книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf$ 5. НЕНУЛЕВАЯ НАЧАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ |
151 |
(фОо, (фг)о, . . . и начальными значениями соответствующих им ско
ростей (cpi)0, (ф2)0, . . . Колебания эти будем называть «свободными колебаниями» системы. Значение какой-либо координаты фг на ос новании общего решения (см. (3) § 1) в случае свободных колебаний будет
Ф/ = (ф,)о cos n(t + - ^ 7 |
|
(ф ;)а sin flit. |
|
П1 |
|
|
|
Общее выражение для перемещений (см. (4) § 1) |
представится |
||
в таком виде: |
|
|
|
У= V, и,- (ф,-)о cos riit + |
~ (ф,-)0 sin nit |
(17) |
|
|
nl |
|
|
Величины (фг)0 и (фг)0 могут быть найдены из начальных обстоя тельств движения. Для начального момента нам должно быть дано перемещение каждого элемента стержня и его скорость. Величины эти будут функциями положения элемента, т. е. функциями от х. Пусть
(i')o = <P(*),
тогда на основании (17) получим
ф(*) = 2««(ф/)о. 1
( 18)
ф(*) = 2 М Ф,)о- I
Для определения величин (ф;)0, . . . и (фг)0, . . . пользуемся ос новным свойством нормальных функций (см. (6) § 1).
Умножая выражения (18) на Uiqdx и интегрируя в пределах от О до I, получим
I
$ ф (*) ЩЯ dx
^ ufq(lx
О
(19)
(ф,)о =
Применим это к разобранному выше случаю колебания стержня с подвешенным к нему грузом. Вставляя вместо щ его значение в вы ражения (19) и рассматривая подвешенный к стержню груз Р как
152 о ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
утолщение стержня, распределенное на бесконечно малом протя жении у конца стержня, получим
i
|
Г |
|
цвх |
|
|
|
|
|
\ |
ф(х) cos —j — qdx-\-<f(l)P sin (х„ |
|
||||
|
(ф г )о = ------ 1------------------------------------------ , |
|
|||||
|
|
J sin2 |
q dx-\-P sin2 (x„ |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
J |
ф (x) sin |
q dx -f- ф (/) P sin цп |
|
|||
|
(ф/)о = ' |
~i |
|
|
|
|
|
|
|
^ sin2 |
q dx-\-P sin2 (x„ |
|
|
||
Полученные выражения могут быть значительно упрощены. Для |
|||||||
этого в числителе производим интегрирование по частям |
|
||||||
i |
qdx = |
|
|
|
|
|
|
J Ф (х) sin |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
= |
— j f [ф (*)со э^ |
] ' + |
^ |
^ ' ( x ) c o s - ^ d x = |
|
||
|
|
|
|
|
о |
I |
|
|
|
|
— £ |
|
|
dx |
|
|
|
= |
Ф (*) cos ц„ + |
iL J ф' (х) cos |
|||
|
|
|
п |
|
|
” о |
|
и заметим, что на основании уравнения (9) |
|
|
|||||
|
Гп Ф (О cos Vn + |
^Ф ( 0 sin |
= 0. |
|
|||
Выполняя интегрирование в знаменателе и производя некоторые сокращения на основании уравнения (9), мы в заключение получаем
= 2i^ + 4sin2,x„ 5 V' № C0S ¥ ■ dx> |
|
о |
(20) |
l |
|
= Щ£+\ш2цаI V W C O S |
dx. |
К этому результату можно прийти и несколько иным путем. Составим от выражений (18) производную по х, тогда, вставляя
§6. ОБЩАЯ |
ТЕОРИЯ |
153 |
|
вместо Uj, . . . его значение, получим |
|
||
ф' (*) = £ |
(Ф,)о -у -cos ¥ |
’ |
|
V (*) = £ |
|
|
(21) |
(Ф.-)» |
cos *Г • |
||
Если принять во внимание, что 2)
J cos ^ c o s у ? dx = О,
о
то, умножая выражения (21) на cos у ^ и выполняя интегрирование
в пределах от 0 до /, получим i
I J ф' (я) cos у - dx i
(ф,)о = - Ч |
----------------= 2ii;+tin2iLn I |
w cos ■ ¥ |
|
И /J COS2 у |
dx |
|
|
о |
|
|
|
I |
Pi* . |
|
|
|
|
||
§ Ф' W c o s y - аде |
|
||
(ф/)о |
|
- ^ ip' (jc)cos-ly^- dx. |
|
Г |
a Iх''* |
2Цв+ 81п2р, |
|
dx |
|
||
Pi J |
cos2 y - |
|
|
Полученные выражения совершенно совпадают с выражениями (20).
III.КОЛЕБАНИЯ КРУЧЕНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
§6. Общая теория
Сэтой задачей технику приходится встречаться главным обра зом при расчете валов, и потому мы в дальнейшем будем предпола гать поперечное сечение стержня круговым *2).
Обозначая расстояние какого-либо сечения от конца стержня через х, угол поворота сечения через 0, модуль сдвига через G и мас су единицы объема через р, придем к известному дифференциальному
х) Это может быть доказано, если выполнить интегрирование и принять во внимание уравнение (9). Можно построить доказательство также на том, что по тенциальная энергия системы, выраженная в нормальных координатах, не должна заключать членов с произведением координат.
2) Все выводы приложимы и к другим формам сечения, нужно лишь вместо GJр вставить соответствующее значение жесткости при кручении.
154 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
уравнению
«520 |
^ |
Э20 |
|
Р dt2 = |
0 |
дх* ' |
( 1) |
Начнем с простого случая, когда концы вала свободны. Для угла поворота 0 можем сразу написать выражение в нормальных коорди натах г)
2лх |
|
0 = cp1,cos -t—|-(p2cos — |
( 2) |
" ' |
При этом, очевидно, удовлетворяются условия на концах:
Потенциальная энергия системы будет
(3)
П |
Я= 1 |
Для живои силы получим выражение
Т = 7 О1 ' 1 ( 1 ) :' ' Т |
£ A )* - |
W |
о |
я=1 |
|
В выражения (3) и (4) входят лишь квадраты величин <plf сра, . .
<Pi, фа, . . ., следовательно, фъ фг, . . .— нормальные координаты системы. Уравнение Лагранжа, соответствующее какой-либо коор динате ф„, будет
j pi •• |
Л2 |
«Я2 |
— |
Р-ГФ« + Т - Г ‘ |
' |
||
Вводя для краткости обозначения |
|
||
- |
= |
6*. |
(5) |
можем представить интеграл написанного уравнения в таком виде:
, . |
nbnt |
, |
I |
. • . |
. nbnt |
, |
Фи = (<Р J o c°s — |
+ |
7^ |
( ф J |
osin — |
+ |
|
*) К написанному выражению можно еще присоединить поворот вала как твер дого тела.
§7. СЛУЧАЙ КОНЦЕВЫХ ШКИВОВ |
155 |
|||
Вставляя найденные таким |
образом значения координат |
фх, |
||
Ф*, . . . в выражение (2) для 0, |
получим |
общее решение задачи. |
||
Пусть (ф п) о = ( ф п ) о = 0 , и |
предположим, что |
колебания вала вызы |
||
ваются двумя равными |
и взаимно противоположными парами сил |
|||
приложенными по концам вала. Обобщенная сила Ф„ най дется из уравнения
Флбф„ = / (0 бф„ (C O S 0 —cos ля),
следовательно, |
|
|
|
|
|
Ф„ = 2f(t) |
для |
л |
нечетного, |
|
|
Ф„ = 0 |
для |
п |
четного. |
|
|
Для координаты ф„ получим выражение |
|
|
|||
t |
nbn (t — tj) |
,, |
|
|
|
Г r , . |
л |
нечетном, |
|||
4V nbnpJ, \ f (t) sin ---- ^ ——dt1 при |
|||||
Ф„ = 0 |
|
|
при |
л |
четном. |
Угол поворота 0 какого-либо сечения выразится формулой |
|||||
|
плх |
|
nbnjt-tj |
||
0 |
7 |
|
|||
|
|
|
|
(7 ) |
|
В качестве примера рассмотрим те колебания, которые возник нут, если к концам вала в начальный момент приложить постоянные пары сил М0 и —М0. Вставляя М0 вместо f(t) в формулу (7) и вы полняя интегрирование, получим
„ |
4M0t |
V ' |
1 |
плх (. |
nbnt \ |
|
0 = |
, , ■ - г - |
Z J |
- 5 C O S —г - |
1 — COS— г — . |
||
|
|
п=1, зГ5. ... «* |
1 |
I |
1 ) |
|
Полагая t—1/b, найдем для угла закручивания значение
Ф = ( 0 ) * = о — ( 0 ) * = г |
16м01 |
V |
1 2Л*0/ |
bWpJp |
|
' |
|
|
|
Угол закручивания вдвое больше того, который соответствует положению равновесия при действии пар М0 и —М а
§ 7. Колебания вала, по концам которого насажены шкивы
Основное уравнение (1) остается в силе и для этого случая, нужно лишь изменить условия на концах. Если Jt и J t— моменты инерции шкивов относительно оси вала, то условия эти напишутся
156 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
так:
а) |
т 320 |
п г ^0 |
при |
л |
J l ~dF'=GJPdi |
* = 0: |
|||
л\ |
л д20 |
п , д& |
при |
. |
б) |
J * W = ~ GJPdi |
X= L |
||
Для нахождения нормальных функций поступаем так. Пусть вал совершает нормальные колебания какого-либо типа и со — частота этих колебаний. Тогда угол поворота любого сечения вала предста вится так: 0=Х cos со/, здесь X — функция одного х.
Вставляя это в основное уравнение (1), найдем для X такое об щее выражение:
X = x 4 c o s^ + B s in ^ - .
Для определения произвольных постоянных пользуемся условия ми на концах вала. Вставляя в а) и б) значение 0, получим
а') |
—Л/jO)2 = В |
у GJр\ |
|
б') со2 [ A cos |
+ В sin ^ J а = |
у GJp ^ В cos — A sin |
. |
Отсюда для определения частоты колебаний со получим транс цендентное уравнение
со2 |
соJ, b . со/ |
соJ xb |
GTTsiny |
|
|
|
|
|
Вводя обозначения |
|
|
|
со/ |
I T T |
|
р» |
рн р—J Q |
(Jo, очевидно, представляет собой момент инерции вала относи тельно его оси), можем переписать полученное выше трансцендент ное уравнение в такой форме:
(8)
Обозначая через рь р 2,... последовательные корни этого уравне ния, получим для 0 такое выражение в нормальных координатах:
0= Фх (cos х — 7; sin |
? a(cos |
■ Ф ^ ) + |
|
|
$7. |
СЛУЧАЙ КОНЦЕВЫХ |
ШКИВОВ |
157 |
||||
Потенциальная |
энергия |
системы будет |
|
|
|||||
|
о ( § ) ' * * - |
|
|
|
|
|
|
||
|
= Y GJP 2 |
^ |
1 ф" ( з1п1Т^ + ,1л^оСОз1^ г ) а^ = |
|
|||||
|
|
л=1 |
О |
|
|
|
|
|
|
С //Д " |
|
г |
/ |
|
у*\ |
|
j* |
|
|
= ^ |
2 - ^ л ф Л |
2 p J l + p * ^ J — S i n 2 p л + p ; ; 7 | s i n 2 p n ^ - |
|
||||||
|
|
|
+ 2Рл |
(1 |
cos 2р„)1 = ^ |
£ ЛпрпФ*. |
(9) |
||
Члены, содержащие произведения координат, пропадут, так как |
|||||||||
j ( sin |
+ pm £ |
cos ^ |
1sin |
+- P„ £ |
cos |
) dx= |
|
||
_ l COS p „ COS H a |
|
Рл ^Pm "I" PmPnyj^ |
tgp^ ^Рл “ЬРлРш Jz'j -J- |
||||||
^2_^,2 |
^ |
|
|||||||
+ f jt g p n tg p m(рЛ—Pm)} .
Выражение, заключенное в скобки, обращается в нуль. В этом легко убедиться, если принять во внимание следствие уравнения (8)
t g |
Рл + Р л у 1 |
|
tgPo + P/nf1 |
___________ *0 |
|
__ Jо |
|
Рл |
Pn ^ t g p „ ) |
Pm |
P m ^ t g P m ) |
Кинетическая энергия системы составится из живой силы вала и живой силы насаженных по концам шкивов:
rr PJp С { д в у . , J i f d Q Y |
. J 2 fdQ\ |
|
|
T = — } ( s i ) i x + i и ) , _ + ? ( * ) , „ = |
|
||
О |
|
|
|
= т г £ i |
(ф)л{ 2^л+ |
sin 2i*-+ i*i ( TJ) |
—sin 2^л)— |
п=1 |
|
|
|
— 2Рл |
(1 —cos 2р„) + |
+ Q d i (cos Рл— Ря TJ sin ряу J-. |
|
Вставляя вместо Уа/У0 его значение из уравнения (8), докажем, что заключенный в скобки множитель равен Ап. Выражение для
158 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
живой силы перепишется так:
|
Г - |
4 |
”Ё 1 |
£<*>»• |
( 10) |
|
|
||||
Уравнение Лагранжа, |
соответствующее координате ф„, будет |
||||
у о |
.. |
|
GJ „ |
• |
_ |
^ |
^ пф п + |
A n ~ s f |
2(Х„Ф„ = |
ф „ . |
|
Полагая (ф „ )о = ( ф п) о = 0 , |
получим для фп |
такое выражение: |
|||
t
ио
Угол поворота 0 представится такой формулой:
е = ^ Ё Ч |
( с05“ - ^ Й 5|п £г ) 1 ® " з1пт а ( ' - ' . ) ‘«.- 01) |
п -1 |
0 |
Определение вынужденных колебаний для какого-либо частного случая не представляет теперь никаких принципиальных затрудне ний, нужно только в общее решение (11) вставить соответствующее
значение Ф. Если моменты инерции шкивов Л и J 2 беспредельно уменьшать, то корни уравнения (8) стремятся к значениям я, 2я,. . .
В пределе получим для 0 выражение
|
-cos |
ппх С |
• FlTtX / й |
I » *g |
pJpbn |
i J |
ф , S in -T -(f — |
dtx. |
|
|
ns. I |
|
|
|
Это совпадает с результатом, полученным для вала со свобод ными концами.
Рассмотрим подробнее случай, когда момент инерции вала / 0 мал по сравнению с величинами Jx и J 2. Вводя обозначения Jo/Ji=Ki,
Jo/J£~Ki, можем уравнение (8) представить в таком виде: |
|
tg p = И*1 + *2) |
( 12) |
Если Ki и — малые величины, мы, пренебрегая малыми выс ших порядков, можем уравнение (12) представить так:
ptgp= /C x+ /(2. |
(12') |
Для первого корня получаем такое приближенное значение:
\* l= V K i+ K t.
§ 7. СЛУЧАЙ КОНЦЕВЫХ ШКИВОВ |
159 |
|||
Следующий корень будет мало отличаться от л. Полагая ра=я-(-а |
||||
и вставляя это в уравнение |
(12'), |
получим |
|
|
g - Xi + X» |
„ |
_ я I |
+ |
|
Подобными же рассуждениями найдем |
|
|
||
р3 = 2л |
*! + *« |
|
2л |
||
|
И т. д.
Таким образом, при малых значениях К\ и Кг первый корень будет малой величиной по сравнению со следующим по порядку корнем. Период колебания, соответствующий основному тону, будет велик по сравнению с периодом следующего по порядку тона.
Первое приближение для частоты основного тона получим, по лагая
откуда
OJ.Vi+JJ
‘»1 = 7 - К * 1 + К ,= у Л |
UiJ, |
|
Этот результат совпадает с тем, что получается элементарным путем, если пренебречь массой вала и вычислить частоту колеба ний получающейся таким образом системы с одной степенью свободы. Чтобы оценить влияние массы вала на частоту колебаний основного тона, найдем более точное выражение для рх. Для этого в уравнение (12) вместо tg р вставим р + р 3/3. Отбрасывая малые величины выс ших порядков, получим
Pi = К г + К ш- у { К \ + К \ - К г К г). |
|
Соответствующая частота колебаний будет |
|
« 1 = Y |
• |
Если вместо К \ и К г вставить их значения и принять во внима ние, что они представляют собой малые величины, то выражение для со может быть написано в таком виде:
(О, = |
^i+ д"^о Л + л ) + ( |
|
J1 )] |
|
|
1 |
|
|
j j |
|
д + з |
+ |
2+ Т у° |
J ,) |
Формула эта была получена нами раньше при помощи прибли женного метода Рэлея1).
х) См. Т и м о ш е н к о С. П. К вопросу о явлениях резонанса в валах. Изве стия С.-Петербургского политехнического института, 1905, том 3, вып. 1—2, стр. 55— 106. См. стр. 89.
160 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
IV. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
§ 8. Основные соотношения
Мы будем рассматривать колебания в плоскости главной жест кости стержня. Начало координат поместим в центре тяжести левого концевого сечения стержня, ось х направим по оси стержня. Опре деление «свободных» колебаний стержня, как известно, сводится к интегрированию такого дифференциального уравнения:
^У + Ь2^1 = |
0 |
( 1) |
d t* ^ u дх4 |
|
Здесь приняты такие обозначения:
Я |
(2) |
|
EJ — жесткость стержня при изгибе в плоскости ху\ q/g — масса, приходящаяся на единицу длины стержня. Общее выражение для прогиба в нормальных координатах представится в таком виде:
г/=ф1«1+ф2«2+ф3Ыз+. • |
(3) |
где и1г иг, . . .— нормальные функции. Вид этих функций зависит от способа закрепления концов *).
Живая сила системы, если пренебречь вращением поперечных
сечений при изгибе, будет |
|
|
0 |
п—1 |
о |
Члены вида
i
2флФт S “тип dx
о
обращаются в нуль, так как координаты фь ф2, . . . нормальные. Потенциальная энергия системы является энергией изгиба и
может быть представлена в таком виде:
Выражения для «нормальных функций» в различных частных случаях мож но найти в цитированной в сноске *) на стр. 139 книге Рэлея, там же приведены значения интегралов
I
5 u%dx.
о