ ние Qi2, в котором функции fi(z) и /2(2) не равны тождественно друг другу.

Рассмотрим теперь ряд примеров применения общих прин­ ципов аналитического продолжения, приводящих как к много­ значным, так и однозначным функциям.

/1(2), первоначально заданной в области Gi комплексной плос­ кости z. При этом, как было отмечено выше, мы в ряде случаев приходим к необходимости рассмотрения функции, многознач­ ной на комплексной плоскости.

В гл. 1 мы уже имели простейший пример многозначной функции комплексной переменной — функцию w = y/z, явля­ ющ уюся2) обратной степенной функции z = w2. Рассмотрим

*) Применимость теоремы Коши к интегралам в правой части (3.55) оче­ видна в силу сделанного предположения о кусочной гладкости кривой Г12

ивыбора кривой Со.

2)Мы изменили здесь обозначения зависимой и независимой переменных.

теперь эту и ряд других функций с более общей точки зрения аналитического продолжения.

П р и м е р 1. Функция w = \/z. Согласно правилу извлече­ ния корня n-й степени из комплексного числа одному значению z соответствует п различных комплексных чисел ги, вычислен­ ных по формуле

является многозначной функцией, имеющей п различных вет­

Областью Q\ определения функции wi является плоскость z, разрезанная по положительной части действительной оси х. Верхний берег разреза соответствует значению arg 2 = 0 , ниж­ ний — значению агg z = 27г. Очевидно, функция tui, являющаяся обратной функции z = го” , осуществляет взаимно однозначное отображение замкнутой области Q\ плоскости z на сектор 0 ^

2тт

^ argiu ^ — плоскости w. В силу общих свойств аналитических

ТЬ

Рассмотрим теперь замкнутую область С/2 — ту же плоскость z с разрезом по положительной части действительной оси х, но на которой аргумент z изменяется в пределах 2тт^ argz ^ 47г. Верхний берег разреза соответствует значению arg z = 27г, ниж­ ний — значению arg z = 47г. Рассмотрим в этой области функцию

w и является однозначной аналитической функцией z в обла­

сти £/2- Замкнутые области G\ и G2 имеют общ ую часть границы Г12 — луч arg z = 2я, — на которой совпадают функции w\ и W2, непрерывные в Я \+Т\2 и (У2+Г12 соответственно. П оэтому в силу принципа аналитического продолжения через границу функция wz(z) является аналитическим продолжением функции w\(z) в

этой функции. На каждом листе римановой поверхности опре­ делена отдельная ветвь данной многозначной функции.

Отметим еще следующее обстоятельство. Фиксируем на плоскости z некоторую точку ZQ и проведем через нее замкну­ тую кривую С . Тогда, если arg г при дви­ жении по кривой С изменяется непрерыв­ ным образом и кривая С пересекает линию разреза на плоскости z, то при полном об­ ходе кривой С априо­ ри возможны два слу­ чая (рис. 3 .8) В пер­ вом случае точка z = = 0 лежит вне кривой С . Поэтому, выйдя из

Рис. 3.7 ТОЧКИ Z — ZQ (argZo = = tpo) на к-м ли сте1),

мы после обхода этой кривой вернемся в исходную точку ZQ на том же к-м (arg ZQ = <ро) листе, хотя в процессе движения мы, пересекая линию разреза, переходили и на другие листы. Во втором случае, точка z — 0 лежит внутри кривой С . Поэтому,

Рис. 3.8

выйдя из точки z = Z Q (arg Z Q = tpo) на к - м листе, мы после об­

обходе которой по любой замкнутой кривой в достаточно малой окрестности этой точки происходит переход с одного листа ри­ мановой поверхности аналитической функции F(z) на другой ее лист, называется точкой разветвления функции F(z). Как лег-

х) Рисунок 3.8 соответствует случаю k = 1.

§2 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 107

ко видеть, это определение точки разветвления эквивалентно определению, данному в гл. 1, с. 32. Очевидно, в рассматривае­ мом примере функции w = y/z точками разветвления являются точки z —0 и z = со.

П р и м е р 2. Функция w = Lnz.__

Рассмотрим в замкнутой области Go, представляющей собой плоскость z, разрезанную по отрицательной части-действитель­ ной оси —я arg z ^ 7г, функцию Inz, о которой шла речь в предыдущем параграфе:

wo = In (z) = In |^| + i arg z ... (—7Г ^ aigz ^ 7r). (3.63)

Как мы знаем, эта однозначная аналитическая функция являет­ ся аналитическим продолжением действительной функции и = = Inа; и обратна функции z = ew. Поэтому функция (3.63) ото­ бражает область Qoплоскости z на полосу —тг< Im w < жплос­

кости w. Рассмотрим в замкнутой области Gi (тг ^ arg z ^ 37г) функцию

Очевидно, функция w\(z) является аналитическим продолже­ нием WQ{Z) в область G1- Аналогично функция

W-i = ln_i(^) = In\z\ + iaxgz, —37Г ^ argz ^ —7r, (3.64')

определенная в замкнутой области G- 1 (—Зя ^ argz ^ —я), яв­ ляется аналитическим продолжением функции гио {z) в области G-i- Также и функция Wk(z):

^ тг(2 к + 1), является аналитическим продолжением функции Wk-i(z). Функция Wk(z), однозначно отображающая область Gk на полосу 7г(2Л:—1) < Im w < 7г(2&+1), также является обратной функции z = ew. В отличие от предыдущего случая, ни одна из функций Wk{z) (к Ф 0) не равна тождественно функции wo(z). Поэтому данный процесс аналитического продолжения следует вести неограниченно как для к > 0, так и для к < 0. Тем самым полная аналитическая функция

/

z € Gi + Год + Г1,2>

F(z) —Ln z = In \z\= i Arg z = < wo(z), z € Go+ Го,1 + Го,-1,

W-i(z), z 6 G-1 + Го,-1 + Г-1^2,

\

(3.66)

является бесконечнозначной на обычной плоскости z и одно­ значной на бесконечнолистной римановой поверхности R =

==@п> составленной из бесконечного множества листов Qn

п=—ОО путем склеивания верхнего берега разреза каждого (к + 1)-го

листа с нижним берегом разреза предыдущего к-то листа. Как и в предыдущем случае, точки z = 0 и z = оо являются точками разветвления функции Ln z.

4. Примеры построения аналитического продолже­ ния. Продолжение с помощью степенных рядов. В рас­ смотренных примерах различные ветви аналитической функ­ ции задавались в явном виде на всей комплексной плоскости и построение аналитического продолжения производилось путем соответствующего склеивания областей определения этих вет­ вей. Рассмотрим теперь еще один метод конкретного построе­ ния аналитического продолжения аналитической функции, пер­ воначально заданной в некоторой области Q\ комплексной плос­ кости z.

Пусть функция fi(z) является аналитической в области Q\. Выберем произвольную точку ZQ G Q\ и разложим fi(z) в сте­ пенной ряд в окрестности этой точки:

оо оо

Рассмотрим ряд, стоящий в правой части (3.68). Априори воз­ можны два случая (рис. 3.9). В первом случае радиус сходи­ мости RQ ряда (3.68) не превосходит расстояния от точки ZQ до границы Г*1 области Q\. В этом случае разложение (3.68) не выводит за границы области Q\ первоначального определения аналитической функции fi(z). Во втором случае радиус сходи­ мости До ряда (3.68) больше расстояния от точки ZQ д о границы Гх области Q\. В этом случае область Q2 , представляющая собой круг \z —zo\ < До, уже не является подобластью области Qi, а лишь имеет с ней общую часть Q\2 - В области Q2 сходящийся степенной ряд (3.68) определяет аналитическую функцию / 2(2), совпадающую с fi(z) в Q12 . Эта функция / 2(2) является анали­ тическим продолжением fi(z) в область £2- Следовательно, в

Итак, в рассматриваемом случае разложение (3.68) выводит за границу Гх области Q\ первоначального определения аналити­ ческой функции fi(z). Проведя аналогичные рассмотрения для

z2 области д3 и т. д., мы получим аналитическое продолже­ ние функции fi(z) вдоль цепочки областей £1, д2, . ■ ., (?п>• • • При этом возможны такие взаимные наложения областей цепоч­ ки, которые приводят к необходимости рассматривать функцию F{z) как однозначную аналитическую функцию, определенную уже не на обычной комплексной плоскости z, а на римановой поверхности.

Рассмотрим конкретный пример разобранного способа ана­

п=0

Этот ряд сходится внутри круга \z\ < 1 к аналитической функ­ ции fi(z) = -—-—. Всюду вне круга \z\ < 1 ряд расходится; следо-

вательно, fi(z) не определена вне круга \z\ < 1. Выберем некото­ рую точку ZQ внутри круга \z\ < 1 и построим разложение fi(z)

в степенной ряд Cn(z—zo)nс центром в этой точке. Вычислив

Легко показать, что радиус сходимости данного ряда P (ZQ) ра­ вен |1 — ZQ\. Как следует из элементарных геометрических со­

ображений, в том случае, когда точка zo не лежит на отрезке действительной оси [0,1], круг сходимости данного ряда выйдет за пределы первоначального круга сходимости \z\ < 1. Следова­

тельно, функция / 2(2) = Г (* - *оГ является аналитическим

продолжением функции fi(z) на область \z — zo\ < |1 — ZQ\. Заметим, что степенной ряд, определяющий функцию /2 (z) ,

также легко суммируется, причем / 2(2) = ^ . Поэтому взяв в качестве нового центра разложения точку z\ внутри круга

/ 2(2) и fi{z) в общих частях круга \z — zi\ < 1 1 — z\\ и областей

определения соответствующих функций. Тем самым h{z) явля­ ется аналитическим продолжением /1 (z) на новую область. От­ метим, что при любом выборе точки z\ граница соответствующе­ го круга сходимости прой­ дет через точку z = 1 (рис. 3.10). Поступая анало­ гичным образом, можно по­ строить аналитическое про­ должение функции fi(z) на полную плоскость комплекс­ ной переменной, за исключе­ нием точки z = 1. При этом

аналитическим продолжением fi(z), полученным с помо­ щью степенных рядов, явля­

ется функция F(z) = определенная и аналитиче­ ская всюду, за исключением точки z = 1 .

Итак, нам удалось расширить область первоначаль­ ного задания аналитической

функции F(z) — круг \z\ < 1, в которой была задана функция fi(z)t — на большую область. Заметим, что, хотя и имеют ме­ сто многочисленные взаимные наложения построенной цепочки

областей, полученная аналитическая функция F(z) = —-— яв- 1 —2?

ляется однозначной во всей области своего определения — на полной плоскости z с выброшенной точкой z = 1. Дальнейшее аналитическое продолжение функции F(z) на бблыную область