книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Ряд сходящийся; число членов, которое нужно взять для опре­ деления прогиба с заданной точностью, будет зависеть от величины коэффициента |3. При малом р можно пользоваться приближенной формулой, аналогичной формуле (29).

От случая сосредоточенной силы легко перейти к равномерно распределенной нагрузке и к другим типам нагрузок приемом, ука­ занным в §§ 2, 3. При равномерно распределенной нагрузке будем иметь

от каждой из балочек, передаваемое перекрестной балке АВ, рав­

нялось бы Q. Вследствие прогиба перекрестной балки давление

на нее от вертикальных балочек уменьшится. Пусть у — прогиб балки АВ под одной из вертикальных балочек, тогда давление этой балочки на АВ будет

(а)

где EiJi— жесткость вертикальных балочек.

Сосредоточенное давление R заменим сплошной нагрузкой, рас­ пределенной равномерно на протяжении d, равном расстоянию меж­ ду вертикальными балочками. При значительном числе вертикаль­ ных балочек такая замена не произведет значительного влияния на прогиб балки АВ, и мы можем с достаточной точностью считать, что на перекрестную балку АВ передается сплошная нагрузка, рас­ пределенная по закону

где р=48 EiJJdlf.

Для определения прогибов можем пользоваться ранее выведен­ ной общей формулой (22').

Вводя обозначение

и принимая во внимание, что на практике обыкновенно К — не­ большое число, можем ограничиться лишь первым членом в общем выражении для прогиба. Прогиб балки АВ посредине определится в таком случае формулой

'EJn61+ Я 8 dEJnb\ + K ‘

Соответствующее давление средней вертикальной балочки на основании формулы (а) будет

* - И ‘ Ч т т * ) -

Увеличивая жесткость перекрестной балки, мы тем самым умень­

уменьшать, то вместе с тем увеличивается К, уменьшается давление R. При 4К/я(1+Ю=1, т. е. при /Г=я/(4—я)«3,6, давление R обращается в нуль, перекрестная балка становится бесполезной. При дальнейшем уменьшении жесткости балки А В давление R становится отрицательным. Перекрестная балка увеличивает про­ гиб средней вертикальной балочки. Увеличение это, как видно из по­ лученной выше формулы, может достигать 30%.

Из общего выражения (22) легко получить значение критической сжимающей силы для стержня в упругой среде. Критическая сила в этом случае, очевидно, определится наименьшим значением а 2, при котором знаменатель

т*_а *_|___ Р*4 .

т “ ^ £ / л 4т 2

обращается в нуль. Нужно, следовательно, найти минимум выраже­ ния

В случае длинных стержней т велико и для нахождения наимень­ шего значения для а 2 можно производную по тг правой части вы­ ражения (23) приравнять нулю. Получим

194ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

т.е. длина б полуволн, на которые стержень подразделяется при вы­ пучивании, зависит лишь от жесткости стержня и коэффициента р, характеризующего упругие свойства среды. Вставляя найденное значение Цт в выражение (23) ддя а*, получим

а®=2тг.

Следовательно, критическое значение сжимающей силы вдвое больше эйлеровой нагрузки для стержня длиной Цт—б.

Общим выражением (22) можно воспользоваться также для опре­ деления критической угловой скорости быстровращающегося вала постоянного кругового сечения. Если какая-либо причина вызо­ вет изгиб вращающегося вала, то на каждый элемент вала длиной dx будет действовать центробежная сила p c o dx. Здесь через р, обо­ значена масса единицы длины вала, со — угловая скорость. Для

значения скорости со получим, приравнивая нулю знаменатель ка­

Полагая а 2=0, придем к известной формуле для критической уг­ ловой скорости гибкого вала.

11.ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ С ЗАДЕЛАННЫМИ КОНЦАМИ

§6. Прогибы

Вэтом случае прогиб стержня в каком-либо сечении можно пред­ ставить так:

М.—-Л., Гостехиздат, том 1, 1940, 499 стр.; том 2, 1944, 476 стр.1

вставляя в него вместо т корни трансцендентного уравнения cos т ch т= 1.

Потенциальная энергия системы при изгибе поперечными силами будет

или, воспользовавшись свойством нормальных функций, в силу ко­ торого при заделанных концах

(через ик обозначена вторая производная от uh, взятая по mkxfl\ значение этой производной при х=1 обозначено через («*),), получим для V выражение

0D

У = ^ ^ т \ { и “к)\ук-,

на основании уравнения (1) получим для какой-либо координаты выражение

4/8 ф*

т%{ик)Г

Вставляя это в выражение для у (26), получим общее выражение для изогнутой оси стержня в случае заделанных концов:

Л=® _

Если на стержень действует сосредоточенная сила Р на расстоя­ нии с от левого конца, то обобщенная сила

Фк= {ик)хЫ Р.

Прогиб посредине на основании общего выражения (27) будет

Вычисление прогибов в данном случае гораздо сложнее, чем при опертых концах. Возьмем для примера случай действия изги­ бающей силы посредине пролета. Пользуясь таблицей значений тк,

196 ПРИМЕНЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

приведенной в вышеупомянутой книжке Дж. Рэлея, стр. 278, най­

дем («!>*/,= 2 , 566, (ы3)?/*= 1,977. Величины (и,)?/», (ы7)?/а, . . .

можно положить равными 2. Нормальные функции четного порядка при х=Ц2 в случае симметричной нагрузки обращаются в нуль. Далее находим (uj)}=4,071. Величины (и£)J, (ul)* можно поло­ жить равными 4. Тогда прогиб посредине будет

2,566

4,071т \

Для корней mk, начиная с ms, можно с достаточной точностью брать значения

mA= y(2fe-f 1) я.

Чтобы перейти от сосредоточенной силы к сплошной нагрузке, нужно в общее выражение (28) вместо Р подставить величину qdc и произвести интегрирование по с в пределах от 0 до /. В частном случае равномерно распределенной нагрузки интенсивности q получим

Уже из этих простейших примеров видно, что пользование нор­ мальными координатами в случае заделанных концов не представ­ ляет никаких выгод. Еще сложнее становятся выкладки и окон­ чательные формулы при действии продольной силы. В результате оказывается, что влияние продольной силы на величину прогиба и наибольшего изгибающего момента в этом случае несравненно меньше, чем при опертых концах. Прогиб посредине с достаточной для практики точностью можно вычислять по приближенной фор­ муле

(29)

где f„, как и прежде, обозначает прогиб посредине при действии только поперечных сил.

К этой приближенной формуле можно прийти скорее, рассмат­ ривая стержень как систему с одной степенью свободы и принимая такое уравнение изогнутой оси:

(1 2ядс \ j/ = (p ^ l _ c o s - 7- J .

Уравнение это, как легко видеть, удовлетворяет условиям на концах.

Потенциальная энергия системы при действии продольной силы Т и при выбранной форме изгиба будет

V

E J

2

Величина координаты q> на основании уравнения (1) будет

^______ ФР

8Е/л4^1 ± i- a a^

Уравнение изогнутой оси пишется так:

Через у9мы обозначили прогиб при отсутствии продольной силы. Таким образом, мы приходим к ранее приведенной приближенной формуле (29). Примененный нами здесь прием сходен с тем, которым пользуется Дж. Рэлей для нахождения частоты основных колеба­ ний системы. Для суждения о степени точности вычислим прогиб стержня при отсутствии продольной силы и при сосредоточенной

нагрузке Р посредине пролета. Обобщенная сила Ф в данном случае будет

Вставляя это в общее выражение (30) и полагая в нем а*=0,

х=-1[2, получим

/.Л г Р Р

(У)х=1/г — J — 2E J n 4 '

Полученный таким образом прогиб отличается от истинного Pl3/192EJ приблизительно на 1,5%.

Для определения продольной силы в том случае, когда концы не могут сближаться, можно пользоваться уравнением

П= 4t2a>,

аналогичным уравнению (21). В качестве числового примера возь­ мем стержень прежних размеров (см. § 4). Значения а 8, соответству­ ющие различным значениям нагрузки q, а также значения наи­ большего прогиба f и продольных растягивающих напряжений t