книги / Прочность и колебания элементов конструкций

интеграфов должны быть установлены так, чтобы

Связанные с вилками интеграфов штифты С множителей уста­ навливаются так, чтобы

(KC)h= zk.

Подвижные блоки уравнителя, связанные с множителями, зай­ мут положения, определяемые ординатами

Ясно, что оставшийся подвижной блок непременно должен за­ нять положение z=bn и этим определится положение вилки первого интеграфа.

Если теперь диски интеграфов и связанные с ними шаблоны привести в движение часовым механизмом, то положение первого подвижного блока, направляемого шаблоном qx, будет определяться ординатой, соответствующей члену q уравнения (5).

Перемещения второго подвижного блока z передаются вилке

первого интеграфа. Цилиндр первого интеграфа будет давать

X

Zj = § zdx-\-bn_lt которое поступает на первый множитель. Здесь гх

а

помножается на р1 и произведение ptzt передается третьему блоку уравнителя. С цилиндра первого интеграфа zt поступает на вилку второго, тогда цилиндр второго интеграфа будет давать z2 и т. д. до цилиндра n-го интеграфа, который нам даст zn—y, т. е. искомую функцию.

Из всего сказанного видно, что интегрирование линейных диф­ ференциальных уравнений с переменными коэффициентами и с последним членом может быть выполнено системой связанных между собой механизмов.

Число интеграфов, очевидно, должно равняться порядку урав­ нения (2), число множителей соответствует числу коэффициентов, отличных от единицы. Уравнитель имеет, очевидно, столько под­ вижных блоков, сколько членов в дифференциальном уравнении (5).

Покажем теперь, что механическое интегрирование с помощью прибора А. Н. Крылова возможно и в более общем случае. Рас­ смотрим уравнения, в которых неизвестная функция и ее произ­ водные входят алгебраически. Сохраняя обозначения (4), мы такое уравнение можем привести к виду

Общая схема прибора в случае подобных уравнений остается прежней, и придется только вставить ряд добавочных множителей для составления соответствующих членов уравнения (5).

Положим, что имеется, например, такой член:

Р (*) z\z3;

для его составления необходимо иметь три множителя, располо­ женных, как показано на рис. 5.

Первый множитель дает нам произведение

p(x)Zi.

Второй множитель, получая от первого p(x)Zi и от соответст­ вующего цилиндра Zi, дает в ре­ зультате величину

Р (х) zf;

это поступает на третий множи­ тель, связанный с цилиндром z3, и в результате последнего умноже­ ния получим искомый член урав­ нения (5)

могут найти указания относительно интегрирования уравнений вида

где pi фо; . . . фпг суть функции одной переменной, поставленной в скобках. Там же помещены указания на видоизменения прибора, с помощью которых возможно: 1) механически разлагать любую функцию в тригонометрический ряд и 2) решать численные урав­ нения вида

а0хп + а1хп- 1+ ... + а„ = 0.

Относительно точности прибора А. Н. Крылов, на основании подробного изучения отдельных входящих механизмов, полагает, что ошибки при интегрировании несложных, например линейных, уравнений не будут превосходить 1/2%.

64ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

§2. Старые теории о прочности

Вслучае испытания различных материалов на растяжение и на сжатие различают обыкновенно два предельных напряженных состояния. Первое соответствует пределу упругости рассматрива­ емого материала, второе — моменту разрушения. Оба эти предель­ ные состояния определяются величиной соответствующих напряже­ ний и играют существенную роль при назначении допускаемых напряжений. Задача различных теорий о прочности состоит в том, чтобы данные, имеющиеся для растяжения и сжатия, перенести и на всякий другой вид напряженного состояния. Здесь приходится отметить три различных взгляда на прочность.

Первая гипотеза — теория максимального нормального напря­ жения. Прочность вполне определяется величиной напряжений. При любом напряженном состоянии прочность считается обеспечен­ ной, если величина напряжений нигде не превосходит пределов, установленных для линейного напряженного состояния, т. е. для простого растяжения или для простого сжатия.

Напряженное состояние в любой точке может быть вполне определено тремя главными напряжениями

ОXI Gу, Uz.

Положим, что

ax< a y< o z.

Если через хх и хг назовем напряжения, соответствующие пре­ делу упругости при простом растяжении и сжатии, то на основании первой гипотезы предел упругости для любого напряженного со­ стояния будет иметь место, если

или

ох 2? х2, ог = х 1.

Эта теория — самая старая; она высказывалась еще Галилео Галилеем и Готфридом Вильгельмом Лейбницем1). В позднейшее время теория эта разделялась такими знаменитыми работниками в

х) См. исторический обзор Сен-Венана в книге: N a v i e r [С. L. М. Н] Resume des lemons donnees a l’ecole des ponts et chaussees sur l’application de la mecanique a l’etablissement des constructions et des machines. Troisieme edition avec des notes et des appendices par M. Barre de Saint-Venant. Premiere partie. Contenant les leqons sur la resistance des materiaux et sur l’etablissement des constructions en terre, en ma^onnerie et en charpente. Premiere section. De la resistance des corps solides. Tome I, fascicule I. Paris, Dunod, 1864, pp. CXCIX—CCV, разделы XLIV— XLV.

области теории упругости, как Г. Ламэ1) и А. Клебш а). В Англии, благодаря М. Рэнкину, теория эта нашла большое распростране­ ние; и до сих пор английские и американские инженеры почти ис­ ключительно ею пользуются для случаев сложного сопротивления. Опытные данные, которыми мы располагаем в настоящее время, все без исключения противоречат этой теории. Относительно более новых работ я буду подробнее говорить ниже, а здесь приведу ста­ рые исследования И. Баушингера 3).

И. Баушингер произвел ряд опытов с образцами стали при различном содержании углерода. Для каждого сорта были произ­ ведены опыты на разрыв, на сжатие, изгиб, сдвиг и кручение. При­ чем каждый раз определялся предел упругости и соответствующие ему напряжения. Если бы первая гипотеза была верна, то в случае кручения наибольшие сдвигающие напряжения Т и соответствующие пределу упругости, очевидно, должны были быть равны пределу упругости при простом растяжении, так как Tmax= o r z= —а*.

Вдействительности же И. Баушингер нашел, что Tmax«0,5*i,

т.е. наибольшее сдвигающее напряжение при кручении, соответст­ вующее пределу упругости, приблизительно равняется половине предела упругости при простом растяжении. Это заключение вполне подтвердилось новыми опытами Дж. Геста *) над образцами железа, стали и меди.

В т орая гипот еза — теория максимальной линейной относи­ тельной деформации. Вполне естественное допущение, что прочность определяется величиной наибольшего напряжения, как мы видели, опытами не подтверждается, и потому очень давно уже возникла вторая гипотеза, которая полагает, что прочность может быть определена величиной наибольших растяжений. Впервые эта гипо­ теза высказана была Э. Мариоттом 6) в 1682 году так: «Элементы

*) L a m e G[a b г i е 1]. Lemons sur la theorie mathematique de l’elasticite des corps solides. Deuxieme editions. Paris, Gauthier — Villars, 1866, 335 p. CM. pp. 27—38.

*) С 1 e b s c h [A.]. Theorie de l’elasticit§ des corps solides. Traduite par Barre de Saint-Venant et Flamant. Avec des notes etendues de M. De Saint-Venant. Paris, Dunod, 1883, 900 p. CM. § 37, p. 247.

’) B a u s c h i n g e r J. Versuche йЬег die Festigkeit des Bessemer — Stahles von verschiedenem Kohlenstoffgehalte. Mitteilungen aus dem mechanisch-technischen Laboratorium der Koniglichen technischen Hochschule, Mflnchen, Th. Ackermann,

Philosophical Magazine and Journal of Science, 1900, Series 5, vol. 50, № 302, July, pp. 69—132.

*) [По-видимому, здесь автор следует точке зрения Сен-Венана (см. его Historique abrege, упомянутой на стр. 64 настоящего издания), который пишет, что «с 1682 года Мариотт основал иной принцип, ибо он заметил, что растянутые части разрываются только потому, что их удлинения достигают некоторой величины». См. мемуары: М а г i о 11 е Ed. Observation sur la resistance de tuy aux de contuite d’eau; Sur la depense necessaix dieaux pour l’entretien des jets et sur la resistance des

объема не разрушаются только тогда, когда удлинения их не пре­ вышают вполне определенные значения». Условия прочности с точки зрения этой гипотезы будут таковы:

°z— +

°х— к{а2 + ау) > — х2.

Как мы видим, условия прочности зависят от коэффициента поперечного сжатия k.

Нетрудно показать, что при &=1/4 в случае чистого сдвига на­ пряжение Tmax^ 0,8xi, т. е. наибольшее касательное напряжение, соответствующее пределу упругости, равно 0,80 от того же предела при простом растяжении. Это, как мы видели, не согласуется ни с опытами И. Баушингера, ни Дж. Геста.

Исходя из этой гипотезы, А. Мишон г), а затем и Ж. Понселе старались объяснить разрушение тел при сжатии не чем иным, как поперечным расширением. Полагая для большинства материалов &=1/4, они находили, что сопротивление тел простому сжатию должно в четыре раза превосходить сопротивление их растяжению.

Вторая гипотеза положена в основание известных французских курсов сопротивления материалов 1-й половины 19 века Жана Понселе 2) и Луи Навье 3). Наиболее полное развитие эта теория

Нё du mouvement des eaux et des autres corps fluides. Divise en V parties. Par feu M Mariotte. Mis en lumiere par les soins de M. de La Hire. Paris, E. Michallet, 1686, X +408 p. См. также следующее издание этой книги: Nouvelle edition corrigu. Paris, J. Jombert, 1700, X+390 p. Эд. Мариотт на стр. 352 отмечает: «Я предпола­ гаю, во-первых, что дерево, железо и другие твердые тела имеют волокна и во­ локнистые частицы, вплетенные одна в другую, которые могут разделяться по­ средством некоторой силы, во-вторых, что эти частицы могут вытягиваться более или менее различными грузами и что, наконец, имеется такое удлинение, которое они могут выдержать без разрыва». См. далее M a r i o t t e Е. Oeuvres de Mr. Mariotte, de l’Academie Royale des Sciences. Divisees en deux tomes. Comprenant tous les Traitez de cet Auteur, tant ceux qui avoient deja paru feparement, que ceux qui n’avoient pas encore et£ publiez. Tome premiere. A Leide, Chez Pierre Vander Aa,

des materialise suivil ^’applications ause prieces drodes et aux fermes de charpente des bitimes. Metz. Lithographic de l’ecole d’application de l’Ardillerie et du Genie de Metz. Janvier 1848, 291+5 pp.

nees 5 l’ecole royale des ponts et chaussees. Sur l’application de la mecanique a l’etablissement des constructions et des machines. Partie 1. Contenant les leqons sur la resistance des materiaux, et sur l’etablissement des constructions en terre, en maqonnerie et en charpente. Paris, Chez F. Didot, 1826, 428 p. N a v i e r [C. L. M. H.]. Resume des leqons donnees a l’ecole des ponts et chaussees sur l’application de la mfecanique a l’etablissement des constructions et des machines. Partie 1. Deuxieme edition. Paris, Chez Carilian — Goeury, 1833, 448 p. CM. p. 10.

случай неизотропных тел :). В Германии эта теория введена и нашла всеобщее распространение со времени Ф. Грасгофа 2).

Насколько вторая гипотеза применима к моменту разрушения тел, трудно сказать, так как мы ничего не знаем о распределении напряжений за пределами упругости. Опыты А. Фёппля над раз­ рушением цементных кубиков и В. Фойхта с образцами каменной соли, во всяком случае, стоят в противоречии с этой теорией. Что касается предельного состояния, соответствующего пределу упруго­ сти, то теория эта опровергается как вышеупомянутыми опытами И. Баушингера и Дж. Геста, так и известными работами Г. Вехаге 3). На основании своих опытов над разрушением при изгибе круглых пластинок Г. Вехаге делает два следующих заключения:

1) если железный лист в какой-либо точке испытывает напряже­ ния по двум взаимно перпендикулярным направлениям, то разру­ шение наступает при деформациях вдвое меньших, нежели в случае простого растяжения;

2) растяжение по какому-либо направлению становится опаснее, если оно сопровождается растяжением в направлении, перпендику­ лярном первому.

Второе положение стоит в явном противоречии с гипотезой наибольших растяжений.

Трегпья гипот еза — т еория максимальной разност и нормальных напряж ений — впервые высказана Шарлем Кулоном в его извест­ ном сочинении *).

Прочность на основании этой теории определяется величиной наибольших касательных напряжений.

Так как наибольшие касательные напряжения имеют место в плоскостях, проходящих через направление среднего по величине

х) С 1 е b s с h А. См. Note finale du§ 37, рр. 252—282 его книги, указанной в сноске3) на стр. 65.

2)[G г a s п о f F. Die Festigkeitslehre mit besonderer Rflcksicht auf die Bedtirfnisse des Maschinenbaues. Berlin, Verlag von R. Gartner, 1866, X I> -f294 S, Theorie der Elasticitat und Festigkeit mit Bezug auf ihre Anwendungen in >der Technik. Zweite erweiterte, wesentlich umgrearbeitete Auflage der «Festigkeitslehre*. Berlin, Verlag von Rudolf Gartner. 1878, 408 S. CM. SS. 202, 204, 208, 266—217.]

3)W e h a g e H. Ober die massgebenden Dehnungen bei Korpern, welche nach mehreren Richtungen zugleich beansprucht werden. Mitteilungen aus den Konjglichen technischen Versuchsanstalten zu Berlin. 1888, Jahrgang 6, Heft 3, SS. 89—98.

4)[ C o u l o m b Ch. A. Essai. Sur une application des regies de maximis et minimis a quelques problemes de statique, relatifs а ГArchitecture. Memoires de Mathematique et de Physique, Presentes a l’Academie Royale des Sciences, par divers Savans, et lfis dans Ses Assemblies. Annee 1773. Paris, de l’lmprimerie Royale, 1776, pp. 343—382. См. также C o u l o m b Ch. A. Theorie des machines simples, en ayant

egard au frottement de leurs parties et a la roideur des cordages. Nouvelle edition, i laquelle on a ajoute les memoires du т ё т е auteur. Paris, Bachelier, 1821, 368 p. CM. pp. 357—363.] См. также стр. CXXV книги L. Navier, указанной в сноске l) на стр. 64.

из трех главных напряжений, то при определении прочности игра­ ют роль только наибольшее и наименьшее главные напряжения. Нетрудно показать, что величина наибольших касательных напря­ жений равна полуразности между наибольшим и наименьшим глав­ ными напряжениями.

Вслучае простого растяжения будем иметь

Вобщем случае условие прочности напишется так:

Применяя это к случаю кручения, когда

будем иметь, что предел упругости в случае чистого сдвига равен половине предела упругости при простом растяжении, что вполне подтверждается опытами И. Баушингера, Дж. Геста и др. Последо­ вателями этой теории являются Г. Треска *) и Дж. Дарвин *2). На работы последнего ссылается лорд Кельвин в своем знаменитом сочинении «Натуральная философия» 3) и высказывает тот взгляд, что при оценке склонности материала к разрушению существенную роль должна играть разность между наибольшим и наименьшим главными напряжениями.

Прежде чем перейти к изложению дальнейшего развития третьей гипотезы, я приведу ряд новых экспериментальных исследований, которые дают основание считать третью гипотезу более совершенной, более близкой к действительности.

§ 3. Новые опыты

Окончательное решение вопроса о зависимости между видом напряженного состояния и прочностью материала возможно только на основании научно обработанных опытных данных. Чтобы найти

*) [Т г е s с а Н. Memoire sur l’ecoulement des corps solides. Memoires pre­ serves par divers savants a l’Academie des Sciences de Г Institut de France. Paris, 1868, tome DIX — Huitieme, Savants etrangers — XVIII, pp. 733—799. См. также T г e s с a H. Memoire sur l’ecoulement des corps solides. Там же, 1872, tome Vingtieme, Savants etrangers — XX, pp. 75— 135; Applications de l’ecoulement des corps solides au laminage et au forgeage. Там же, pp. 137— 183; Complement au memoire sur l’ecoulement des corps solides. Там же, pp. 281—286; Ecoulement des corps soli­ des. Memoire sur le poinponnage des metaux. Там же, pp. 617—838.]

2) D a r w i n G. H. On the stresses caused in the interior of the earth by the weight of continents and mountains. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, 1882, vol. 173, Part I, pp. 187—230.

эту зависимость, необходимо начать исследование со случаев одно­ образно деформированных тел, когда для любой точки тела напря­ женное состояние определяется одними и теми же значениями глав­ ных напряжений ах, а у, az. Только установив законы прочности в этих элементарных случаях, возможно перейти к исследованию прочности в случае неоднородно деформированных тел, как, напри­ мер, изгиб, кручение стержней сплошного сечения и др.

При опытах важно отметить два предельных напряженных состояния: одно, соответствующее пределу упругости материала, другое — моменту разрушения. Для стали, железа и других метал­ лов, имеющих предел упругости, особенное значение имеет первое предельное состояние, так как допускаемые напряжения обыкно­ венно назначаются в зависимости от предела упругости. Кроме того, распределение напряжений внутри тела для этого предель­ ного состояния может быть определено на основании данных теории упругости и сопротивления материалов. Что касается второго пре­ дельного состояния, то оно имеет особое значение для таких мате­ риалов, как чугун, цемент и др., для которых допускаемое напря­ жение назначается в зависимости от временного сопротивления.

Задаваясь различными соотношениями между главными напря­ жениями ах, оу, az, мы будем получать различные виды напряжен­ ного состояния. Для каждого такого вида мы, увеличивая напря­ жения, получим свои предельные состояния. Вопрос о прочности какого-либо материала можно считать окончательно решенным только в том случае, когда нам будут известны все возможные предельные напряженные состояния. Наиболее удобно совокуп­ ность этих предельных состояний представить, пользуясь построе­ нием, предложенным Г. Герцем 1). Прием Г. Герца заключается в следующем. Выбираем систему прямоугольных координат и для каждого предельного напряженного состояния строим точку, коор­ динаты которой х, у, г будут равны соответствующим главным напряжениям ах, ау, oz, отложенным в определенном масштабе. Изменяя соотношение между главными напряжениями, мы получим ряд предельных напряженных состояний и каждое из них пред­ ставится некоторой точкой. Совокупность этих точек даст поверх­ ность прочности для данного материала.

Раз поверхность прочности для какого-либо материала известна, то вопрос о прочности в случае любого вида напряженного состоя­ ния легко решается.

До сих пор имеется еще очень мало опытных данных для построе­ ния поверхностей прочности, и для наиболее важных материалов

H e r t z Н. Ober die Beriihrung fester elastischer Korper. Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, 1882, Bd. 92, Heft 1—2, SS. 156— 171. [Перепе­ чатка: H e r t z H e i n r i c h . Gesammelte Werke. Bd. 1. Leipzig, J. A. Barth, 1895, 368 S. CM. SS. 155—173.]

70 ФОРМУЛЫ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

известны только немногие точки этих поверхностей; для большин­ ства же материалов даже вид поверхностей прочности остается неизвестным.

Главная трудность опытных исследований в этом направлении заключается в том, чтобы создать напряженное состояние опреде­ ленного вида. В простейших случаях, например, при простом рас­ тяжении или простом сжатии, уже весьма затруднительно получить равномерное распределение напряжений по площади поперечного сечения испытуемого образца, и то, что мы называем прочностью материала при растяжении или сжатии, очень часто далеко не соответствует действительной его прочности в случае линейного напряженного состояния. Опыты А. Фёппля х) над разрывом це­ ментных образцов ясно показали, например, что действительное сопротивление цемента растяжению несравненно больше, нежели мы считаем на основании разрывов на приборе Михаэлиса. Это подтверждается и опытами М. Грюблера 2*) над разрывом точильных камней при быстром вращении. Относительно неравномерности рас­ пределения напряжений при разрыве железных стержней можно найти некоторые указания у М. Руделоффа 8).

Чтобы создать напряженное состояние, в самом общем случае, определяемое главными напряжениями ах, ау, az, нужно иметь возможность производить равномерно распределение давления или растяжения по каждой паре противоположных граней прямоуголь­ ного параллелепипеда, вырезанного из испытуемого материала.

До сих пор мы не имеем удачного разрешения этой задачи, и те опыты, которые приведены будут ниже, еще далеки от той общно­ сти, которая необходима для полного выяснения законов прочности различных материалов.

§4. Работы А. Фёппля

А.Фёппль 4) исследовал прочность кубиков цемента и естест­ венных камней: 1) в случае простого сжатия; 2) в случае равномер­ ного всестороннего давления и 3) в случае равномерного давления по четырем граням кубика.

*) F б р р 1 А. I. Die Biegungselastizitat der Steinbalken (SS. 1—41); II. Belastungsversuche an einen Tonnenflechtwerkdache (SS. 41—49); III. Versuche iiber die Ausschlage schnell umlaufender Wellen (SS. 49—52). Mitteilungen aus dem me- chanisch-technischen Laboratorium der Koniglichen technischen Hochschule Munchen, Verlag von T. Ackermann, 1896, Heft 24.

2) G r i i - b l e r M. Der Spannungszustand in Schleifsteinen und Schmirgelscheiben. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1897, Bd. 41, № 30, SS. 860— 864. G г fl b 1 e г M. Versuche fiber die Festigkeit von Scheifsteinen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1899, Bd. 43, № 42, SS. 1294—1300.

*) R u d e 1 о f f M. Beitrag zum Studium des Bruchaussehens zerrissener Stabe. Baumaterialienkunde, 1899, Jahrgang 4, Heft 6/7, SS. 85—95.

4) См. его работу, указанную выше в сноске *).