книги / Прочность и колебания элементов конструкций

При простом сжатии А. Фёппль показал, какую важную роль играют силы трения, имеющие место по граням кубика, прикаса­ ющимся к доскам пресса. Смазкой из сала и стеарина А. Фёпплю удалось уменьшить эти трения и довести их до незначительной вели­ чины; тогда оказалось, что сопротивление цементных кубиков раз­ давливанию уменьшается почти вдвое по сравнению с опытами без смазки. Вид разрушения при смазке тоже изменяется: цементный кубик разделяется на несколько плиток плоскостями, параллель­ ными какой-либо паре свободных граней.

Для всестороннего сжатия А. Фёппль пользовался стальным цилиндром с толстыми стенками. Цилиндр наполнялся касторовым маслом, в которое погружался образец испытуемого материала. Давление на масло производилось особым поршнем из инструментальной стали.

Установив весь прибор между досками сильного гидравлического пресса, А. Фёппль мог получить в цилиндре давление до 3500 атм.

Опыты над всесторонним сжатием пока­ зали, что изотропные тела даже самой не­ значительной прочности, как, например, кристаллы каменной соли, могут выдержи­ вать громадные давления без всяких при­ знаков разрушения. Неизотропные тела,

как цемент, естественные камни и другие, обычно разрушались при давлениях гораздо меньших, нежели 3000 атм.

Наиболее интересные данные А. Фёппль получил при раздав­ ливании цементных кубиков посредством особого прибора (сжима­ ющего креста), схематически представленного на рис. 1.

Если по направлениям, указанным стрелками, производить дав­ ления Р, то благодаря шарнирным сочленениям каждой диагонали а

передается усилие P \f 2, в чем нетрудно убедиться простым раз­

ложением сил Р. Усилия в диагоналях а посредством стальных плиток т передаются четырем граням испытуемого кубика. Грани кубика, параллельные плоскости рисунка, остаются свободными. Чтобы избежать влияния трения, грани кубика, подвергающиеся давлениям, предварительно покрывались слоем смазки из стеарина и сала.

При разрушении цементные кубики разделяются на ряд плиток плоскостями, параллельными свободным граням.

В этом случае напряженного состояния одно из главных напря­ жений равно нулю, два других равны по величине и отрицательны по знаку. Для прочности материала при этом напряженном состоя­ нии А. Фёппль вводит особый термин «опоясывающая проч­ ность».

части цемента и трех частей песку, через шесть — десять дней после затвердения.

При простом раздавливании кубиков цемента между досками пресса без смазки оказалось, что среднее сопротивление равно 247 ат м.

При раздавливании со смазкой сопротивление составляло только 56% от предыдущего и равнялось в среднем 139 ат м.

При давлении по четырем граням («опоясывающая прочность») сопротивление в среднем равнялось 147 ат м.

Из этой серии опытов видно, что сопротивление цемента при простом раздавливании приблизительно совпадает с сопротивле­ нием при давлении по четырем граням. Это заключение совпадает

стретьей теорией, по которой разность между наибольшим и наи­ меньшим напряжениями определяет прочность материала. Опыты

сестественными камнями дали подобные же результаты. Для песча­ ника сопротивление при раздавливании без смазки получилось 624 ат м , сопротивление со смазкой — 249 ат м , сопротивление при давлении по четырем граням — 243 ат м .

Для гранита в первом случае получилось 1460 ат м , во втором — 407 атм и в третьем — 453 ат м .

Из этих опытов можно видеть, насколько сильно влияет на ре­ зультат опыта сила трения.

Для решения вопроса о прочности материалов А. Фёппль про­ извел еще несколько опытов, при которых одно из главных напря­ жений — нуль, два других — растяжения, равные по величине. Определенных каких-либо заключений из этих опытов ему вывести не удалось.

§5. Опыты В. Фойхта1)

Как мы видели, работы А. Фёппля касаются плоского напряжен­ ного состояния и именно того частного случая, когда оба главных напряжения равны между собой. В. Фойхту удалось рассмотреть более общий случай напряженного состояния — у него все три глав­ ных напряжения не нули; два из них (сжимающие) равны между собой.

Для осуществления подобного вида напряженного состояния В. Фойхт пользовался особым цилиндром, в котором давление при помощи сгущенного углекислого газа возможно было доводить до 50 ат м . Помещаемый в этот цилиндр образец испытуемого ма-

-1) V o i g t W. Beobachtungen iiber derFestigkeit bei homogener Deformation. Annalen der Physik und Chemie, Neue Folge, 1894, Bd. 53, № 9, SS. 43—56; Beobach­ tungen iiber der Festigkeit bei homogener Deformation, angestellt von L. Januszkiewicz. Там же, 1899, Bd. 67, № 2, SS. 452—458; Zur Festigkeitslehre. Annalen der Physik, Vierte Folge, 1901, Bd. 4, № 3, SS. 567—591.

териала подвергается таким образом всестороннему равномерному давлению. С помощью особой пружины к образцу возможно при­ ложить продольное растягивающее усилие, величина которого может быть произвольно изменяема при помощи особого винта. Измеряя всестороннее давление манометром и определяя продоль­ ное усилие на основании растяжения пружины, возможно очень точно определить напряженное состояние в любой момент.

При постоянном боковом давлении, постепенно увеличивая продольное растягивающее усилие, возможно испытуемый образец довести до разрушения. Чтобы боковое давление, обыкновенно не превосходившее 50 атм, могло оказывать заметное влияние на со­ противление образца разрыву, нужно было подобрать материал весьма малой прочности. В своих опытах В. Фойхт пользовался каменной солью и особым сплавом из 61,5% стеариновой кислоты, 22% пальмитиновой кислоты и 16,5% парафина. Результаты как одной, так и другой серии опытов совершенно совпадают между собой и стоят в прямом противоречии как с гипотезой наибольших напряжений, так и с гипотезой наибольших растяжений.

Пусть S — продольное растягивающее усилие в граммах, соот­ ветствующее разрыву; Q — площадь поперечного сечения образца в мм2. D — всестороннее давление в граммах на мм2. Тогда в случае разрывов при атмосферном давлении имеем следующие средние значения из тринадцати опытов с каменной солью:

ф —578 ± 37 г/мм2, D = 0.

Для того же материала опыты на разрыв в сосуде со сгущенной углекислотой дали следующие средние значения:

^- = 562 ± 18 г/мм2, £) = 519 г/мм2.

Продольное напряжение р по оси образца получим, если из на­ тяжения пружины вычтем действующее в противоположную сто­ рону давление сгущенной углекислоты:

р= 562—519ж40 г/мм2.

Предельное состояние, соответствующее разрыву образца при атмосферном давлении, определяется напряжениями 0; 0; 578 г/мм2.

В случае разрыва при всестороннем давлении имеем предельные главные напряжения —519, —519, +40 г/мм2.

Сразу видно, что данные этих опытов не согласуются с первой гипотезой — гипотезой наибольших напряжений.

Чтобы оценить, насколько приложима в данном случае вторая гипотеза (гипотеза наибольших растяжений), вычислим те наиболь­ шие удлинения, при которых наступает разрыв.

где г — расстояние от рассматриваемого элемента до оси трубки. На основании (2) нетрудно доказать, что отношение между наиболь­ шим и наименьшим тангенциальными напряжениями при малой толщине стенки с достаточной точностью можно принять равным

т = 1 -f — .

го

При выбранных размерах трубок разность между тангенциаль­ ными напряжениями не превосходила 3%, и потому их без большой погрешности можно было заменить некоторым постоянным средним значением.

Что касается радиального напряжения, то величина его меняет­ ся от р0 на внутренней поверхности трубки до 0 на свободной на­ ружной поверхности. Величина его, во всяком случае, невелика по сравнению с первыми двумя напряжениями.

Комбинируя растяжение с кручением и внутренним давлением, Дж. Гест имел возможность исследовать еще ряд промежуточных напряженных состояний и для них также установить предел упру­ гости.

В виде примера привожу некоторые данные опытов над труб­ ками из мягкой стали, для которой модуль упругости при растя­ жении £=2,02- Ю6кг/см2, при сдвиге g=0,763-106 кг/см2 [£=0,32],

гв = ~2~ см, /=0,064 см:

В этой таблице Р означает продольное растягивающее усилие; W — сила, производящая кручение. Ее плечо во время опытов равнялось 15d; оь а2, о3 — главные напряжения; р0— внутреннее давление. Силы даны в килограммах, а напряжения в кг/см2.

действующих сил в случае растяжения, будет

9i — 45 + у ,

в случае сжатия этот угол будет

ф2= 45 —

Для некоторых материалов появление этих плоскостей сдвигов удалось наблюдать. Наиболее полной работой в этом направлении является известное исследование Л. Гартманна 1), где интересую­ щиеся найдут целый ряд снимков, великолепно подтверждающих теорию сдвигов.

Для пояснения своей теории Ш. Дюге пользуется следующим графическим построением (рис. 2).

Пусть ss — элементарная площадка и От представляет по вели­ чине и направлению напряжение, которое может вызвать сдвиг по площадке ss. Если по оси абсцисс откладывать нормальные, а по оси ординат скалывающие напряжения, то координатами точки т будут а н т . Но, как мы видели,

x+/cr=S=const.

Следовательно, геометрическое место точек т есть прямая DRlt наклоненная под углом ф к оси абсцисс. Ш. Дюге полагает, что с возрастанием а возрастает и коэффициент трения /, и потому часть прямой DRi он заменяет кривой, пересекающей ось абсцисс в точ­ ке R.

Всякий вектор Ot, проведенный из начала координат О в любую точку t контура DtR, даст нам одно из предельных напряженных состояний. Например, вектор 0Q, проведенный в точку Q, абсцисса*)

*) H a r t m a n n L. Distribution des deformations dans les metaux soumis

которой равна нулю, представит собой сопротивление материала в случае чистого сдвига. Напряжения, направления которых лежат внутри угла PODi, совершенно не могут привести материал к раз­ рушению, что соответствует допущению, что всестороннее сжатие не должно разрушать изотропных тел. На изложении дальнейших подробностей графического построения Ш. Дюге мы останавливать­

О. Мор пользуется для наглядного представления напряжений по различным плоскостям.

Напряженное состояние в любой точке определено, если заданы

В рассматриваемой точке А тела вырежем сферический элемент бесконечно малого радиуса. Совокупность напряжений по всем элементам полученной сферической поверхности определит собой напряжение в точке А. Положим, что на рис. 3 представлено се­ чение сферического элемента плоскостью xz, проходящей через.S*

') М о h г О. Ober die Darstellung des Spannungszustandes und des Deforma tionszustandes eines Korperelementes und fiber die Anwendung derselben in der Festigkeitslehre. Der Civilingenieur, 1882, Jahrgang 1882 (Der neuen Folge), Bd. 28,

SS.113— 156.

a)M о h г О. Welche Umstande bedingen die Elastizitatsgrenze und den Bruch eines Materiales? Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1900, Bd. 44, № 45,

SS. 1524—1530. [Перевод на русский язык: М о р О. Чем обусловлены предел упругости и временное сопротивление материала? «Новые идеи в технике», Сборник

SS. 285—316. [Перевод на русский язык двух последних глав этой работы (SS. 301— 316): Р о т П. Теории прочности и построенные на них формулы машиностроения. «Новые идеи в технике», Сборник № 1, Теории прочности, Изд-во «Образование», Петроград, 1915, стр. 103—121.]

80 ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

главные напряжения ах и az. Третье главное напряжение, очевидно будет перпендикулярно плоскости рисунка.

Рассмотрим первоначально, как будут меняться напряжения для различных элементов сферы, лежащих по большому кругу XZ, и представим графически эти изменения.

Положим, что в сферический элемент А вписана трехгранная призма, две грани которой перпендикулярны осям х и г. Пусть треугольник тпр (рис. 3) представляет основание этой призмы; высота ее, очевидно, будет параллельна среднему по величине

главному напряжению оу. Если мы будем менять угол <р между гранями тр и пр призмы, то напряжения по плоскостям пр будут соответствовать напряжениям по различным элементам сферы, лежащим на большом круге XZ.

Так как основание призмы перпендикулярно главному напряже­ нию ау, то в плоскости тпр нет сдвигающих напряжений и, следо­ вательно, напряжение по любой плоскости пр будет параллельно плоскости рисунка. Пусть о — нормальная и т — тангенциальная составляющая этого напряжения, тогда из условия равновесия трехгранной призмы тпр легко получить следующие два урав­ нения:

а — аг sin2ср -f- ах cos2ср,

Исключая из уравнения (2) переменную величину <р, мы полу­ чим зависимость между а и т такого вида:

Если нормальные напряжения а откладывать в известном мас­ штабе по оси абсцисс, а сдвигающие напряжения т по оси ординат, то нетрудно видеть, что уравнение (3) представит собой круг диа­