книги / Теория функций комплексной переменной

уже невозможно. Точка z — 1, являющаяся границей области аналитичности функции F(z), представляет собой в определен­ ном смысле особую точку этой функции. Поведение аналити­ ческой функции в окрестности таких точек заслуживает более подробного изучения, что и будет проведено в дальнейшем.

5. Правильные и особые точки аналитической функ­ ции. Пусть функция f(z) задана в области Q, ограниченной

контуром Г. Точка ZQ £ Q называется правильной точкой функции /(-г), если существует сходящийся степенной ряд

ОО

cn{z~zо)п, который в общей части области Qи своего круга

71=0

сходимости \z —zo\ < P {ZQ) сходится к функции f{z). На значе­ ние числа p(zo) накладывается единственное ограничение: p(zo)

строго больше нуля. Точки z 6 £?, не являющиеся правильными точками функции /(г), называются ее особыми точками. Ясно,

что если f(z) — аналитическая в области Q, то все внутренние точки этой области суть правильные точки функции f(z). Точки границы Г могут быть как правильными, так и особыми точками аналитической функции f(z). Очевидно, что все точки границы Г, лежащие внутри круга \z —ZQ\ < p(zo) с центром в некоторой

правильной точке ZQ € также являются правильными точка­ ми функции f(z). Так, в рассмотренном выше примере все точки границы \z\ = 1 области первоначального определения функции

ОО

fi(z) = z11, за исключением точки z = 1, являются правиль-

71=0

ными точками. Единственной особой точкой этой функции мо­ жет быть лишь точка z = 1. Она же является и особой точкой

функции F(z) — — , аналитического продолжения функции

JL Z

fi (z) на расширенную область. Аналогично точки z = 0, оо яв­ ляются особыми точками функций y/z и Lnz, рассмотренных в п. 3.

Пусть аналитическая функция f\{z) первоначально задана

вобласти Qi, и пусть все точки связного участка Г7 границы

Гэтой области являются правильными точками функции f\(z).

Тогда из проведенных выше рассмотрении следует, что функ­ ция fi(z) может быть аналитически продолжена через Г' на

бблыпую область. Может оказаться, что все точки границы Г области Q\ первоначального задания аналитической функции f(z) являются правильными. В этом случае функцию f(z) бу­

дем называть аналитической в замкнутой области Qi. Из пре­ дыдущих рассмотрений следует, что функцию, аналитическую

в замкнутой области Qi, MOOICHO аналитически продолжить на большую область Q, содержащую область Q\.

Аналитическое продолжение через участок границы, содер­ жащий лишь особые точки функции fi(z), очевидно, невозможно.

Приведем пример аналитической функции, заданной в ограниченной области, которую невозможно продолжить на бблыную область.

П р и м е р 4. Рассмотрим аналитическую функцию f(z), заданную степенным рядом

ОО

(з-7 1)

п=0

Как легко определить с помощью простейших признаков, ряд (3.71) сходится внутри круга \z\ < 1. При действительном

ОО

х —>1 сумма х2Пнеограниченно возрастает, тем самым точка

71=0

z —1 является особой точкой f(z). Покажем, что и точки Zk>m=

= exp J гДе m = 1 , 2 , 3 , .. . , 2*, а к — любое натуральное

число, являются особыми точками функции f(z). Для этого рас­

Первое слагаемое в (3.72), являющееся суммой конечного числа слагаемых, по абсолютной величине ограничено, а второе, в силу выбора точки 5*>т, может быть преобразовано к виду

ОООО

При р —У1 сумма выражения, стоящего справа в (3.73), неогра­ ниченно возрастает. Это и доказывает, что точки ^,тп являются

особыми точками функции f(z). Но при к —> оо эти точки всюду

плотно1) расположены на окружности \z\ = 1. Отсюда следует, что функция (3.71) действительно непродолжима ни через ка­ кую дугу этой окружности.

Строя аналитическое продолжение функции F(z) = ------ с

J. —* Z

помощью степенных рядов, мы видели, что граница круга схо­ димости каждого ее элемента fk{z) проходит через точку z = 1,

1) То есть в любой е-окрестности каждой точки окружности \z\ = 1 най­ дутся точки последовательности {zk,m}-

особую точку этой функции. Тем самым на границе круга схо­ димости любого из построенных степенных рядов лежит особая точка аналитической функции, к которой этот ряд сходится. Это свойство является общим следствием следующей теоремы.

Теорема 3.3. На границе круга сходимости степенного ря­ да лежит хотя бы одна особая точка аналитической функции F(z), к которой сходится данный ряд.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что все точки

оо

окружности Со круга Ко сходимости ряда f{z)= X Cn{z —zo)n n=О

являются правильными, т. е. для любой точки г 6 Со существу­ ет такое p(z) > 0, что в общей части круга KQ и своего круга

ОО

сходимости \Z —Z \ < p(z) соответствующий ряд X cn(z)(z —z)n n=О

сходится к f(z). Пусть радиус круга KQесть RQ.

Рассмотрим функцию p(z), определенную на окружности СоПокажем, что для любых двух точек z\ и z2 на окружности Со

Действительно, предположим, что это условие не выполнено, на­

жением функции fi(z). Это означает, что в круге \z —z\\ <

< p{z\) + 6 определена аналитическая функция f2 (z), совпада­ ющая с fi(z) в круге \z —z\\ < p(z\)- В силу теоремы Тейлора

ОО

отсюда следует, что радиус сходимости ряда X Cn(^i)(^ - £i)n n—0

не меньше чем p{z\) + 5, что противоречит исходным данным. Итак, условие (3.74) установлено.

§2 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 115

области Gi первоначального задания аналитической функции fi(z), называется полной аналитической функцией. Ее область определения R называется естественной областью существо­ вания полной аналитической функции.

Согласно только что проведенным рассмотрениям естествен­ ная область существования R полной аналитической функции F(z) может быть римаиовой поверхностью. Отметим, что ана­ литическое продолжение функции F(z) за границу Г ее есте­ ственной области существования R уже невозможно. При этом все точки этой границы являются особыми точками функции F(z). Это легко доказать. Предположим, что точка ZQ Е Г яв­ ляется правильной точкой функции F(z). В таком случае, по определению правильной точки, внутри круга \z —zo\ < p(zo) существует некоторая аналитическая функция Ф(.г), совпадаю­ щая с F(z) в общей части данного круга и области Q. Но круг \z —ZQ\ < P (ZQ) заведомо выходит из области G, поэтому Ф(г) является аналитическим продолжением полной аналитической функции через границу ее естественной области существования, что невозможно.

В рассмотренных в предыдущих пунктах примерах мы по­ строили ряд полных аналитических функций и их естествен­ ные области существования. Так, естественными областями су­ ществования полных аналитических функций \fz и Ln z явля­ ются соответственно n-листная и бесконечнолистная римановы поверхности; естественной областью существования полной ана­

1 литической функции ----------полная комплексная плоскость с

1 —2

выброшенной точкой z = 1 ; естественной областью существова­ ния функции (3.71), рассмотренной в примере 4, — единичный круг \z\<l.

При этом в последнем примере область G\ первоначального задания аналитической функции f\{z) такова, что невозмож­ но аналитическое продолжение функции fi{z) за границу Гх области Q\. Это и означает, что fi{z) — полная аналитическая функция и Gi — ее естественная область существования. Ес­ ли же область Gi такова, что возможно аналитическое продол­ жение fi(z) на большую область, то функцию fi(z) называют

элементом полной аналитической функции F(z). Аналитиче­ ское продолжение /2(2) функции f\(z), заданной в области G\,

на область G2, имеющую с Gi общую часть Gn, будем назы­ вать непосредственным аналитическим продолжением функ­ ции fi(z).

Так как ряды (4.3) и (4.4) являются обычными степенными ря­ дами, то в указанной области функция f(z) обладает всеми свой­ ствами суммы степенного ряда. Это означает, что ряд Лорана

(4.1) сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции f{z), аналитической в данном кольце.

Если # 2 > JRI , то ряды (4.3) и (4.5) общей области сходи­ мости не имеют. Тем самым в этом случае ряд (4.1) нигде не сходится к какой-либо функции.

2. Разложение аналитической функции в ряд Лора­ на. Теперь естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической в некотором круговом кольце, сопоста­ вить ряд Лорана, сходящий­ ся к этой функции в данном кольце? Ответ на этот вопрос

дает следующая теорема.

Теорема 4 .1. Функция f(z), аналитическая в круго­ вом кольце В.2 < \Z - ZQI < < i?i, однозначно предста­ вляется в этом кольце схо­ дящимся рядом Лорана.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

удовлетворяют условиям R2 < R'2 < R{ < R\, Щ < \z— ZQ\ < R[

(рис. 4.1). Согласно формуле Коши для многосвязной области имеет место соотношение

(4.7)

и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу рав­ номерной сходимости ряда по переменной £ (подробнее см. гл. 2),