книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf$з. примеры |
231 |
ки. На долю вибраций, возникающих в балочке, приходится в мо мент наибольшего прогиба лишь ничтожное количество энергии.
Вычисления, произведенные для той же балочки и для прежней массы ударяющего груза при условии г= 9 см, показали, что умень шение кривизны в месте соприкасания не влияет заметным образом на величину наибольшего прогиба, но значительно увеличивает давления Р и уменьшает продолжительность удара.
В качестве второго примера нами была рассмотрена более гиб кая балочка с периодом основных колебаний Т = 4 -10_3 секунды, для чего был взят стальной брусок прежнего поперечного сечения,
Рис. з.
но вдвое большей длины. Здесь были произведены вычисления для шариков с радиусами ^ = 1 см и r t = 2 c M при v=\ см/сек. Оказалось, что явление удара протекает различно в зависимости от соотноше ния между массой шарика и бруска. В случае меньшего шарика m : МдаО,136. Нарастание давления происходит совершенно так же, как и в ранее рассмотренном первом примере. На рис. 3 характер изменения Р представлен кривой /. Для шарика большего радиуса m : М = 1,091 и закон изменения давлений более сложный. На рис. 3 изменение Р для этого случая представлено кривой // . Оказывается, что при таком отношении между массами m и М явление распадается на два повторных удара. Как видно из рис. 3, шарик находится в соприкасании с балкой при изменении t от нуля до 19,5 т (т=7’/180= = (2/9) - 10-4се/с) и при изменении t от 60 т до 80 т. За время первого удара шарик теряет приблизительно 0,8 своей живой силы и после прекращения удара продолжает двигаться за балкой со скоростью, приблизительно равной 0,45 см/сек. После того как балка, достиг нув максимального прогиба (около 8-10-4 см), начинает совершать обратное движение, происходит повторный удар, во время которого скорости шарика и среднего сечения балки меняют свои знаки, ша рик отскакивает, а прогиб балки в продолжение некоторого времени снова возрастает. Изменение прогиба в момент соприкасания шари ка с балкой представлено на рис. 3 кривой III.
§ 3 . |
П Р И М Е Р Ы |
233 |
Вводя новую переменную |
z = t J/Tie21,68* 10*t, |
получим |
S - = - « s/2- |
(a') |
|
Кроме того, в начальный момент (для г—0) |
|
|
Заменяя г единицей и пользуясь начальным значением da/dz и уравнением (а), мы находима, а следовательно, и d2a/dz2, для г=1.
Т а б л и ц а D
234 |
К ВОПРОСУ О ДЕЙСТВИИ УДАРА НА БАЛКУ |
После этого определяется значение da/dz для z=2 и т. д. Порядок вычислений ясно виден из прилагаемой таблицы С.
Путем линейного интерполирования находим, что da/dz обра щается в нуль для z=18,76. Это соответствует продолжительности удара
Т• 10-* = 1,73-10~4 сек.
Результат совпадает с тем, что выше было найдено при помощи формулы Г. Герца. Производя вычисления приближенным способом (табл. D), мы получаем не только продолжительность удара, но так же и изменение величин a, da/dz и Р, характеризующих удар, в за висимости от z, а следовательно, и от t.
236 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В ПАРОВЫХ ТУРБИНАХ
Но наиболее интересными и своеобразными задачами при рас чете на прочность турбинных конструкций являются задачи дина мики. Благодаря большим, скоростям, с которыми здесь приходится иметь дело, силы инерции движущихся частей приобретают огром ное значение, и вибрации, которые при некоторых условиях возни кают, могут совершенно нарушить условия правильной работы ма шины.
Задачи динамики, которым и будет главным образом посвящен наш доклад, мы разделим на два класса. В первой категории задач при определении динамических напряжений приходится принимать во внимание лишь силы инерции движущихся частей и можно остав лять без рассмотрения те деформации, которые эти силы вызывают.
Это так называемые задачи кинетостатические. |
Сюда |
относят |
ся вопросы о прочности быстро вращающегося |
кольца |
или ба |
рабана, а также расчет лопаток и быстро вращающихся турбинных дисков.
Ко второму классу задач отнесем те вопросы, где существенную роль играют деформации движущихся частей. Наибольшее прак тическое значение имеет здесь задача о поперечных колеба ниях вала и связанный с ней вопрос о критической угловой скорости.
В дальнейшем изложении будем предполагать, что материалы, из которых изготовляют турбинные части, идеально упруги, изо тропны и следуют в точности закону Гука, т. е. в пределах упру гости деформации и перемещения пропорциональны усилиям. Эти общие предположения с большой точностью приложимы к таким со вершенным материалам, как сталь, употребляемая для изготовле ния наиболее ответственных частей турбины.
§ 1. Расчет быстро вращ аю щ егося кольца
Если кольцо быстро вращается относительно оси О (рис. 1), перпендикулярной плоскости рисунка, то силы инерции вызовут в нем значительные растягивающие усилия. Чтобы судить о том, какой величины достигают силы инерции при больших скоростях, приведем такой пример.
П р и м е р . Груз весом 0,1 кг прикреплен на расстоянии 38 см от оси вращения и движется со скоростью 420 м/сек. (О таких ско ростях приходится думать в турбинах Лаваля). Появляющаяся
0 1*4202
при этом центробежная сила будет равна Q = 9 ’81 Q38 « 5 т и , сле
довательно, в 50 000 раз превосходит силу тяжести движущегося груза. Возвращаясь к расчету вращающегося кольца, определим прежде всего величину усилия Т растягивающегося кольца, для чего напишем уравнение равновесия для верхней половины кольца. Проектируя все силы, приложенные к этой части, на вертикальную
238 |
ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В ПАРОВЫХ ТУРБИНАХ |
§ 2. Расчет лопаток
При расчете лопаток, как и в случае вращающегося кольца, приходится принимать во внимание лишь силы инерции, вызываю щие главным образом продольные растягивающие усилия. Наиболь шая растягивающая сила будет соответствовать месту закрепления лопатки, и величина этой силы определится, как легко доказать, такой формулой:
JI _ у FI o)2rJ
~ И Г ~ ‘
Здесь F — площадь поперечного |
сечения лопатки; / — ее длина; |
(о — угловая скорость вращения |
и гх— радиус, соответствующий |
центру тяжести лопатки. Разделяя растягивающую силу на пло щадь поперечного сечения и вводя для окружной скорости на по верхности барабана или диска прежнее обозначение v= ar, получим для наибольших растягивающих напряжений в лопатке выражение
|
|
|
Р |
yv2 |
I Г-1 |
|
|
|
(2) |
|
|
|
~ т ~ ~ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как длина I обычно составляет лишь небольшую часть г, то на |
|||||||||
пряжения |
в лопатке, |
определяемые по формуле |
(2), |
значительно |
|||||
1 Н Н |
|
|
|
|
|
меньше того, |
что |
получа |
|
l l t t l l |
|
|
LLLLLl |
ется для стенки барабана. |
|||||
|
|
При расчете лопаток по |
|||||||
|
|
|
|
|
|
формуле (2) и при оценке |
|||
|
^тттш^ |
|
/77 |
/7 |
их прочности нужно иметь |
||||
|
|
в виду, что мы предполо |
|||||||
|
|
|
|
Л |
1 |
жили при |
наших выводах |
||
|
|
|
|
лопатку |
призматической. |
||||
гп т Н |
г г п т |
|
|
|
|
При отклонениях |
от этой |
||
|
|
ф |
|
формы силы |
инерции бу |
||||
а) |
6) |
|
|
|
дут вызывать не |
только |
|||
|
Рис. 2. |
|
|
|
|
растяжение, |
но |
и изгиб |
|
|
|
|
|
|
лопатки. |
Кроме того, от |
|||
|
|
|
|
|
|
клонения |
от |
призматиче |
|
ской формы влекут за собой неравномерное распределение растя гивающих напряжений по плоскости поперечного сечения лопатки.
Чтобы судить о тех отклонениях от равномерного |
распределения |
||
напряжений, которые возникают |
при растяжении |
брусков |
пе |
ременного сечения, приведем два |
примера, представленных |
на |
|
рис. 2, а и рис. 2,Ь. |
|
|
|
В случае круглого отверстия посредине растягиваемой полосы (рис. 2, а) распределение напряжений по сечению, проходящему че рез центр отверстия, может быть представлено заштрихованной площадью. Наибольшие напряжения соответствуют точкам т и п —
§ з. Расчет ту рби н н ы х дисков |
239 |
концам горизонтального диаметра отверстия. При малом диаметре отверстия напряжения в этих точках в три раза превосходят среднее значение напряжений, которые мы получили бы, предположив рав номерное распределение растягивающих усилий. При ослаблении растягиваемого бруска выкружками у краев (рис. 2, Ь), наиболее напряженными будут точки т и п , здесь напряжения в два раза превосходят среднее значение растягивающих напряжений. В слу чае резкого изменения сечения (рис. 2, с), имеющего место при укре плении турбинной лопатки, распределение напряжений еще больше отклоняется от равномерного. В точках т и п , соответствующих вершинам входящих углов, мы получим при теоретических расчетах бесконечные напряжения.
Это указывает на то, что в точках т и п материал должен выйти за пределы упругости и получить некоторые остаточные деформа ции. В случае пластических материалов, способных получать до разрушения значительные удлинения, остаточные деформации в перенапряженных местах не представляют опасности, они повлекут за собой более равномерное распределение напряжений по сечению тп. Это свойство пластических материалов — выравнивать распре деление напряжений в случае резких изменений в поперечных размерах брусков — особенно ценно, и при проектировании таких конструкций, как турбинные ло патки, нужно обращать особое вни мание на то, чтобы применяемый материал был способен получать значительные деформации и чтобы его пластические свойства не ис чезали при тех температурах, ко торые мы имеем в паровых тур бинах.
§ 3. Расчет турбинных дисков
Более сложную задачу мы бу дем иметь при определении напря жений в быстро вращающемся ди ске. Если из такого диска двумя
цилиндрическими поверхностями радиусов р и р-Мр (рис. 3) выде лить элементарное кольцо, то напряжения, возникающие в нем при вращении, обусловлены не только силами инерции, действующими на массу кольца, но также и усилиями, возникающими по поверх ностям соприкасания выделенного кольца с соседними частями дис ка. Если взять элемент кольца, заштрихованный на рисунке, то на него будут действовать не только растягивающие напряжения pt, стремящиеся разорвать кольцо, но также и напряжения рг, имею щие радиальное направление.