книги / Прочность и колебания элементов конструкций

совершенно не учитывает влияния инерции ударяемой системы и потому дает для К преувеличенное значение. В действительности часть живой силы при ударе теряется и изменение формы ударяе­ мой системы отличается от того, что мы имеем при статической на­ грузке. Позднее И. Ходкинсон *) при обработке своих опытов, про­ изведенных над балками с опертыми концами, предложил при опре­ делении потерянной живой силы исходить из предположения, что ударяющий груз встречает в месте удара (посредине пролета) массу, равную половину массы балки. Теоретическое обоснование такого приема расчета было дано X. Коксом8). Задачу о разыска­ нии динамического прогиба балки X. Кокс разбивает на две части: 1) находит изменение скорости ударяющего тела непосредственно после удара и потом 2) определяет динамический прогиб балки, при­ равнивая кинетическую энергию системы непосредственно после удара потенциальной энергии изгиба. Для решения первой части задачи X. Кокс делает предположение, что при ударе ось балки гнется по такой же кривой, как и в случае статической нагрузки, приложенной в месте удара. Тогда скорость ударяющего тела vt непосредственно после удара выразится формулой

т

О, = ---j—j-ry V,

1 m-\-kM

где кМ — приведенная масса балки. Множитель k зависит от спосо­ ба закрепления концов балки и от положения места удара. В част­ ном случае балки с опертыми концами и удара посредине пролета /г= 17/35. Величина эта весьма близка к тому, что принимал при сво­ их вычислениях И. Ходкинсон. Определив таким образом изменение скорости ударяющего тела, найдем для кинетической энергии сис­ темы непосредственно после удара следующее выражение:

Приравнивая это потенциальной энергии деформации, получим для

iron.J Report of the commissioners appointed to inquire into the application of iron

2 2 2 К ВОПРОСУ О ДЕЙСТВИИ УДАРА НА БАЛКУ

ударе. Оно тем больше отличается от (1), чем больше масса балки по сравнению с массой ударяющего тела.

Приближенные решения (1) и (2) основаны на том предположе­ нии, что при ударе перемещения отдельных точек ударяемой си­ стемы такие же, как и при статической нагрузке. В действитель­ ности удар всегда сопровождается колебаниями, которые сильно влияют на перемещения точек ударяемой системы и при некоторых условиях поглощают значительную часть кинетической энергии. Поэтому естественно, что дальнейшие исследования по удару были направлены главным образом на изучение возникающих при ударе колебаний.

Вопрос о продольных колебаниях, появляющихся при ударе в призматических брусках, был разрешен еще Луи Мари Навье х). Колебания брусков при поперечном ударе подробно были рас­ смотрены Барре Сен-Венаном2). Оба эти исследователя исходили из предположения, что в момент соприкасания ударяющее тело сообщает свою скорость лишь тому сечению бруска, где происходит удар, и так как действие удара в первый момент распространяется лишь на небольшую массу, то заметного изменения скорости не происходит, она начинает убывать лишь по мере распространения действия удара. Допустив, кроме того, что ударяющий груз находит­ ся в соприкасании с балкой по крайней мере в продолжение полови­ ны периода основных колебаний 3), Сен-Венан привел задачу о дей­ ствии удара на балку к вопросу о поперечных колебаниях призма­ тического стержня с прикрепленным к нему грузом. Решение для этого случая получается в виде бесконечных рядов, но если огра­ ничиться лишь первыми членами этих рядов, то мы придем к ранее полученному элементарным путем второму приближению (2). Мно­ гочисленные опыты, произведенные над продольным ударом приз­ матических стержней, не подтвердили результатов Сен-Венана, и более подробное исследование деформации у места удара *) показало, что местные деформации имеют весьма существенное влияние на продолжительность удара.

*) N a v i е г [L]. Resume des lemons donnees a l’ecole des ponts et chaussees sur l’application de la mecanique к l’etablissement des constructions et des machines.

Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 1908, vol. 14, Part 3, pp. 257— 286; Transactions of the Cambridge Philosophical Society 1908, vol. 21, № 2, pp. 49— 105; R a m s a u e r C. Experimentelle und theoretische Grundlagen des elastischen und mechanischen Stosses. Annalen der Physik, Vierte Folge, 1909, Bd. 30, № 13, Heft 3, SS. 417—494.

§2. БОЛЕЕ ПОДРОБНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО УДАРА 223

§ 2. Более подробное исследование поперечного удара

Вопрос о действии поперечного удара на призматический стер­ жень, несмотря на его большую практическую важность, не был под­ вергнут более подробному исследованию, и мы в дальнейшем при­ водим попытку приближенного решения этой задачи в связи с рас­ смотрением влияния местных деформаций. Решение это основано на соображении, высказанном еще Г. Герцем1) при исследовании удара шаров. Г. Герц полагал, что «комбинируя статическое сжатие в частях тел, лежащих непосредственно у места соприка­ сания, с общими уравнениями движения для остальных частей тел, мы, вероятно, могли бы получить закон для удара тел любой формы».

Применим эти общие соображения к исследованию действия уда­ ра на балку с опертыми концами. Чтобы иметь возможность нахо­ дить местные деформации, необходимо предварительно задаться видом поверхностей ударяющего тела и балки у места соприкаса­ ния. Будем предполагать, что ударяющий груз ограничен шаровой поверхностью, а балка плоскостью, перпендикулярной направле­ нию скорости груза. Тогда на основании формулы Г. Герца сближение а ударяющихся тел, вследствие местных деформаций, равно

Здесь

р — модуль упругости при сдвиге; г — радиус поверхности ударя­ ющего тела и Р — давление, возникающее в месте соприкасания. Вибрациями, возникающими при ударе в падающем грузе, мы будем пренебрегать г); что же касается балки, то вынужденные колеба­ ния, которые она совершает благодаря переменному давлению Р, могут быть учтены на основании имеющихся решений для вынуж­ денных колебаний призматических стержней. Если предположить для упрощения, что удар происходит посредине пролета балки,213*

plates whose surfaces are absolutely parallel. Philosophical Magazine and Journal of Science, 1906, vol. 12, 6serie, № 71, November, pp. 489—493 [Перепечатка: S t r u t t

ность удара и на величину возникающих при ударе напряжений.

226 К ВОПРОСУ О ДЕЙСТВИИ УДАРА НА БАЛКУ

$ 2. БОЛЕЕ ПОДРОБНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО УДАРА 2 2 7

П р о д о л ж е н и е т а б л . А

и при помощи формул (5) и (7) находим более точное значение для сближения а= у!— у, а следовательно, и для давления Р в конце первого интервала. Для определения давления Р в конце второго интервала допустим предварительно, что на протяжении первых двух интервалов давление постоянно и имеет значение, вычисленное раньше для конца первого интервала; тогда для перемещения тела Ух и для прогиба балки у находим соответствующие значения и легко определяем величины а и Р. Более точное значение для Р получим, допустив, что на протяжении первого интервала действует давление, равное половине усилия, соответствующего концу первого интер­ вала, а на протяжении второго интервала — давление, равное полусумме давлений в конце первого и второго интервалов. Полу­ чив при помощи формул (5) и (7) второе приближение для давления Р в конце второго интервала, мы переходим к следующему интерва­ лу и повторяем вычисления в прежнем порядке. Предварительно считаем, что на протяжении второго и третьего интервалов действу­ ет постоянное давление, равное вычисленному выше давлению в конце второго интервала, и находим для давления Р в конце треть­ его интервала приближенное значение. Для получения второго приближения исходим из предположения, что на протяжении треть­ его интервала действует постоянное давление, равное полусумме давлений в конце 2-го и в конце 3-го интервалов и т. д.

§3 . Примеры

В качестве примера приводим вычисления для балочки, период основных колебаний которой равен 1 • 10_3 секунды. Осуществить брусок с таким периодом собственных колебаний возможно при различных значениях длины I, нужно только соответственным об­ разом менять размер поперечного сечения. Если мы возьмем сталь­ ной брусок (положим для стали £=2,2-10® кг/см* и удельный вес 7,96 т/м3) квадратного поперечного сечения 1 х 1 см3, то соответ­ ствующая длина найдется из формулы для периода основных коле­ баний:

( 8)

Подставляя указанные выше численные значения входящих в формулу (8) величин, найдем для пролета балочки значение 1= = 15,35 см, и соответствующая масса балочки будет равна

1 5 ,3 5 -0 ,0 0 7 9 6

981

Предположим, что эту балочку ударяет в середине пролета сталь­ ной шарик радиуса г=1 см и массы

40 ,0 0 7 9 6

т= Т п 981

движущийся со скоростью о=1 см/сек. Первое приближение (1) дает в этом случае для динамического прогиба /д значение 1,18*10“* см. Второе приближение дает нам

£ = 0,702* 10“*™.

Разделим время удара на интервалы продолжительности т = =7/180=0,05556- 10-4 сек, тогда формула (7) напишется так:

Кроме того, задаваясь для стали значением

ц = 9 -10* кг/смг,