книги / Прочность и колебания элементов конструкций

и общее решение уравнения без последнего члена может быть пред­ ставлено в таком виде:

г —A cos kt+B sin kt+C cos qt+D sin qt.

Следовательно, свободные колебания, определяемые разностью углов

Фх фз>

получаются от сложения двух простых гармонических колебаний

спериодами

ифазами, определяемыми по начальным обстоятельствам, из урав нений

tgax = ^-, t g a 2= -£.

Точно таким же способом для колебаний, определяемых раз ностью

ф г— ф з.

получим

у= А' coskt+ B’sin/sf+C' cos^Z+D' sin^/.

При наших обозначениях самые медленные колебания — основ­ ной тон — имеют период

2л/k.

Вэтом случае на ва­ лу имеется только одна узловая точка, положение которой найдем таким об­ разом (рис. 9).

Положим, что узловая точка находится в О на

Первые слагаемые представляют, как мы видели, свободные колебания системы; при наличии различных сопротивлений они скоро затухают и с ними считаться не приходится.

Член А 0/п дает среднее значение угла закручивания фх—<р2 и соответствует среднему значению

04 t)= b Q + cR + % g .

Остальные члены можно соединить попарно, и мы получим ряд вынужденных гармонических колебаний с периодами

2п/а, 2п/2а, 2я/3а, . . .

Амплитуды этих колебаний легко найти, если известно значение коэффициентов

При некоторых значениях угловой скорости вращения машины амплитуды отдельных вынужденных колебаний приобретают осо­ бенно большое значение. Нетрудно видеть, что это будет в тех слу­ чаях, когда значение ai приближается к значению корня уравнения

тогда амплитуда вынужденных колебаний i-ro порядка обращается в бесконечность.

Корни уравнения (16) равны, как мы видели выше, величинам k и q, пропорциональным числам свободных колебаний системы. Отсюда мы можем сделать такое заключение. Амплитуды вынуж­ денных колебаний системы приобретают особенно большое значе­ ние, когда число собственных колебаний пропорционально числу оборотов машины.

Относительно назначения размеров вала нужно повторить то же, что было сказано в § 2. Предварительно намечаем диаметр вала

ОПИСАНИЕ ПРИБОРА А. Н. КРЫЛОВА ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ‘)

Известия С.-Петербургского политехнического института, 1905, том 3, вып. 3—4, стр. 397—406.

§ 1. Механическое интегрирование уравнений

Механическое интегрирование уравнений в приборе А. Н. Кры­ лова распадается на ряд простых операций, выполняемых отдель­

а

2)Заданы fi(x) и /2 (х), нужно автоматически находить их про­ изведение fi(x)-fi{x) при непрерывном изменении х.

Для этой цели вводится особый прибор, названный у А. Н. Кры­ лова множителем.

3)Третья операция заключается в том, чтобы между перемен­ ными величинами г0, zlt z2, . . ., z„_г поддерживать постоянную зависимость, определяемую таким уравнением:

Для этого служит особый прибор, уравнитель.

Раньше чем переходить к описанию общей теории прибора и схемы расположения механизмов, я вкратце познакомлю читателя с отдельными составными частями. Начну с описания интеграфа Джемса Томсона 2).

§ 2. Интеграф Томсона

Интеграф Джемса Томсона 2) состоит из трех главных частей: 1) из диска, вращающегося на оси, проходящей через центр

диска перпендикулярно его плоскости;

*) Это описание взято из статьи К р ы л о в а А. Н. Sur un integrateur des equations differentielles ordinaires [Об интеграторе обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений], помещенной в Известиях Императорской Академии наук, 1904, 5серия, том 20, январь, № 1, стр. 17—37. [См. К р ы л о в А. Н. Собрание трудов. Том. 5, математика и механика. Изд. АН СССР, М.— Л., 1937, стр. 547—568.]

*) [ J a m e s T h o m s o n ] . Описание этого прибора приведено в сочинении: L ' d К е 1 v i n [W. Т.], Т a i t Р. G. Treatise on natural philosophy. Part I. Cambridge, University Press, 1896. Appendix B. Continuons calculating machines, pp. 479—508. CM . Thomson’s tide-predicting machine, pp. 488—492, оно имеется

2)из прямого кругового цилиндра, ось которого параллельна плоскости диска, и

3)из шара, помещаемого между цилиндром и диском. Эти части расположены таким образом, что при перемещении шара геомет­ рическое место точек его касания с цилиндром представляет образую­

щую цилиндра, в то время как точки касания с диском вычерчивают диаметр диска. Схема прибора представлена на рис. 1.

Представим себе, что вра­ щение диска связано с пере­ мещением плоскости, на ко­ торой вычерчена кривая у= = /(*), и положим, что эта

кинематическая связь осуществлена таким образом, что всякому элементарному перемещению плоскости по направлению оси х соответствует равное ему перемещение точек диска, лежащих в расстоянии г от его центра. Если dx будет элементарное перемещение плоскости, то, очевидно, соответствующий угол поворота диска будет

, dx

асо = —.

г

Положим теперь, что с помощью особой вилки мы во время перемещений плоскости устанавливаем шар таким образом, чтобы расстояние его центра до плоскости, проходящей через ось диска перпендикулярно оси цилиндра, оставалось все время равным

y=f(x).

Вращение шара передается трением цилиндру, и если движение совершается без скольжения, то очевидно, что элементарные пере­

также в упомянутой в сноске *) статье А. Н. Крылова. См. также работы Джеймса Томсона и Вильяма Томсона: T h o m s o n J.On an integrating machine having a

calculating (^<р(лф[-(лс)Лс) the integral of the product of two given function. Там же,

pp. 266—268. Mechanical integration of the linear differential equations of the se­ cond order with variable coefficients. Там же, pp. 269—271. Mechanical integration of the general linear differential equations of any order with variable coefficients. Там же, pp. 271—275. Harmonic analyzer. Там же, 1878, vol. 27, № 187, May 9, pp. 371—373. On a machine for the solution of simultaneous linear equations. Там же, 1878, vol. 28, № 191, December 5, pp. I l l —113.

Положим теперь, что имеется подвижная линейка FD, парал­ лельная оси х; на ней имеются салазки Е со штифтом, скользящим

в прорезах ON коленчатого рычага. Расстояние OL линейки до оси

хопределяется все время особым шаблоном так, что при непрерыв­ ном изменении х OL все время остается равным f3(x).

Нетрудно видеть, что штифт Е будет все время занимать поло­ жение, при котором

LE=LOtgLOE=f1 (x)fz (х).

§ 4. Уравнитель

Уравнитель (рис. 3) представляет собой видоизменение прибора лорда Кельвина для предсказывания морских приливов и отливов 1).

§ 5. Общая теория

Ознакомившись с отдельными приборами, перейдем к общей теории, на которой основывается механическое интегрирование уравнений, и начнем с рассмотрения линейных уравнений со сво­ бодным членом.

*) K e l v i n [W. Т.], Т a i t Р. G. См. том I, стр. 44 работы, упомянутой в сноске*) на стр. 55.

Имеется дифференциальное уравнение /г-го порядка

где Pi, рг, . . ри и <7суть заданные функции от независимой пере­ менной х.

Для определенности решения должны быть заданы начальные обстоятельства. Положим, что при х=а

ное значение у{п) определится из уравнения (2), когда мы туда под­

Из рассмотрения уравнения (5) и системы (4) мы видим, что для непрерывного получения величин, им удовлетворяющих, необхо­ димо выполнять следующие операции:

1) дано zh_!, требуется найти zh, что может быть выполнено интеграфом;

Эго может быть выполнено множителем. Для этого штифт С должен быть соединен с цилиндром интеграфа, дающим zh. Это соединение должно быть таково, чтобы ордината СК была равна функции zh. Положение подвижной линейки определяется шабло­ ном, представляющим функцию ph(x).

том, чтобы между q, г, рхги ргг2, . . ., рпгп сохранялась зависимость

7+ 2+ p 1z1+ . . .+p„zn= 0.

Положение первого блока уравнителя определяется шаблоном, представляющим q(x); второй блок соединен с вилкой первого ин­ теграфа и соответствует члену z уравнения (5); третий блок связан со штифтом первого множителя, дающим pxZ\, и т.д.

Схема всего расположения представлена на рис. 4.

Интеграфы числом п схематически изображены чертой, соответ­ ствующей диску, и прямоугольником, представляющим цилиндр. Линии, соединяющие на схеме какие-либо два элемента, указывают на то, что перемещения соответствующих элементов равны.

Положение всех дисков в начальный момент должно соответст­ вовать х—а. Шаблоны q, plt р а, . . рП) перемещения которых связаны с перемещениями дисков, также должны быть установле­ ны в своем начальном положении, соответствующем х=а. Вилки