книги / Прочность и колебания элементов конструкций

откуда

Чтобы удовлетворить условиям на концах (2), необходимо

Определив таким образом произвольные постоянные, найдем частное решение уравнения (Г) в таком виде:

Ф = A cos pjt •cos у х.

Давая числу i значения 1, 2, 3, . . ., получим ряд частных ре­ шений, соответствующих различным типам колебаний. Общий ин­ теграл уравнения (Г) представится так:

Соответствующий период Т--21/а, а число колебаний в минуту

При вычислениях по формуле (6) нужно помнить, что модуль упругости G обыкновенно задается в кг/смг и потому, если б задано в килограммах, то под корнем будет еще множитель 981, соответст­ вующий ускорению силы тяжести.

Как видно из формулы (6), число колебаний вала в минуту об­ ратно пропорционально длине вала и совершенно не зависит от его диаметра. Полагая i= 2 , 3, ..., мы бы получили типы колебаний с периодами вдвое, втрое и т. д. меньшими, чем в случае основного тона.

Сохраняя для нормальных координат прежние обозначения Фь Ф2, . . ., мы на основании предыдущего можем написать для вала со свободными концами

Ф = Ф, cos-j- -|- Ф, cos _|_. . . 4- ф . c o s ^ - b . . . ,

32 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ

где Ф| меняется как соsptt. Живая сила системы будет, очевидно,

= т J °° ( cos т + °* cos2jr + Ф*С03 3jr + • ' ’У ах-

о

Здесь через 0Ообозначен момент инерции отрезка вала, длиною равного единице, относительно оси вала. Принимая во внимание, что

Составим теперь выражение для потенциальной энергии скру­ ченного вала в тех же координатах. Если представить себе отрезок вала, длиною равный единице, скрученным на угол яр двумя равными и прямо противоположными парами сил, то потенциальная энергия будет

Так как кручение вала в любом сечении определяется значе­ нием d<p/dx, то на основании (9) можем потенциальную энергию всего вала представить в таком виде:

V= T W GJP I (ф 1з т ^ + 2Ф2з т 2- ^ + ЗФ3з т ^ + •• - ) V , (10)

о

о

и

о

можем (10) переписать в таком виде:

где

Имея выражения (7) и (11), мы можем легко изучить любой тип колебаний. Возьмем, например, тип колебаний, соответствующий координате Фг. Период определится на основании формулы (4) § 3:

число колебаний в минуту будет

что совершенно совпадает с формулой (6), выведенной выше для основного тона.

Рассмотрим теперь, какие изменения произойдут в нормальных типах колебаний вала, когда на его концы будут насажены шкивы с моментами инерции 0t и 0а. Величина потенциальной энергии не изменится, и, следовательно, бстти бcrs в формуле (9) § 3 будут равны нулю. Для определения б и баг8 заметим, что теперь 0 — момент инерции части вала, длина которой равна единице,— нельзя считать постоянным по длине и, следовательно, атти огв должны быть вычислены по общим формулам

о

34К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ

Втом частном случае, когда изменения системы заключаются в прибавлении двух шкивов на концах вала, формулы (12), очевид­ но, нам дадут

или оба нечетные числа, и минус в том случае, когда одно из чисел четное, а другое нечетное. Для упрощения дальнейших выкладок положим 01=Я,10Ои 02=А,20О тогда

Займемся теперь определением периода колебаний, соответст­ вующих координате Фь т. е. основному тону системы. Колебания эти представляют наибольший интерес в технике, так как по отно­ шению к ним явления резонанса встречаются наиболее часто. Ос­ новная формула (9) § 3 в данном случае перепишется так:

Если число колебаний вала со свободными концами в минуту назвать через щ, а число таких же колебаний при наличии на концах вала шкивов — через Л^, то на основании (14) получим

дут члены, где s — нечетное и множитель (Xi+X2), во второе

Так как сечение х+бх соответствует узловой точке, то Ф * + б * = 0 , и для определения бх будем иметь

*=2

Подобным же образом можно было бы исследовать и колебания высших порядков, но мы на них останавливаться не будем, а перей­ дем к случаям, более интересным с точки зрения практических приложений.

§ 5. Рассмотрение случая, когда моменты инерции шкивов велики по сравнению с моментом инерции вала

В этом случае будем вести исследования в таком же порядке, как и прежде, т. е. вместо заданной системы возьмем систему более простую, для которой решение вопроса о колебаниях не представ­ ляет затруднений, и потом вычислим соответствующие поправки.

Когда момент инерции вала мал, то лучше всего исследование на­ чать со случая двух шкивов, со­ единенных невесомым валом.

Если взять узловую точку О (рис. 7) за начало координат, то для угла поворота какого-либо по­ перечного сечения вала, находя­ щегося на расстоянии х от начала координат, будем иметь

(p=Axcospt—Ox,

где Ф — координата, определяющая положение системы. Живая сила системы будет

Здесь li и /„ обозначают расстояния узловой точки от концов вала, 01 и 02 сохраняют прежние значения,

o = 014 + e,q.

Для определения потенциальной энергии системы заметим, что полный угол закручивания будет

Дср=Л/cos pt

и, следовательно,

где

c=GJpl.