книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdfОТ РЕДАКТОРА
В 1971 году в издательстве «Наука» вышел в свет сборник ори гинальных работ Степана Прокофьевича Тимошенко «Устойчивость стержней, пластин и оболочек», который был полностью просмотрен и одобрен автором. В этом сборнике дан был очерк жизни и науч ного творчества С. П. Тимошенко. Предлагаемый вниманию чита телей сборник также был просмотрен автором и составлен согласно его желанию, хотя и выходит он уже после смерти С. П. Тимошенко, произошедшей 29 мая 1972 года в городе Вуппертале (Федеративная Республика Германия) на девяносто четвертом году жизни. Здесь содержатся двадцать шесть оригинальных работ С. П. Тимошенко по проблемам прочности и колебаний элементов конструкций. Эти исследования посвящены изучению резонансов валов, несущих диски, эффективному анализу продольных, крутильных и нзгибных колебаний прямых стержней посредством использования энергети ческого метода и применению общей теории к расчету мостов при воздействии подвижной нагрузки, вычислению напряжений в ва лах, лопатках и дисках турбомашин, расчету напряжений в рельсе железнодорожной колеи как стержня, лежащего на упругом сплош ном основании, при статических и динамических нагружениях. Детально рассмотрены важные вопросы допускаемых напряжений в металлических мостах.
Представлена теория напряженно-деформированного состояния арок с оценкой влияния многочисленных факторов на прочность арки, дан расчет жестких рам с учетом вторичных эффектов. Опи сана изящная модель расчета ортогональной решетки балок и дан ее анализ. Изучено напряженно-деформированное состояние пла стин вблизи отверстий при различных видах нагружения и наряду с точным решением указан приближенный путь вычисления напря жений.
Изложен оригинальный общий приближенный метод решения проблемы изгиба и кручения стержней и даны применения его к различным частным задачам.
Представлен расчет напряжений в тонкой упругой сферической оболочке посредством асимптотического интегрирования дифферен циальных уравнений задачи. Выведены нелинейные дифференци альные уравнения конечного прогиба осесимметричных круговых
12 ОТ РЕДАКТОРА
тонких пластин, для решения которых предложен численный метод, позволяющий определить прогибы и напряжения.
Сформулирована новая постановка проблемы удара груза о балку, позволяющая, в отличие от известной классической модели, вычислить контактную силу в месте удара и время соударения.
Указанные выше исследования были выполнены автором во время его жизни в России.
Представляет интерес вышедшая позднее статья по проблемам прочности в машиностроении, содержащая почти исчерпывающий обзор по прочности прямолинейных стержней при растяжении, кру чении и изгибе, по изучению напряженного и деформированного состояния кривых стержней, труб, пластин и различных конструк ционных элементов, а также статья по развитию состояния задачи о концентрации напряжений. Включены в сборник также три ра боты, освещающие вклад отечественных ученых и инженеров в теорию сооружений.
При издании были проверены и уточнены все упоминаемые в тек сте литературные ссылки, затрагивающие двухсотлетний период исследований. В конце книги помещен перечень статей С. П. Ти мошенко. Уточнение библиографических данных о статьях и кни гах было бы невозможно без помощи моих коллег, а также ряда европейских и американских библиотек. Пользуюсь случаем побла годарить всех тех, кто помог мне в этом кропотливом деле. Всюду в сборнике введены метрические меры. Замечания редактора зак лючены, как и в предыдущем сборнике, в квадратные скобки.
Статьи, содержащиеся в сборнике, широко известны. Они спо собствовали разработке различных аспектов теории расчета разно образных конструкций на прочность и колебания. Эти работы не потеряли значения и в наше время. Они относятся к тем замеча тельным достижениям в области механики, которые всегда будут представлять интерес.
Я уверен, что сборник работ С. П. Тимошенко будет оценен спе циалистами в области механики сплошных сред и инженерамипроектировщиками.
1969—1973 |
Э. И. Григолюк |
Москва |
|
К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
Известия С.-Петербургского политехнического института, 1905, том 3, вып. 1—2, стр. 55—106.
При определении размеров различных частей инженерных со оружений и машин до настоящего времени пользуются почти ис ключительно расчетами статическими, тогда как динамические при чины нередко играют первостепенную роль. Не умея вычислить напряжений, обусловленных динамическими причинами, ограничи ваются обыкновенно тем, что в сомнительных случаях просто повы шают коэффициент безопасности, другими словами, увеличивают размеры соответствующих конструкций. С таким решением во проса нельзя согласиться, потому что увеличение размеров не всег да влечет за собой уменьшение напряжений, т. е. увеличение проч ности.
Каждое сооружение можно рассматривать в некоторых пределах как упругую систему, которой свойственны вполне определенные виды собственных колебаний с вполне определенными периодами. Можно себе всегда представить систему периодически изменяющих ся сил, которые способны вызвать тот или иной вид колебаний. Если период изменения сил совпадает с периодом соответствующих соб ственных колебаний, то мы будем иметь дело с хорошо известным явлением резонанса. В таком случае амплитуда колебаний возрас тает пропорционально времени и напряжения в частях сооружения могут достигнуть опасных пределов. Величина действующих сил в этом случае играет второстепенную роль, и все обусловлено сов падением периода собственных колебаний с периодом действующих сил.
В настоящей статье мы займемся рассмотрением явлений резо нанса в валах и на этом примере постараемся показать, как вели ко может быть различие между результатами статического и динамического расчетов. Вопросу этому за последнее время по
священо |
немало статей |
теоретического |
и |
экспериментального |
|
характера. |
Назову из них |
работы Г. |
Лоренца 12), Г. Фрама *), |
||
1) L о г е n z Н. Dynamik |
der |
Kurbelgetriebe |
mit |
besonderer Berflcksichti- |
|
gung def Schiffsmaschinen. Leipzig, B. G. Teubner, |
1901, S. 156. |
||||
2) F г a h m H. Neue Untersuchungen fiber die dynamischen Vorgange in den Wellenleitungen von Schiffsmaschinen mit besonderer Beriicksichtigung der Resonanzschwingungen. Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1902, Bd. 46, № 22, SS. 797—803; № 24, SS. 880—888.
14К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
Г.Мельвилля *). Мы приведем результаты экспериментальные ис следований Г. Фрама и остановимся на теоретическом рассмотре нии тех случаев, которые у вышеприведенных авторов остались неразобранными.
§1. Теоретическое рассмотрение простейшего случая
Для большей ясности изложения мы начнем с рассмотрения са мого простого случая (рис. 1), когда имеются два шкива / и //, соединенных упругим невесомым валом АВ.
Назовем длину вала АВ через /, и пусть 0j и 62 будут моменты инерции массы шкивов l u l l относительно оси вала. К шкиву / приложен периодически меняю
Е |
щийся вращающий момент паровой |
|||||
|
машины; |
величину его |
обозначим |
|||
|
через Sr, где 5 |
обозначает |
каса |
|||
|
тельное |
усилие. К шкиву II |
при |
|||
|
ложено |
переменное сопротивление |
||||
|
(сопротивление |
воды |
в |
случае |
||
|
гребного |
винта), |
момент |
которого |
||
|
обозначим через |
Wr. |
Трением в |
|||
- I --- |
подшипниках для |
упрощения вы |
||||
Рис. 1. |
кладок пренебрежем. |
колебаний |
||||
Для |
исследования |
|||||
|
рассечем нашу систему |
плоскостью |
||||
тп, перпендикулярной оси вала, на две части и для каждой отсе ченной части напишем уравнение движения. Для этого обозначим момент внутренних сил упругости по сечению тп относительно оси вала через М, а переменные углы поворота шкивов / и II — через ф! и ф2, тогда легко составить уравнения
Sr— M-
M — Wr
0 i
( П
=0,
Величину момента внутренних сил М легко, в случае невесо мого вала, выразить через углы ф! и ф2. Если через Jv назовем по лярный момент инерции поперечного сечения вала и через G —
х) М е 1 v i 1 1 е G. W. Die Vibrationen der Dempfschiffe. Schiffbau, 1903, Jahrgang IV, № 15, 8 Mai, SS. 707—712; № 16, 23 Mai, SS. 757—761; № 17, 8 Juni, SS. 802—807; № 18, 23 Juni, SS. 849—852; № 19,8 Juli, SS. 903-908: № 20,23 Juli, SS. 954—958; № 21, 8 August, SS. 1007— 1011; № 22, 23 August, SS. 1058— 1060; № 23, 8 September, SS. 1094—1097; № 24,23 September, SS. 1133—1137; 1903, Jahr gang V, № 2, 23 Oktober, SS. 60—64; № 3, 8 November, SS. 110—113; № 4, 23 No vember, SS. 157—160; № 5, 8 Dezember, SS. 209—213; № 6, 23 Dezcmber, SS 259— 267, 1094.
§ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО СЛУЧАЯ |
15 |
модуль упругости стали при сдвиге, то на основании известной формулы строительной механики можем написать
м |
G J P |
(2) |
|
|
Подставляя найденное значение М в систему уравнений (1), получим
S r---- р (Ф ,—ф2)= 0 1 |
<*2ф1 |
dt2 |
|
|
( П |
— w r - f ^ r (Ф х — Ф г) = е а |
dt1 |
Так как нас интересует вопрос о колебаниях вала, то нужно найти изменения разности углов поворота ф! — ф2 в зависимости от времени. Для этого первое из уравнений (Г) делим на 0J, второе на 0* и, вычитая из первого второе, получим
d- (<f1 - - фг) |
GJp |
6 , 4 02 |
_ Sr |
WV |
(3) |
dt2 |
~Т (Фх—Фг) |
0J0, |
■ " Ч + |
е2 |
Нели бы вращающий момент и момент сопротивления были ве личинами постоянными, то уравнению (3) можно было бы удовле творить, положив, что фх — ф2 равно некоторой постоянной вели чине Дер, так что угол закручивания не меняется со временем. Такой случай мы будем иметь тогда, например, когда вал приводит ся во вращение электромотором, вращающий момент которого можно считать постоянным. Расчет вала в подобных случаях нужно вести по формулам, относящимся к статически приложенным силам.
Для поршневых машин вращающий момент не остается постоян ным, так как касательное усилие меняется в зависимости от угла поворота машины. В таком случае правая часть уравнения (3) представляет собой некоторую функцию от угла поворота или, пре небрегая неравномерностью хода машины, такого же вида функцию от времени. Пусть
Sr _
01 + ? = / ( < ) .
где f(t) представляет собой периодическую функцию времени, опре деляемую на основании диаграммы касательных усилий и измене ний сопротивления W. Пользуясь теоремой Фурье, мы можем пред ставить f(t) в виде тригонометрического ряда
/ ( 0 ~ ^ o + ^ i sin w^4- ^ 2sin 2at + ... 4-fii cos at 4- £ 2COS 2at + ••• (4)
Коэффициенты ряда определятся но известным формулам
2д |
2л |
Л ,= -^- j / (t) sin (iat) d (at), |
^ j f (t) cos (iat) d. (at), |
о |
о |
16 |
К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ |
<в в приведенном ряде, очевидно, соответствует угловой скорости машин и f(f) по прошествии промежутка времени Г = 2я/(о, соот ветствующего полному обороту машины, принимает свое прежнее значение.
Обыкновенно не имеется аналитического выражения f(t), а на основании снятых индикаторных диаграмм возможно только гра фически представить изменение этой функции; тогда разложение в ряд (4) можно выполнить графическим приемом Фишер-Хиннена *) или известным прибором «гармонический анализатор», который за один обвод дает пять коэффициентов ряда синусов и пять коэффи циентов ряда косинусов, что вполне достаточно для практических целей. Когда разложение тем или другим способом выполнено, мы можем уравнение (3) переписать так:
f(Ф 1 - Ф г) + С2 (ф 1 — ф |) =
=Ав + /41 sin(DH-'4asm2(i)£-|-... -f B1cosv)t + Б 2cos 2(ol-f.... (3') где
|
GJр (01 + |
0г) |
V |
г в А |
(5) |
Составляя соответствующее уравнение без последнего члена и решая его, мы найдем выражение для свободных колебаний вала:
•Pi—Ф2=Л costf+Bsincl.
Это простое гармоническое колебание с периодом
/0102
GJр (01+ ©г)
Число свободных колебаний в минуту определится из формулы
_30с__ 30 |
1/ ~ GJP @t + 0 2) |
(6) |
||||
П ~ |
Л ~ |
Я |
' |
101023*1 |
||
|
||||||
1) F i s h e r - H i n n e n |
J. |
Losung |
einiger praktischer Fragen fiber Gleich- |
|||
strSmmaschinen auf graphischem Wege. Elektrotechnische Zeitschrift, 1894, Jahrgang XV, Heft 29, 19 Juli, SS. 397—402. Eine neue Methode zur Vermeidung der Funkenbildung von Gleichstrommaschinen. Там же, 1898, Jahrgang XIX, Heft 5, 3 Februar, S. 93. Ober Ftmkenbildung an Gleichstrommaschinen. Там же, 1898, Jahrgang XIX, Heft 51, 22 December, SS. 850—852; Heft 52, 29 December, SS. 867— 872. Methode zur schnellen Bestimmung harmonischer Wellen. Там же, 1901, Jahr
gang X X II, |
Heft 19, 9 Mai, SS. 396—398. [См. также: H o u s t o n E .J ., K e n - |
n e l l y A. |
E. Ober eine einfache Methode, naherungsweise die harmonischen Kom- |
ponenten’einer gegenbenen Wellenlinie zu bestimmen. Там же, 1898, Jahrgang XIX, Heft 43, 27 October, SS. 714—715.] CM. L o r e n z H. Lehrbuch der technischen Physik. Bd.M: Technische Mechanik starrer Systeme. Mfinchen und Berlin, R. Oldenbourg, 1902, S. 626. CM. SS. 63—73.
§1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО СЛУЧАЯ |
17 |
Для получения полного интеграла уравнения (3') найдем частное решение его; для этого положим
Ф!— ф2= С 0+ С\ sin at + Сгsin 2ю<-(- • • • +D1cos at+ D t cos 2ю/ + ...
Подставляя это значение ф!—ф2 в уравнение (3'), получаем сле дующие значения для коэффициентов:
|
|
С„ = |
Ло |
|
|
|
|
с2 |
’ |
Bt |
|
г |
_ |
At |
D - |
||
^1 |
|
с2 —со2’ |
|
||
|
и\ - с2 —(О2’ |
||||
г |
|
а2 |
п |
|
В2 |
|
|
с2— (2со)2’ |
^2 |
~~с2—(2ш)2’ |
|
г |
|
■^3 |
г> |
- |
в3 |
'-'З |
|
с2—(Зш)2 ’ |
с2 —(Зш)2 |
||
|
иъ |
||||
Полное решение уравнения (3) представится так: |
|||||
4>i—<р, = Л cos с /+ В sin с* + 7 г + 3 = ^ r sin®*+ |
|||||
+ с2—(2м)2' Sin <2с0^ |
+ |
• • • + |
cos |
+ с2_^(о)2 COS 2(0t + • • • (8) |
|
Произвольные постоянные А и В должны быть определены из начальных условий. За начальный момент возьмем тот, которому соответствует угол закручивания
(Ч>1-- Ф2)« = о = 4 г -
Тогда из (8) для определения А будем иметь
о = л
В 2
с2— (2(о)2
откуда
В\______ в%____
с*— о)2 с2— (2(о)2
Для определения В нужно задаться начальной относительно!"! скоростью вращения шкивов I и II. Положим, что
U |
(ф1 — фг) |
|
= |
w 0, |
|
|
|
dt |
t = o |
||
тогда |
|
|
|
|
|
W0 |
о |
Л1 |
|
2ш |
Л а |
с |
с |
с2—со2 |
с |
с2— (2со)2 |
|
Подставляя найденные значения произвольных постоянных А и В в (8), мы будем иметь возможность вычислить ф2—ф„ для любого
18 |
К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ |
момента времени. Первые два слагаемые правой части (8) представ ляют собой, как мы видели, собственные свободные колебания вала, и при наличии трения они постепенно затухают. Член Л0/с2 соответствует среднему значению угла закручивания: это тот угол, по которому определяются размеры вала при статическом расчете. Все остальные члены формулы представляют собой колебания вынужденные. Соединяя эти члены попарно, мы для каждой пары М sin (iu>t)+N cos (tш/) можем найти соответствующую амплитуду R и фазу ф по формулам
R = V M * + N \ tg a |> = A .
Разберем теперь подробнее тот случай, когда период свободных колебаний совпадает или близок к совпадению с периодом одного из составляющих вынужденных колебаний. Положим, например, что
=и о , |
Bi 2 играют са |
|
тогда члены с коэффициентами |
Ч |
|
|
с2— (/ео)Е |
с* — (<<■>) |
мую существенную роль, и мы для упрощения выкладок остальные члены можем отбросить и выражение (8) представить в виде
Ф: -ф 2 = |
— |
Вл |
|
В . |
|
|
B i |
|
с2 — ш2 |
г с2— (2ш)2 |
|
с2— (но)2 |
|||||
|
W 0 |
(о |
А , |
|
»ш |
|
A t |
, |
1 1 |
с |
с |
_ ,„ 2 |
• • • + ■ / .С |
С2 — (iu>)2 |
|
||
|
|
|
|
+ |
|
At |
^ s i n |
Ш |
|
|
|
|
|
с2— (но)2 |
|
||
cos ct +
sin ct +
- ) |
• |
T.cos iiat. |
■ |
B i |
|
|
c2— (if»)2 |
|
Отбрасывая все члены, кроме тех, которые имеют знаменателем
с2— (too)2,
получим
Ф1— ф2= c2^(iw)2[C0S (tW) ~ C0S C/] +
+ с2_^,-щ)2 [s'n (tW) —sin ct] + 7^ |
sine/. (9) |
При c=/(o первые два слагаемых (9) принимают форму 0/0. Чтобы избежать неопределенности, введем некоторые преобра
зования. Положим с—t(o=6c и найдем, к какому пределу стремится ф!—ф*. когда бс стремится к нулю. Мы можем (9) представить в виде
|
В i |
б cos cl |
А / |
б sin cl |
. A t |
. |
, |
Ч>1 — Ф* |
|
— *-------- |
r i ------- |
x---- |
----r 2^- s in e / , |
||
С + 1(0 |
oc |
c + но |
6c |
' c - f но |
|
’ |
|
|
|
||||||
или, переходя к пределу, получим при С = 1 (0
B i t |
sine/ |
Ait |
Aj |
sin ct. |
|
Ф1—Фг = С+1(0 |
С + 10) cos ct |
С+ id) |
(10) |
$2. РАБОТЫ Г. ФРАМЛ |
19 |
Из этого видно, что амплитуда в случае резонанса |
заключает |
в себе член, возрастающий пропорционально времени, и, следова тельно, размахи должны возрастать беспредельно. В действитель ности, конечно, фх—фа не растет беспредельно, так как налицо имеются сопротивления, которыми мы в своем выводе пренебрегли. От величины этих сопротивлений зависит окончательное значение Ф1—фг. но, во всяком случае, это значение очень велико и может повлечь за собой опасные напряжения материала и даже служить причиной разрушения. Число оборотов машины, соответствующее явлению резонанса, будем называть критическим. Вычислить его нетрудно, раз имеется число собственных колебаний вала в единицу времени.
Положим, например, что число свободных колебаний вала равно 240, тогда критическими скоростями машины будут
п1 = 240 оборотов в минуту, ла = ^ = 1 2 0 оборотов в минуту,
л3=--д- = 80 оборотов в минуту,
Одним словом, всякий раз, когда число собственных колебаний вала кратно числу оборотов машины, мы имеем дело с явлениями резонанса и можем ожидать опасных напряжений в валу.
§ 2. Работы Г. Фрама
До сих пор мы занимались теоретическим рассмотрением во проса, причем сделали для упрощения выводов ряд допущений; кроме того, мы ничего не говорили о том, как найти изменения вра-
Sr |
, Wr |
щающего момента и момента сопротивления, и считали, что -д- + -д- |
|
U l |
и2 |
уже представлено в виде тригонометрического ряда. При таких ус ловиях исследование колебаний привело нас к очень простой за даче механики. В действительности вопрос этот гораздо сложнее, и только на основании экспериментальных исследований появ ляется возможность дать для конкретного явления аналитическое выражение. Наиболее полной работой в этом направлении безус ловно является вышеупомянутая статья Г. Фрама 1), с которой я постараюсь познакомить читателя.
Как видно из заглавия статьи, исследования Г. Фрама относятся к пароходным валам, и главная цель этих работ заключалась в отыскании причин, обусловливающих поломку пароходных валов. Что касательные усилия, получаемые валом от паровой машины,
2) См. его работу, упомянутую в сноске2) на стр. 13.
20 К ВОПРОСУ О ЯВЛЕНИЯХ РЕЗОНАНСА В ВАЛАХ
не могут быть причиной такой поломки,— это совершенно ясно. Обыкновенно валы проектируются таких размеров, что при среднем значении вращающего момента машины наибольшие касательные напряжения т не превосходят 200-^230 кг/см?.
Если допустить, что в некоторых случаях касательные усилия могут возрасти на 50% против среднего своего значения, то и тогда максимальные значения т колеблются в пределах 300-=-350 кг/сма, т. е. не достигают предельных допускаемых напряжений. Между тем характер излома во многих случаях ясно указывает на то, что разрушения происходят от скручивания, и это заставляло думать, что главные причины, обусловливающие разрушение,— динами ческие.
Г. Фрам для исследования явлений, сопровождающих работу пароходного вала, поставил целый ряд опытов, и в результате ему удалось выработать удовлетворительные методы исследования, которые привели его к очень интересным заключениям. Я не буду
останавливаться на описании приборов, скажу только, что, поль зуясь ими, Г. Фрам имел возможность с большой точностью изме рять угол закручивания и скорости точек вала, соответствующих двум поперечным сечениям, из которых одно бралось у машины, другое — возможно близко к гребному винту.
1) Наблюдения над изменениями угла закручивания вала и вы числение соответствующих напряжений материала. Для удобства вычисления Г. Фрам начинает с приведения вала, состоящего из отдельных участков различных диаметров, к валу однообразной толщины диаметра d. Для этого каждый участок исследуемого вала какой-либо длины L и диаметра D заменяется соответствующим