книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Отсюда дифференцированием получаем выражения

Выражение (7) дает возможность определить угол наклона ка­ сательной к упругой линии в любом сечении изогнувшегося стержня. Из (8) определяется кривизна упругой линии, а следовательно, и изгибающий момент.

Из выражений (7) и (8) мы видим, что величины углов наклона касательной и упругой линии к хорде и величины моментов зависят не только от величины моментов на концах Afi и М 2, но также и от величины ей.

Из условия (5) видим,, что

p _ EJ(alF

Сравнивая это с формулой Эйлера для продольного изгиба

п, EJn*

*/2 *

мы видим, что (я/)*=0а пропорционально отношению продольной сжимающей силы Р к критической силе Р' .

Когда сила Р мала по сравнению с Р' , величина а/также мала, тогда выражения можно преобразовать, разлагая ctg ей и esc ей в ряде и сохраняя члены не выше второго порядка:

Подставляя это в выражения (7) и (8), получим для углов наклона касательной 7\

Следовательно, предположение о линейном законе распределе­ ния изгибающего момента будет соответствовать действительности в том случае, когда al — величина малая, т. е. когда продольная сжимающая сила мала по сравнению с эйлеровой критической на­ грузкой.

102 К ВОПРОСУ О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

Когда al нельзя считать малым, формулы (1) дают неверные зна­ чения для Ali и М г, и для получения моментов на концах необходимо исходить из общей формулы для кривизны (8). Из нее мы получаем зависимость для момента в любом сечении

Мы видим, что изменение изгибающего момента по длине стержня не подчиняется линейному закону. Ниже мы подробнее остановимся на исследовании выражения (11), теперь же рассмотрим, как выра­ жаются изгибающие моменты Afi и М 2 через углы Тг и Т 2 при не­ которых частных численных значениях al.

Из (7) имеем

Из таблицы 1 мы видим, что чем ближе продольная сжимающая сила к критической эйлеровой нагрузке, тем больше отклоняются

Т аблица 1

Если абсолютная величина Л1а меньше, нежели то следует из неравенства (15), то тогда изгибающий момент не имеет на протяже­ нии пролета стержня максимума и расчет дополнительных напря­ жений должен вестись по обычным формулам (12); в противном же случае необходимо вычислить значение этого максимума и уже по нему определять наибольшие значения дополнительных напряже­ ний.

До сих пор мы предполагали, что действующие на стержень силы сжимают его. В случае растягивающих сил пришлось бы повторить прежний вывод. При at малом закон изменения изгибающего момен­ та близок к линейному; когда at не мало, закон изменения момента изобразится формулой, аналогичной формуле (11), только вместо тригонометрических функций получим функции гиперболические. Наибольшее значение изгибающего момента, очевидно, совпадет в этом случае с одним из концевых значений момента, и расчет допол­ нительных напряжений придется вести по формулам (12).

На этом мы закончим рассмотрение второго допущения, на кото­ ром построена обычная метода определения дополнительных на­ пряжений. Мы видим, что только в случае гибких сжатых стержней обычные формулы (12) могут давать для дополнительных напряже­ ний значения, значительно меньшие действительных.

о в л и я н и и КРУГЛЫХ ОТВЕРСТИЙ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНКАХ

Известия Киевского политехнического института, 1907, год 7, книга 3, стр. 95—113. Отдельный оттиск, Киев, 1907, 21 стр.

§ 1. Введение

Пластинка, толщина которой б мала по сравнению с остальными размерами, подвергается действию приложенных по контуру сил, лежащих в срединной плоскости пластинки. Положим, что нам изве­ стен закон распределения напряжений. Задача заключается в том, чтобы найти, как изменятся напряжения, если в какой-либо точке пластинки, удаленной от контура, сделать круглое отверстие малого диаметра. Частный случай поставленной задачи решен Г. Киршем *), им разобран случай растяжения пластинки. Свое решение Г. Кирш получил путем подбора. Процесса этого подбора решения он не при­ водит, а дает окончательные значения перемещений и деформаций и показывает, что они удовлетворяют основным уравнениям теории упругости. Недавно вышла по этому же вопросу новая работа

П.А. Велихова 12). Хотя автор в начале своей работы и указывает, что ему при отыскании решения много помогла гидродинамическая аналогия, но в действительности опять все сведено к постепенному подбору решения. В заключение этой работы автор приходит к ре­ зультатам Г. Кирша. Ниже мы подробно остановимся на работе

П.А. Велихова, здесь же предлагаем решение задачи прямым путем,

ане путем подбора. Такое решение вполне возможно, если рассма­ тривать задачу как плоскую и воспользоваться общим решением ее

вслучае кругового кольца 3).

§2. Плоская задача

Втом случае, когда толщина пластинки мала, задачу нахожде­ ния напряжений можно значительно упростить, если вместо действи­

тельных значений напряжений брать их средние значения по тол-

1) К i г s с h [G.]. Die Theorie der Elastizitat und die Bediirfnisse der Festig-

в растянутой полосе. Известия Императорского московского инженерного учи­ лища. Часть II. Научные труды, 1907, сентябрь, вып. 1, стр. 11—91.

3) Т i ш р е A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen, einfach gelost mit Hille der Airy’schen Funktion. Zeitschrift fiir Mathematik und Physik, 1905, Bd. 52, Heft 4, SS. 348—383. CM. S. 370.

щине пластинки. Тогда мы приходим к так называемой обобщенной плоской задаче 1).

Возьмем срединную плоскость за плоскость ху, ось г направим перпендикулярно плоскости пластинки. Так как пластинка подвер­ гается действию сил по контуру и поверхности пластинки свободны от усилий, то при малой толщине можно положить Z02)= 0 по всей пластинке. Если еще принять во внимание, что Zx и Zy — нули на поверхностях пластинки, то тогда средние значения напряжений по толщине пластинки должны удовлетворять таким дифференциаль­ ным уравнениям равновесия:

Таким образом, напряженное состояние будет вполне определе­ но, раз мы найдем функцию F. Так как напряжения Х х, Y У,Х У не независимы, а выражаются через средние значения перемещений и, v, то для того, чтобы напряжения (2) были возможны в упругом теле, необходимо, чтобы неизвестная пока функция F удовлетворяла некоторому уравнению. Уравнение это в декартовых координатах имеет вид

Таким образом, в случае обобщенной плоской задачи все сводится к решению дифференциального уравнения (3). Решение должно быть подобрано таким образом, чтобы были удовлетворены условия на контуре.

Для нашей задачи удобнее ввести полярные координаты г и 0. Обозначая нормальные напряжения в направлении радиуса через гг и в направлении касательной через 00 и сдвигающие напряжения по соответствующим площадкам через г0, будем иметь8)

Подставляя в выражения (7) и (9) вместо г величины R и р и срав­ нивая полученные результаты с выражениями (10) и (11), найдем ряд уравнений для определения произвольных постоянных ат, Ьт, ст, dm, ат, pm, Ym, бтПрисоединяя сюда еще условия одно­ значности перемещений, мы получим число уравнений, достаточное для определения всех произвольных постоянных. Приложим эту общую методу к частным случаям.

§ 4 . Пластинка подвергается одноосному равномерному растяжению или сжатию

Пусть р — величина этого растягивающего или сжимающего на­ пряжения. Если нет отверстия, то это напряжение постоянно для всех точек пластинки. Вырезав в пластинке отверстие, мы изменим распределение напряжений, так как по контуру отверстия эти на­ пряжения уже не будут равны р, а должны обращаться в нуль. Это измененное напряженное состояние, очевидно, будет симметрично относительно центра отверстия, и напряжение в каждой точке плас­ тинки будет зависеть только от г. Функция F не будет зависеть от 0 и должна иметь вид

асоответствующие напряжения

rr= 2b0 + ca(\ + 2 1пг) + -^-,

6§ = 2fc0+ c,(3 + 2 1 n r) --

г6= 0.

Если вырезать из пластинки кольцо с большим наружным радиу­ сом R, то можно считать, что по наружному контуру будет действо­ вать прежнее сжимающее или растягивающее напряжение р. Зада­ ча о кольце, подверженном наружному всестороннему сжатию или растяжению, решена. На тот случай, когда наружный радиус очень велик по сравнению с внутренним, напряжения выразятся таким образом:

При р=г, т. е. по контуру отверстия, будем иметь

гг —0, 0§ = 2р,