книги / Теория функций комплексной переменной

мую — положительную часть действительной оси плоскости го. Продолжая наши рассмотрения, легко показать, что функция го = г2 производит отображение и нижней полуплоскости z вме­ сте с действительной осью на полную плоскость го. Тем самым обратная функция

(1.15)

определенная на полной плоскости го, уже не является одно­ значной — одной и той же точке плоскости го соответствуют две различные точки плоскости z: одна — в верхней, другая — в нижней полуплоскости.

Чтобы изучить отображение, осуществляемое данной функ­ цией, воспользуемся опять показательной формой записи комп­ лексного числа: го = гег^. Тогда, согласно правилу извлечения корня из комплексного числа, мы получаем два различных зна­

тим, что arg^i — argzo = гг).Рассмотрим на плоскости го некото­ рую замкнутую кривую <7, не имеющую самопересечений. Фик­

сируем на ней точку гоо, которой припишем определенное значе­ ние аргумента фо, найдем го(гоо), zi(ioo)npn непрерывном дви­ жении точки го по кривой С . Аргумент точки го на кривой С изменяется непрерывно. Поэтому, как легко видеть, функции zo(w) и Z\(го)являются непрерывными функциями го на кривой С. При этом возможны два различных случая. В первом случае кривая С не содержит внутри точку го = 0. Тогда после обхода кривой С аргумент точки гоо вернется к первоначальному зна­ чению argioo = Следовательно, и значения функций го(го) и z\ (го) в точке го = гоо после обхода кривой С будут равны их пер­ воначальным значениям. Тем самым на кривой С в этом случае определены две различные однозначныефункции комплексной

меняется непрерывно на кривой С, начиная от значения фо в точке гоо). Очевидно, если область D плоскости го обладает тем свойством, что любая замкнутая кривая в этой области не со­ держит точки го = 0, то в D определены две различные одно­

значные непрерывные функции го(го) и z\(го). Функции го(го) и z\(го) называются ветвями многозначной функции z(w) = y/w.

Во втором случае кривая С содержит внутри точку го = 0.

Тогда после обхода кривой С в положительном направлении значение аргумента точки гоо уже не вернется к первоначаль­ ному значению фо, а изменится на 2гг: argioo = фо + 2гг. Поэто­ му и значения функций го(го) и z\(w) в точке гоо в результате их непрерывного изменения после обхода кривой С уже не бу­ дут равны их первоначальным значениям. Более точно, получим

32 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

ZO(WQ) = zo(wo)e™) zi(wo) — zi(wo)ein. To есть функция ZQ(W)

перейдет в функцию zi(w), и наоборот.

Если для точки ZQ можно указать такую е-окрестность, что при однократном обходе точки ZQ п о любому замкнутому кон­ туру, целиком лежащему в этой е-окрестности, одна ветвь мно­ гозначной функции переходит в другую, то точка ZQ называется

точкой разветвления (ветвленияi) данной многозначной функ­ ции. В окрестности точки разветвления отдельные ветви мно­ гозначной функции уже нельзя рассматривать как различные однозначные функции, поскольку при обходе точки разветвле­ ния их значения меняются. В рассматриваемом примере точкой разветвления является точка w = 0.

Заметим, что обход окружности \z\ = R сколь угодно боль­

шого радиуса соответствует обходу на плоскости С = - точки

соотношение - = оо. Поэтому будем считать, что обход окруж­

ности бесконечно большого радиуса (R —> оо) есть обход беско­ нечно удаленной точки z —оо. Как легко видеть, в рассматри­ ваемом примере при обходе точки w = оо одна ветвь функции z = y/w переходит в другую. Таким образом, второй точкой раз­ ветвления функции z = у/w на комплексной плоскости w явля­ ется точка w = оо. Областью D, в которой определены однознач­ ные ветви функции z = y/w, является любая область плоскости w, в которой невозможен обход по замкнутому контуру точек разветвления w = 0 и w = оо. Такой областью является, напри­ мер, вся плоскость w с разрезом вдоль положительной части действительной оси. При этом берега разреза являются грани­ цей данной области, так что при непрерывном движении внутри области мы не можем пересекать разрез (границу области).

Если считать, что аргумент точек w для первой ветви изме­ няется в пределах 0 < ахgw < 27г, а для второй — в пределах 2тг < arg w < 47г, т о первая ветвь функции z = y/w производит

отображение плоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость z, а вторая ветвь данной функции отображает ту же область на нижнюю полуплоскость z.

Аналогичным образом легко показать, что функция w = zn

на полную плоскость ги, разрезанную по положительной части действительной оси. Тем самым эти секторы представляют со­ бой области однолистности данной функции. Обратная функция z = y/w является многозначной, и точки w = 0 и w = оо пред­ ставляют собой ее точки разветвления.

§ 4. Д иф ф еренцирование ф ункции комплексной переменной

1 . Определение. Условия К ош и -Р и м ан а . До сих пор теория функций комплексной переменной строилась в полной аналогии с теорией функций действительной переменной. Од­ нако понятие дифференцируемой функции комплексной пере­ менной, введенное по аналогии с соответствующим понятием теории функций действительной переменной, приводит к суще­ ственным различиям.

Дадим определение производной функции комплексной пе­ ременной. Пусть в области Q комплексной плоскости z задана функция f(z). Если для точки ZQSZ G существует при A z —> О предел (предельное значение) разностного отношения

f(zo + Az) - f(z0) Az ’

то этот предел называется производной функции f(z) по

комплексной переменной z в точке zo и обозначается /'(го), т. е.

(1.16), то он не зависит от способа стремления A z к нулю, т. е. от способа приближения точки z = zo+ A z к точке ZQ. Требова­ ние дифференцируемости функции комплексной переменной в точке ZQнакладывает весьма важные условия на поведение дей­ ствительной и мнимой частей этой функции в окрестности точки (гео ? 2/о)- Эти условия известны под названием условий КошиРимана, которые могут быть сформулированы в виде следую­

щих теорем.

Теорема 1 .3 . Если функция f(z) = и(ж, у) + iv(x, у) диф­ ференцируема в точке ZQ = жо + гуо, то в точке (жо, уо) су­ ществуют частные производные функций и(х,у) и v(x,у) по переменным ж, г/, причем имеют место следующие соотноше­ ния1):

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию теоремы существует предел (1.16), не зависящий от способа стремления A z к нулю.2*

*) Соотношения (1.17) обычно и называются соотношениями КошиРимана.

2 А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов

36 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛ. 1

тель, действительная и мнимая части аналитической функции

где ри<р —полярные координаты точки (х, у). Аналогичным об­ разом легко установить, что модуль и аргумент аналитической функции f(z) = R(x, у)егф(х,у^ связаны соотношениями

Отметим также, что соотношения (1.17) позволяют получить различные выражения для производной функции комплексной переменной

f(z) = их(х, у) + ivx(x, у) = vy(x, у) + ivx{x, у) =

= их{хуу) —iuy(x,y) = v y[x}y) - i u y(x>y). (1 .2 1)

При этом каждый раз производная f(z) выражается через част­ ные производные функций и(х,у) и v(x,y).

2 . С войства аналитических ф ун кц и й . Определение производной (1.16) позволяет перенести на аналитические функ­ ции комплексной переменной ряд свойств дифференцируемых функций действительной переменной.

1. Если функция f(z) является аналитической в области Q, то она непрерывна в этой области.

2 . Если fi(z) и / 2(2 ) суть аналитические функции в области G, то их сумма и произведение также являются аналитически­

ми функциями в области Q, а функция (p(z) = является аналитической функцией всюду, где / 2(2 ) Ф 0.

3.Если w — f(z) является аналитической функцией в обла­ сти Qплоскости комплексной переменной 2 , причем в области ее значений G на плоскости w определена аналитическая функция

С= <p(w), то функция F(z) = (p[f{z)] является аналитической функцией комплексной переменной z в области Q.

4.Если w = f(z) является аналитической функцией в обла­ сти Q, причем \f(z)\ ф 0 в окрестности некоторой точки ZQ G G>

то в окрестности точки WQ = f(zo) области G значений функ­ ции f(z) определена обратная функция z = <p(w), являющаяся аналитической функцией комплексной переменной w. При этом

имеет место соотношение f{zo) =

v'(wo)'

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для существования обратной функции необходимо, чтобы уравнения и = и(х,у) и v — v(x,y) можно было разрешить относительно х, у в окрестности точ-

ки гио. Для этого достаточно1) , чтобы в окрестности точки ZQ выполнялось условие

В силу соотношений (1.17) эго условие можно переписать в виде м2 + v2 Ф 0. Но при условии |/'(z)| Ф 0 последнее имеет место. Тем самым существование обратной функции z = ip(w)

доказано. Составив разностное отношение

Дz

казать существование и непрерывность производной условии \f'{zo)\ Ф 0.

5. Пусть в области Q плоскости ху задана функция «(ж,у), являющаяся действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точно­ стью до аддитивной постоянной. Действительно, в силу условий Коши-Римана по заданной функции и(х, у) однозначно опреде­ ляется полный дифференциал неизвестной функции v(x,y):

dv = vxdx + Vydy = —Uydx + uxdy,

что и доказывает высказанное утверждение2).

6. Пусть функция f(z) является аналитической в области Q. Рассмотрим в соответствующей области плоскости ху семейства кривых и(х,у) = С и v(x,y) = С, представляющие собой линии уровней действительной и мнимой частей функции f(z). С по­ мощью соотношений (1.17) легко показать, что во всех точках данной области grad и •grad v = uxvx + uyvy = —uxuy-I- uyux ~ 0. Так как градиент ортогонален линии уровня, то отсюда следует, что семейства кривых и(х,у) = С и v(x,y) = С взаимно ортого­ нальны.

3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Пусть f(z) является аналитиче­ ской функцией в некоторой области Q. Выберем какую-либо

точку ZQ е Q и проведем через нее произвольную3) кривую 7 1, целиком лежащую в Q. Функция f(z) производит отображение области Q комплексной плоскости z на некоторую область G комплексной плоскости w. Пусть точка ZQ переходит в точку гУо, а кривая 7 1 — в проходящую через tuo кривую Гх (рис. 1.7). По

х) Об условиях существования неявных функций см. вып. 1.

2)Определение функции двух действительных переменных по ее полному дифференциалу см. вып. 2.

3)Здесь и в дальнейшем, если это не будет оговорено особо, под произ­ вольной кривой мы понимаем гладкую кривую.

равен углу Ф = Ф2 — $ i между их образами (кривыми Г 2 и Г 1), пересекающимися в точке WQ = /(го). Заметим, что при этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кри­ выми 7 2, 7 i и их образами, но и направление углов. Это свойство данного отображения носит название свойства сохранения углов.

Аналогично из соотношения (1 .2 2) получим

То есть с точностью до величин более высокого порядка малости имеет место равенство |Дги| = k\Az\. Заметим, что и это соотно­ шение не зависит от выбора кривой 7 1. Геометрический смысл этого соотношения состоит в том, что при отображении, осуще­ ствляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию /'(го) ф 0, бесконечно малые линейные элементы преобразуют­ ся подобным образом, причем |/х(го)| определяет коэффициент преобразования подобия. Эго свойство данного отображения но­ сит название свойства постоянства растяоюения.

Отображение окрестности точки ZQ на окрестность точ­ ки wo, осуществляемое аналитической функцией w = f(z) и обладающее в точке ZQ свойством сохранения углов и постоян­ ством растяэюенищ называется конформным отображением.

При конформном отображении окрестности точки го на окрест­ ность точки WQ бесконечно малые треугольники с вершиной в точке го преобразуются в подобные им бесконечно малые тре­ угольники с вершиной в точке WQ. Более подробное изложение основных понятий теории конформного отображения будет дано

вгл. 6.

4.П римеры . В заключение данного параграфа отметим,

что, как легко проверить, линейная функция и функция w = г2, введенные в предыдущем параграфе, являются аналитически­

ми функциями на всей комплексной плоскости; функция w = -Z

является аналитической всюду, за исключением точки г = 0. Так как определение производной (1.16) аналогично определе­ нию производной функции одной действительной переменной, то для производных данных функций комплексной переменной имеют место выражения:

1

(1.25)

Рассмотрим функцию комплексной переменной w —е2, ши­ роко применяющуюся в приложениях. Определим эту функцию, задав аналитические выражения ее действительной и мнимой частей:

На действительной оси эта функция совпадает с действительной функцией ех действительного аргумента х и, как будет показа­ но в дальнейшем, в комплексной области сохраняет основные свойства экспоненты. Поэтому для нее естественно сохранить обозначение

Покажем, что ez является аналитической функцией на всей комплексной плоскости z. Для этого проверим выполнение усло­ вий Коши-Римана (1.17)

и заметим, что все производные в этих равенствах непрерыв­ ны по совокупности аргументов на всей плоскости ху. Проводя вычисление производной ег по формулам (1 .2 1), получаем

Как легко видеть, для действительных значений комплексной переменной z — х эти функции совпадают с C O S T и since; по­ этому для них естественно сохранить прежние обозначения. В дальнейшем мы подробно изучим свойства этих функций, а сей­ час лишь отметим, что, как сложные функции от аналитической функции, cos г и sin гг являются аналитическими на всей комп­ лексной плоскости. Непосредственной проверкой легко убедить­ ся, что (cos z)' = — sin 2 . Действительно, с помощью (1.28) полу­ чим

Аналогично прямое вычисление дает

так как согласно правилу возведения комплексного числа в це­ лую степень из формулы (1.27) получим