книги / Прочность и колебания элементов конструкций

участком вала выбранного нами диаметра d, длиной /, определяемой по формуле

Формула эта является прямым следствием того положения, что углы закручивания двух валов при прочих равных условиях об­ ратно пропорциональны моментам инерции поперечных сечений. Из рис. 2 (размеры даны в мм), взятого мной из опытов Г. Фрама над валом парохода «Безоцкий» 1), ясно видно, как это преобразование выполняется.

Плоскости II и III соответ­ ствуют тем сечениям вала, в которых производились на­ блюдения. Плоскость IV есть срединная плоскость гребного винта, а / проходит через ось среднего цилиндра и названа Г. Фрамом срединной пло­ скостью паровой машины. Рас­

стояния между этими плоскостями назовем через Llt L2, L3. Угол за­ кручивания вала, соответствующий участку Lt, получается для лю­ бого момента непосредственно из опыта. Чтобы нагляднее представить изменения его в зависимости от угла поворота машины, или от времени (если пренебречь неравномерностью хода), Г. Фрам со­ ставил очень интересные диаграммы. Одна из них представлена на рис. 3. Диаграмма эта относится к вышеупомянутым опытам на пароходе «Безоцкий» и представляет собой изменения угла закру­ чивания при скорости машины, соответствующей 83 оборотам в минуту. За один оборот машины угол закручивания, как видно из рисунка, переходит три раза через значения максимума и мини­ мума. При этом максимальное значение угла закручивания почти втрое превосходит его среднее значение, показанное на рисунке пунктиром.

Получив опытным путем угол закручивания —фг, нетрудно вычислить и соответствующий скручивающий момент по формуле

Определив по формуле (2) Ма, Г. Фрам вычислил максимальные напряжения ттэх в валу при различных углах поворота машины и нашел, что среднее значение ттах равно 218 кг/см2, т. е. совпадает

сданными статического расчета. Крайние же значения напряжений,

l)«BesockU.

22 К ВОПРОСУ о я в л е н и я х р е з о н а н с а в в а л а х

соответствующие наибольшему и наименьшему значениям угла кручения, колеблются в пределах от 600 кг/см3до 166 кг/см3. Г. Фрам полагает, что при 85,8 оборотах машины (это соответствует крити­ ческой скорости для исследуемого вала) максимальное напряжение превосходит 800 кг/см2.

Если принять во внимание, что эти высокие напряжения повто­ ряются три раза за один оборот машины и сменяются каждый раз напряжениями противополож­ ного знака, то совершенно понятна будет возможность поломки валов в машинах, число оборотов которых слу­ чайно совпадает с одной из

критических скоростей.

2)

скоростей машины и гребно­ го винта. Если пренебречь массой вала, то относитель­ ные вращения двух попереч­ ных сечений вала постоянно­ го диаметра будут пропор­ циональны расстоянию меж­ ду этими сечениями. Та же

пропорциональность, очевидно, имеет место и для относительных угловых скоростей вращения этих сечений. Назовем через Va и Vb вращательные скорости, соответствующие сечениям / / и III, по­ лучаемые непосредственно из опыта. Скорости Vc и Va, относя­ щиеся к сечениям I и IV, мы можем вычислить из таких соотно­ шений:

Изменения скоростей Va и Vb, полученных Г. Фрамом опытным путем на пароходе «Безоцкий», и скоростей Ve и Vi, определенных по формулам (3), представлены на рис. 4.

Скорости и Vb показаны на рисунке сплошными линиями, а вычисленные Vc и Vd — пунктирными. Линия Ve представляет собой изменение скорости в сечении, проходящем через узловую точку. Так как впоследствии эта точка нам понадобится, то опре­ делим положение ее в простейшем случае, рассмотренном нами в § 1.

Положим, что вал со шкивами I, II (см. рис. 1) закручен двумя равными и прямо противоположными парами сил. Если эти силы убрать, то предоставленный самому себе вал будет совершать колебания около положения, соответствующего ненапряженному состоянию. Сохраняя прежние обозначения, мы на основании за­ кона сохранения момента количества движения можем написать

24 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ

Из опытов выяснилось, что, отклоняясь от критической ско­ рости на 6—7 оборотов в ту или другую сторону, уже можно полу­ чить довольно спокойный ход машины, что ясно видно и на при­ ложенном рис. 5.

В заключение своей работы Г. Фрам приходит к тому выводу, что общепринятых расчетов вала недостаточно, необходимо произ­ водить поверку на возможность явлений резонанса. Ход расчета должен быть такой: по существующим формулам строительной меха­

число собственных колебаний вала по формуле (6) § 1; если это число окажется кратным числу оборотов машины, то тогда размеры вала должны быть непременно изменены. В нашем распоряжении имеется диаметр вала, изменяя который, мы можем подобрать такой момент инерции Jp для поперечного сечения, чтобы нормальное число оборотов машины было далеко от критического числа оборо­ тов. При такой поверке вала на резонанс может иногда оказаться выгодным даже уменьшение диаметра вала. Уменьшение диаметра, конечно, повысит в валу среднее значение напряжений, но отда­ ление числа собственных колебаний от критического числа дает больше уверенности в прочности вала.

Пока мы имеем дело с пароходными валами, формула (6) § 1 достаточно точна, потому что момент инерции самого вала невелик по сравнению с моментами инерции гребного винта и движущихся частей паровой машины. Далее, в § 3 мы выведем формулы для определения числа собственных колебаний вала, не пренебрегая массой самого вала.

Мы разберем три случая:

1) моменты инерции шкивов, помещенных на концах вала, малы по сравнению с моментом инерции самого вала;

2) моменты инерции шкивов и вала суть величины одного по­ рядка;

3) момент инерции вала мал по сравнению с моментами инерции шкивов.

В заключение мы рассмотрим тот случай, когда на валу имеется три шкива.

Так как вопрос о точном определении различных типов колеба­ ний и соответствующих им периодов для какой-либо системы, вообще говоря, представляет большие трудности, то обыкновенно пользуются различными приближенными методами. Мы будем поль­ зоваться общим приемом, изложенным в известном сочинении лорда Рэлея 1) «Теория звука», в применении к вопросу о колебании струны, масса которой распределена по длине неравномерно.

§ 3. Изложение общего приема вычислений

Сущность приема заключается в том, что мы вместо заданной системы выбираем систему более простую, для которой как типы колебаний, так и их периоды уже известны, и потом вводим соот­ ветствующие поправки в том предположении, что разность между заданной и выбранной нами системами очень мала.

Пусть (£>!, Фа, ... будут нормальные координаты для выбранной нами системы, тогда выражение для живой силы 2) напишется так:

Потенциальная энергия в случае малых деформаций выразится функцией второй степени от координат, так как можно допустить, что твердые тела в некоторых пределах следуют закону Гука. Сле­ довательно, можем написать, что

Чтобы получить период свободных колебаний какого-либо типа, нужно только составить соответствующее уравнение Лагранжа. Положим, мы остановились на типе колебаний, определяемом коор­ динатой Ф;. Относящееся сюда уравнение будет

*) S t r u t t J. W. ( R a y l e i g h ) . The theory of sound. Vol. I. 2nd edition. London and New York, MacMillan and Co., 1894. CM. pp. 180—246. [Перевод на рус­ ский язык: С т р э т т Дж. В. (л о р д Р э л е й ) . Теория звука. Том I. М.— Л ., Гостехиздат,М940; Поперечные колебания струн, гл. 6, стр. 187—257.]

2) [Кинетическая энергия.]

2fi К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ

или на основании (1) и (2)

+ = (3 )

Это уравнение соответствует простому гармоническому коле­ банию

Ф ,= A cos (n,t + «,).

Следовательно, в том случае, когда мы знаем выражение для живой силы и для потенциальной энергии выбранной нами системы в нормальных координатах, различные типы колебаний и соответ­ ствующие им периоды получить нетрудно. Если теперь в выбранной нами системе произвести малые изменения, то Ф1( Ф,, вообще го­ воря, не будут уже представлять собой системы нормальных коор­ динат, и, следовательно, в выражения для живой силы и для по­ тенциальной энергии кроме квадратов координат и соответствую­ щих им скоростей войдут еще и произведения их, а также могут появиться и новые координаты. При малых изменениях системы коэффициенты при новых членах будут также малыми, и на этом допущении основано определение периодов колебаний, соответст­ вующих измененной системе.

Выражения для живой силы и потенциальной энергии изменен­

где бап , ба12, . . ., бсц, 6clt, . . .— малые величины, соответствую­ щие малым изменениям первоначальной системы.

Пользуясь выражениями (5), нетрудно составить уравнения Лагранжа для измененной системы. Они напишутся так:

(я, -f- 6ап) Ф2+ (с2-f- бсп) Ф, -|^ ба,2Ф2+ бс12Ф2-f- ба13Ф3+

28 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ

откуда

Из лагранжевых уравнений (3), относящихся к первоначальной системе, мы имеем

— asp2+ cs = О,

на основании чего (7) можно переписать так:

Ф . ф — Prbars—-6с,^ rs

( Г )

'' as (pi—Pr) ’

Втех случаях, когда изменения сгз не влияют на потенциальную

энергию системы, бсГ4= 0 и отношение Ф, : Фг напишется проще:

Мы остановились на выводе формулы (9), потому что считаем ее очень полезной для решения многих вопросов из области тех­ ники. Кроме исследования колебаний струны и валов ее можно применить при изучении поперечных колебаний балок, когда кроме равномерно распределенной нагрузки имеются еще и сосредоточен­ ные грузы или когда сечение балки не остается постоянным по длине. Когда нужно только приблизительно оценить влияние на период колебаний тех или иных изменений в системе, то формулой

(9) можно пользоваться даже и не при очень малых изменениях системы. Укажу такой пример: если массу струны, равномерно распределенную по длине, представить себе сосредоточенной в

середине, то периоды колебаний, соответствующие основным тонам

этих систем, будут относиться между собой как 12 : п2. При при­ ближенных расчетах можно воспользоваться и таким решением, как первым приближением.

Пока изменения системы настолько малы, что квадратами их мы можем пренебречь, следует пользоваться более простой фор­ мулой

Из формулы (10) можно сразу сделать некоторые заключения относительно влияния изменений системы на период колебаний. Всякое увеличение потенциальной энергии, соответствующее поло­ жительному Ьсгг, увеличивает р2 и уменьшает период колебаний, что и нужно было ожидать, так как возрастанию потенциальной энергии соответствует увеличение жесткости системы.

Изменения в кинетической энергии имеют противоположное влияние на период колебаний: увеличение кинетической энергии, соответствующее положительному 6агг, увеличивает период колеба­ ний. Этого и следовало ожидать, так как увеличение кинетической энергии, без изменения потенциальной, возможно только при уве­ личении движущихся масс.

§ 4. Рассмотрение случая, когда моменты инерции шкивов малы по сравнению с моментом инерции вала

Применим выведенные в предыдущем параграфе формулы к слу­ чаю цилиндрического вала, на концах которого насажены шкивы с моментами инерции 0х и 02, малыми по сравнению с моментом инер­ ции самого вала. Ход задачи должен быть такой: исследуем вопрос

чалом координат. Возьмем сечение / — / на расстоянии х от начала координат, и пусть ф обозначает переменный угол поворота этого сечения во время колебания вала; тогда производная дф/дх даст нам

кручение вала в выбранном сечении. Момент внутренних сил упру­ гости относительно оси вала в том же сечении будет, очевидно, равен

М= GJр дх‘

Всечении II — II, отстоящем от / — / на dx, момент внутрен­ них сил будет несколько иным и определится из формулы

М' — M-\-dM = G J -f GJpd^ d x .

Сечениями I — l u l l — //м ы выделили бесконечно малый эле­ мент вала длиной dx, считая по оси. Нам легко будет исследовать движение этого элемента, если воспользоваться принципом Даламбера. Соответствующее уравнение представится в виде

здесь через б обозначено р//7 — масса единицы объема вала. Самое общее решение уравнения (Г), как известно, будет

Ф = / ( х —at) + f(x + at), где aa = -g .

Мы должны выбрать такое решение, которое удовлетворяло бы условиям на концах вала. Так как концы вала свободны, то, следо­ вательно,

Положим, что <р меняется со временем по закону cos p j, тогда

д аф __

Ж= — PiФ.