книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Подобным же образом для усилий Тг найдем работу

- т

Потенциальная энергия системы будет

Выражая <р через соответствующую обобщенную силу и встав­ ляя в формулу (51), найдем

В случае равномерно распределенной нагрузки получим для на­ ибольшего прогиба формулу

Сравнивая это с формулой (52), находим, что прогиб юШ1х при наличии усилий 7\ и Т г получается умножением прогиба w0от рав­ номерной нагрузки (при Tt= Т3=0) на величину

З а 2

3 + Зц* + 2ц2 + ^ ( 1 - |- ( 1 2р)

Для бесконечно длинной пластинки (р=0) множитель (54) имеет значение

1

а 2 *

!+ т

что соответствует формуле (29) для изгиба стержня с заделанными концами. Для квадратной пластинки множитель (54) получает зна­ чение (при Р=1)

1

а 2 '

1+б7зз

С возрастанием длины пластинки значение множителя (54) бы­ стро приближается к значению, соответствующему бесконечно длин­ ному прямоугольнику, что подтверждает положения, высказанные в упомянутой в сноске на стр. 190 работе И. Г. Бубнова (стр. 69 его работы).

2 1 2 ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

§ 10. Действие сжимающих контурных сил, расположенных в срединной плоскости

До сих пор мы предполагали усилия Ti и Г , растягивающими. Меняя знак на противоположный, придем к случаю сжимающих уси­ лий. Как предельный случай можно получить формулу Дж. Брайа­ н а1) для критического значения сжимающих усилий, при котором происходит выпучивание пластинки.

Возьмем для этого формулу (44) и переменим знаки у 7 \ и Та, критическими значениями усилий Т^и будут те, при которых зна­ менатель одного из членов двойного ряда обращается в нуль, т. е. когда

В частном случае, когда Tt= 0, получаем

Наименьшее значение для Тх получим, положив п=1. Что ка­ сается числа пг, то при большой длине пластинки можно воспользо­ ваться обычным приемом для нахождения минимума 7\. Оказыва­ ется, что пг должно равняться а/b, т. е. пластинка при выпучивании подразделяется на квадраты. Вставляя это значение пг в выражение для Ти получим (Т1)кр=АслуЬг.

IV. ИЗГИБ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБКИ КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО

СЕЧЕНИЯ

§11. Малые перемещения

В качестве последнего примера, где применение нормальных координат значительно упрощает решение задачи, рассмотрим изгиб цилиндрической трубки. Положим, что распределение внешних сил не меняется по длине трубки, в таком случае можно ограничиться исследованием изгиба элементарного кольца шириной, равной еди­ нице, по образующей цилиндра. Обозначим через w радиальное и через v касательное перемещения точек кольца при изгибе. Пере­ мещения эти будем считать малыми по сравнению с радиусом коль­ ца а. Составим выражение для удлинений элементов кольца че­ рез перемещения w и v. Из рис. 6 видно, что координаты какой-либо точки кольца после деформации выразятся через начальные

х) [ B r y a n Q. Н. On the stability of a plane plate under thrusts in its own pla­ ne, with applications to the «buckling» of the sides of a ship. Proceedings of the Lon­ don Mathematical Society, Series 1, 1891 [December 11, 1890], vol. 22, № 403, pp. 54—67.]

координаты а, 0 так:

у'=(а—w)cos 0—v sin 0, z'=(a—w) sin 0+u cos 0.

Элемент кольца ad0 после деформации будет иметь длину

[WY + idz’Y]1'*= {[—(а?+°) cos 0—(а~ w+as)sin 0] *+

+ [ ( e - i « H - ^ ) c o s 0 - ( j H - o ) sin 0J * .

Обозначая через e относительное удлинение элемента, после не­ которых преобразований найдем

( a~ w+ % ) + ( й ? + °) = а2(1 + 2е),

то, как видно из полученного выражения для удлинения (55), де­

В силу условия (56) для тангенциальных перемещений получим выражение

u = q)1sin0 + y <pasin20-l- • • • —qpjcos 0—-^-ф,cos20— . .. (58)

Сближение точек приложения сжимающих сил будет

В качестве второго примера рассмотрим изгиб цилиндрической трубки под действием внешнего гид­ ростатического давления.

Обозначим через р0 давление на глубине h, соответствующей центру элементарного кольца (рис. 7), тогда давление в какой-либо точке М будет

Ро+аА cos 0,

Д— вес единицы объема жидкости. Давления, приходящиеся на эле­

ментарное кольцо, уравновешивают­ ся силой

Р=па3А.

Значения обобщенных сил Ф„, ФА найдутся из уравнений

Найденное значение б вдвое меньше того, что мы получили в предыдущей задаче. Имея выражение для перемещения w, можно, пользуясь приведенным выше выражением для изменения кривизны

б , вычислить наибольшие нормальные напряжения от изгиба

по формуле

Здесь h обозначает половину толщины стенки цилиндра; а — ко­ эффициент Пуассона.

§ 12. Нелинейные перемещения

Перейдем теперь к рассмотрению тех задач, где для определения перемещений нужно принять во внимание члены второй степени от­ носительно w и v, входящие в выражение для удлинений (55).

Подходящим примером может служить приведенная выше задача об изгибе трубки под действием внешнего гидростатического дав­ ления. Полученные нами выражения для перемещений совершенно не зависят от давления р„, следовательно, при равномерном всесто­ роннем давлении трубка не испытывает изгиба. Это заключение пра­ вильно, пока ро не превосходит некоторого предельного значения. За этими пределами неизогнутая форма равновесия сжатой трубки перестает быть устойчивой, малейшая причина может вызвать боль­ шие перемещения; трубка под действием равномерного всестороннего давления может сплющиться. Решение, полученное нами в предыду­ щем параграфе для трубки, испытывающей гидростатическое давле­ ние, может дать результаты, близкие к действительности, лишь в том случае, если давление р0 мало по сравнению с тем критическим значением равномерного всестороннего давления, при котором труб­ ка может сплющиться. С возрастанием равномерного всестороннего давления влияние его на перемещения, вызываемые какими-либо внешними силами, все возрастает.

Для определения этого влияния нужно рассмотреть:

1)удлинения, зависящие от членов второй степени относительно v, до, и

2)работу всестороннего равномерного давления р0 при выбран­ ных нами перемещениях (57) и (58).

Равномерное всестороннее давление р0 вызывает в каждом эле­ менте кольца продольное сжимающее усилие

Т==ар0.

При выбранных нами перемещениях удлинение какого-либо эле­ мента кольца на основании формулы (55) будет равно

Это удлинение сопровождается уменьшением энергии сжатия, соответствующей давлению ptt. Полное изменение энергии сжатия

218 ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

Величину ОР' найдем из прямоугольного треугольника ОР'Р\

Вставляя это в выражение для dсо и сохраняя члены второй сте­ пени относительно w и v, найдем

л = 2

Для вычисления перемещений при изгибе трубки, испытывающей равномерное гидростатическое давление, придется принять во вни­ мание не только энергию изгиба (59), но также изменение энергии сжатия (61) и работу давлений р0 (62). Полное изменение потен­ циальной энергии системы будет

AsО»

w X ( « • - 1)2(ф%+ ф« ) - ¥ И (п* ~ 1)(<й+ фа*). (63)

п = 2

Какая-либо координата ф„ через соответствующую ей обобщен­ ную силу Ф„ выразится формулой

Ф» : _________ Ф«

Для радиального и касательного перемещений получаем такие общие выражения:

К ВОПРОСУ О ДЕЙСТВИИ УДАРА НА БАЛКУ

Известия С.-Петербургского политехнического института, 1912, отдел техники, естествознания и математики, том 17, вып. 2, стр. 407—425. Отдельный оттиск, СПб., 1912, 19 стр. Перевод на немецкий язык: Zur Frage nach der Wirkung eines Stosses auf einen Balken. Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1913, Bd. 62, Heft 2, SS. 198—209. Его перепечатка: T i m o s h e n k o S . P. The collected papers. McGraw-Hill publishing company Ltd. New York — London — Toronto, 1953, pp. 225—236.

§ 1. Приближенные формулы

При расчете инженерных сооружений и машинных конструкций приходится иногда определять прочные размеры стержней, подвер­ гающихся действию ударов. На практике задачу эту решают при­ ближенно на основании самых элементарных соображений. Обык­ новенно пренебрегают массой системы, испытывающей действие уда­ ра, и допускают, что между силой, возникающей в месте удара, и перемещениями, вызываемыми этой силой, существует такая же за­ висимость, как и при статической нагрузке. В пределах упругости возрастание усилия в месте удара будет сопровождаться пропор­ циональным ему возрастанием перемещения, и нарастание дефор­ маций длится до тех пор, пока вся живая сила ударяющего тела не обратится в потенциальную энергию деформации.

Если через %обозначим перемещение точки, на которую непо­ средственно действует ударяющее тело, то на основании сделанных выше допущений получим для потенциальной энергии деформации

свойств и размеров системы, подвергающейся действию удара. Оче­ видно, коэффициент этот представляет собой силу, которую нужно приложить, чтобы получить перемещение А,=1. Для определения максимального перемещения Xg при ударе нужно выражение для потенциальной энергии приравнять живой силе ударяющего тела; получим х)

Это элементарное решение (в дальнейшем мы условимся назы­ вать его первым приближением), принадлежащее Томасу Юнгу12),

1) Для упрощения мы в дальнейшем будем предполагать скорость v горизон­ тальной, таким образом исключается работа силы тяжести на перемещениях X.

2) Y o u n g Tn. A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts. London, printed for J. Johnson, 1807, vol. 1, XXIV+796 p. CM. p. 144.