книги / Прочность и колебания элементов конструкций

деляется третьим членом интеграла (З)1). В дальнейшем мы будем главным образом заниматься этим третьим членом. Он определяет колебания, зависящие от действия внешних сил за время от 0 до t, и потому представляет наибольший практический интерес.

§ 2. Перемещения

Колебание стержня будет вполне определено, если известны пе­ ремещения каждого элемента стержня. Элементы будем выделять сечениями, нормальными к оси стержня. Начальное положение лю­ бого элемента определяется одной координатой (расстоянием х от какого-либо конца стержня). Вес призматического стержня, от­ несенный к единице длины, будем обозначать через q.

Перемещение любого элемента обозначим через у (при продоль­ ных и поперечных колебаниях у обозначает линейное перемещение элемента, при колебаниях кручения — угловое перемещение). В самом общем виде перемещение может быть представлено в виде ряда

ф г, . . . «нормальные функции», зависящие от положения рассматри­ ваемого элемента (функции от координаты х). Они, очевидно, должны быть подобраны таким образом, чтобы в любой момент t были выполнены заданные условия на концах стержня.

Кинетическая энергия системы при продольных и поперечных колебаниях представится в такой форме:

Здесь через / обозначена длина стержня; g —ускорение силы тя­ жести. Множитель q вынесен из-под знака интегрирования, так как предполагается, что q постоянно по длине стержня.

В выражении (5) члены вида i

2ф3фг J qusutdx

о

-1) Колебания, определяемые этим членом, А. Н. Крылов называет «вынуж­ денными колебаниями системы». Это определение отличается от общепринятого. Обыкновенно вынужденными колебаниями называют те, период которых совпадает с периодом вынуждающей колебания силы. В третьем члене интеграла (3) будут заключаться и вынужденные и свободные колебания системы.

142 о ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

обращаются в нуль. Координаты ф ь ф 2, . . . предполагаются нор­ мальными, и потому в выражение живой силы должны входить лишь квадраты этих величин. Отсюда приходим к такому положению. Чтобы координаты фъ ф2, . . . были нормальными, должно быть вы­ полнено условие

Подобно живой силе потенциальная энергия стержня также может быть представлена функцией, заключающей лишь квадраты величин фх, ф2, . . . После этого определение нормальных колебаний может быть выполнено путем, намеченным в предыдущем параграфе. Вставляя найденные таким образом значения ф1; ф2, . . . в общее выражение (4) для перемещений, получаем полное решение задачи. Применим теперь этот общий метод к решению частных задач.

II.ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

§3. Колебания стержня, один конец которого заделан, другой свободен

Помещая начало координат в центре тяжести заделанного се­ чения и направляя ось х по оси стержня, будем иметь на концах стержня условия

Общее выражение для перемещений в нормальных координатах может быть в данном случае написано сразу:

п—оо

Легко видеть, что общее выражение (2) удовлетворяет условиям на концах. Остается показать, что величины фх, ф2, . . . будут нор­ мальными координатами. Составим для этого выражения потенци­ альной энергии и живой силы системы. Обозначим через Е модуль упругости при растяжении и через F площадь поперечного сечения стержня, получаем

Вставляя вместо у его общее выражение (2) и принимая во внима­ ние, что

Кинетическая энергия стержня будет i

Выражения (3) и (4) заключают лицц> квадраты величин фх, Фг,. . . и квадраты их первых производных, следовательно, фх,- ф2, . . .

являются нормальными координатами системы. Для нахождения нормального колебания, соответствующего какой-либо координате срп, составляем при помощи (3) и (4) соответствующее уравнение Лагранжа

Положим, что начальные значения координаты срп и соответству­ ющей ей скорости равны нулю, тогда значение координаты ф„ в любой момент t определится третьим членом решения (5).

Вставляя это в общее выражение (2) для перемещений, получим

Чтобы получить перемещения свободного конца стержня, нужно только в полученном решении положить х=1 и поставить вместо

Фп величину, соответствующую заданным внешним силам. В ка­ честве примера рассмотрим случай, когда вынуждающая колебания сила приложена к концу стержня и пусть Ff(t) — величина этой

соответствующее приращению 8<р„ координаты <рп, будет

Если']а=6, т. е. когда скорость перемещения точки приложения растягивающей силы равна скорости распространения звука по стержню, то выражение для (y)t принимает форму 0/0.

Раскрывая неопределенность, найдем

При t=l/a, т. е. когда точка приложения силы достигнет свобод­ ного конца, растяжение стержня будет

Следовательно, удлинение стержня в этот момент равно половине статического растяжения.

§ 4. Колебания стержня, к свободному концу которого подвешен груз Р

На практике с подобной задачей приходится встречаться при ис­ следовании колебаний индикаторной пружины с подвешенным к ней поршнем. Свободные колебания этой системы исследованы еще Пуас­ соном, и этим решением можно было бы воспользоваться при состав­ лении выражения для перемещений у в нормальных координатах. Мы для большей ясности проделаем все выкладки, относящиеся к определению нормальных координат. Как известно, вопрос о про­

выражение потенциальной энергии и живой силы системы:

Полученное выражение для V не заключает членов с произведением координат, так как интегралы вида

J cos-t'i- cos

о

обращаются в нуль в силу уравнения (9).

Живая сила системы составится из живой силы стержня и живой

В выражения для живой силы входят члены, заключающие лишь

квадраты величин фь tp2......... следовательно <pi, ф2, . . .— нормаль­ ные координаты системы. Для определения колебания, соответ­ ствующего какой-либо координате ф„, составляем соответствую­ щее уравнение Лагранжа

148 О ВЫНУЖДЕННЫХ к о л е б а н и я х п р и з м а т и ч е с к и х с т е р ж н е й

Общее решение этого уравнения (см. (3) § 1) будет

t

i)dti

Если в начальный момент стержень находился в покое и поло­ жение его соответствовало положению равновесия, то (фп)0=0,

(срп)о= 0 и колебание, соответствующее координате фп, определится третьим членом общего решения. Вставляя это в общее выражение для у (10), получим

Для получения перемещений конца стержня нужно в этом об­

щем решении положить х=1 и вместо Ф„ вставить значение, соответ­ ствующее заданным внешним силам.

Вкачестве примера возьмем случай, когда в начальный момент

i= 0 к концу стержня приложена постоянная растягивающая сила Fp. Для нахождения колебаний, возникающих при внезапном при­ ложении силы, нужно только в общем решении (13) положить

Ф» = ^7> sin р.„.

Перемещение конца стержня будет41

(14)

Если груз Р беспредельно уменьшать, отношение Q/P стремится к бесконечности, а значение /г-го корня трансцендентного уравне­ ния (9) стремится к величине

Вставляя это в выражение (14), получим результат, совпадающий с решением предыдущего параграфа. Наибольшее удлинение при внезапном приложении силы равно двойному статическому растя­ жению. Рассмотрим теперь второй крайний случай, когда отношение Q/P стремится к нулю, а значение л-го корня уравнения (9) стре­ мится к величине

Ц|, = («— 1) л.

150 о ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

(9) таким:

(16)

В качестве первого приближения можно положить

тогда период основного типа колебаний будет

т. е. период колебаний такой же, как и маятника, длина которого равна статическому удлинению стержня при действии груза Р.

К тому же результату можно прийти и элементарным путем, счи­ тая стержень невесомым. Чтобы оценить влияние массы стержня на период основного тона, найдем второе приближение для корня уравнения (16). Подставляя в правую часть уравнения

вместо р2 его первое приближение, получим

вставляя это в выражение для периода колебаний, найдем

Чтобы оценить влияние массы стержня, нужно предположить одну треть этой массы сосредоточенной на конце и потом применить формулу, выведенную для периода колебаний в случае невесомого стержня.

§ 5. Колебания с ненулевой начальной скоростью и перемещением

До сих пор предполагалось, что в начальный момент t=0 сис­ тема находится в покое и начальные координаты равны нулю. По­ лучаемые при таких условиях колебания обусловлены действием внешних сил за промежуток времени от 0 до i.

Рассмотрим теперь колебания, обусловленные начальными об­ стоятельствами движения, т. е. начальными значениями координат