книги / Прочность и колебания элементов конструкций

метра d= oz—ох. Центр этого круга лежит на оси абсцисс на рас­

стоянии ?х+ а‘ от начала координат (рис. 4).

Этот способ графического представления имеет значительные преимущества перед эллипсом напряжений, так как из рисунка можно сразу получить, к какой именно плоскости данное напря­ жение относится. В самом деле, пусть R — одна из точек нашего круга; координаты ее а и т будут составляющие напряжения по одной из плоскостей, проходящих через направление ау. Чтобы определить положение этой плоскости, нужно знать только угол <р (см. рис. 3). Для этого возьмем любую точку А круга и соединим ее с точками X, Z и R. Докажем, что AR составляет с АХ и AZ такие же углы, как о с главными напряжениями ах и az (см. рис. 3).

Из рис. 4 имеем

RP = £ = XZ sin R AZ cos R AZ = (аг—ax) sin R AZ cos R AZ. (4) Сравнивая (2) и (4), найдем, что

Z_/MZ=Z_q>.

Пользуясь рис. 4, мы можем определить напряжение для всякой элементарной площадки, лежащей на большом круге XZ выделен­ ного сферического элемента.

Подобным же образом мы можем построить еще два круга с диа­ метрами X Y —Oy—ах и YZ= oz—ау, определяющих напряжения для тех элементов сферической поверхности, которые располага­ ются по большим кругам X Y и YZ. В силу нашего предположения

(1) первый построенный нами круг на диаметре XZ заключает в себе два других круга с диаметрами X Y и YZ. Напряжение по ка­ кому-либо элементу поверхности сферы, не лежащему на больших кругах XZ, X Y, YZ, будет представлено координатами одной из точек заштрихованной площади, заключенной между тремя по­ строенными кругами.

При суждении о прочности особенно важную роль должен иг­ рать круг XZ, построенный на разности между наибольшим и наи­ меньшим главными напряжениями. На нем лежат не только те точки, которые определяют наибольшие нормальные напряжения атах и наибольшие сдвигающие напряжения ттах, но также и точки, которые при заданном нормальном напряжении определяют наи­ большие скалывающие напряжения.

0 . Мор кладет эти круги в основание графического представле­ ния своей теории о прочности и называет их главными кругами.

Применим построение О. Мора к изображению самых простых случаев напряженного состояния.

1. Простое растяжение

Gx= Gy= 0, ог=х 1.

Этому виду напряженного состояния, очевидно, будет соответство­ вать круг / (см. рис. 5), диаметр которого OZ=x1.

2. Простое сжатие

о’!/=ст2= 0, <гх= —х3.

На рисунке сжатие представится кругом / / / , диаметр которого

ОХ=х

3. Чистый сдвиг

оу= 0 , oz= —ox=Xa.

Этот вид напряженного состояния изобразится кругом II, центр которого совпадает с началом координат и диаметр равен 2х3.

Также просто этим способом изобразить и более сложные случаи напряженного состояния. Интересующиеся могут найти примеры таких построений в выше­ упомянутых статьях О. Мо­ ра и П. Рота, где, между прочим, разобраны слу­ чаи сложного сопротивле­ ния изгибу и кручению цилиндрического вала кру­ гового сечения и напря­ жения в различных точках

толстостенной трубы.

Мы не будем более оста­ навливаться на графиче­ ском построении, а перей­

дем к физической стороне теории О. Мора. В своей теории О. Мор делает два основных допущения:

1) остаточная деформация и разрушение являются результатом сдвигов по некоторым плоскостям (плоскости скольжения) и обус­ ловлены действующими по этим плоскостям напряжениями.

О. Мор принимает в расчет не только касательную, но и нор­ мальную составляющую напряжений и окончательно формулирует первое свое положение так: «Предел упругости и предел прочности материала будет определяться напряжениями, возникающими в плоскостях скольжения и разрушения», «касательные напряжения, возникающие в плоскостях скольжения, достигают в пределе с не­ которым нормальным напряжением наибольшей величины, являю­ щейся свойством материала».

Отсюда как следствие вытекает и второе положение:

2) плоскости, по которым происходят сдвиги или разрушения, проходят через направление оу, т. е. направление среднего из главных напряжений, и, следовательно, перпендикулярны пло­ скости, заключающей наибольшее и наименьшее из главных на­ пряжений.

Обращаясь к графическому представлению, мы можем сказать, что точки <7Ь q2 (рис. 6), характеризующие предельное напряженное состояние, лежат на главном круге XZ, потому что именно этот круг заключает точки, которые, при заданной абсциссе <т1( имеют наибольшую ординату Тх.

При любом соотношении между ах и аг мы можем, повышая напряжения, прийти к предельному напряженному состоянию (О. Мор применяет свою теорию как к пределу упругости, так и к разрушению), которое изображается своим предельным главным кругом. Так как для оп­ ределенного материала при заданном нормальном на­ пряжении имеется вполне определенное сдвигающее напряжение, могущее про­ извести сдвиг или разру­ шение, то последователь­ ные предельные круги представят собой систему кругов взаимно пересека­ ющихся. Кривая, оберты­ вающая эту систему пе­ ресекающихся предельных кругов, будет заключать в

себе все точки, характеризующие предельное напряженное состояние. Чтобы пользоваться теорией О. Мора для установления формул слож­ ного сопротивления, необходимо найти аналитическое выражение для обертывающей кривой. В' самом общем виде кривая эта предста­ вит собой некоторую функцию от а и т и отдельные ее точки могут быть найдены опытным путем. Из того соображения, что однородные изотропные тела не должны разрушаться при равномерном все­ стороннем сжатии и разрушаются при всестороннем растяжении, О. Мор заключает, что обертывающая кривая имеет вид параболы qiBq2 (см. рис. 6), симметрично расположенной относительно оси абсцисс и вогнутостью направленная в сторону отрицательных а. Опытных данных для более точного построения обертывающей кривой пока не имеется, и О. Мор предлагает для наиболее часто встречающихся в практике случаев напряженного состояния по­ ступать таким образом.

Пусть / и II на рис. 7 будут предельные круги для случаев простого растяжения и простого сжатия.

Часть обертывающей кривой между точками Л и В О. Мор пред­ лагает заменить прямой, касательной к предельным кругам I и // . Этим определяются предельные напряженные состояния, соответ­ ствующие наиболее часто встречающимся на практике случаям: растяжению, сжатию, изгибу, кручению и др.

Если Xi — предел упругости при растяжении, а х2— при сжа­ тии, то уравнение касательной АВ будет

В этом случае предель­ ный круг будет иметь своим центром начало координат О.

Радиус круга х3—СС определится из такой пропорции:

Таким образом, имея пределы упругости хг и х2, нетрудно найти х3— предел упругости при чистом сдвиге.

Угол ф наклонения касательной АВ к оси ординат определится для каждого материала по такой формуле:

cos ф x2—xi

*2 + *1

и, следовательно, не зависит от вида напряженного состояния,

атолько от отношения между пределами упругости лгх и х2.

Вслучае железа и стали пределы упругости при растяжении и сжатии приблизительно одинаковы, следовательно,

Ха=хи ф = 0 ,

и касательная А В параллельна оси абсцисс.

В этом случае касательные напряжения т для всех предельных напряженных состояний равны и теория О. Мора совпадает с треть­ ей гипотезой (гипотезой максимального касательного напряжения).

Обычно х2> х х и угол ф острый. Это видно из следующей таблицы:

x2/xL 1 2 4

Ф90° 71° 53°

Для чугуна, например, Карл Бах нашел х) следующие величины для временного сопротивления: Xi=16 кг/мм2,* х2=75 кг/ммг, хг= = 13 кг/мм2.

Эти данные совершенно совпадают с теорией О. Мора

Новые опыты, исследующие напряженное состояние до предела упругости, дают результаты, совпадающие с теорией О. Мора.

Что касается опытов над разрушением, то работы В. Фойхта не согласуются с теорией. Построенные по способу О. Мора пре­ дельные круги, в случае разрушения образцов из каменной соли и парафина, иногда не пересекались, а лежали один внутри другого. Следовательно, теория О. Мора не имеет на самом деле той всеобщ­ ности, на которую претендует ее автор.

Вэтом отношении нельзя не согласиться с В. Фойхтом, который

впоследней своей статье а) говорит, между прочим, что обстоя­ тельства, обусловливающие разрушение материалов, весьма слож­ ны. Они различны для материалов хрупких, ковких и т. д.

Всилу этого едва ли возможно все эти явления охватить одним каким-либо простым законом, каким является, например, теория О. Мора.

Если на теорию О. Мора и нельзя смотреть как на полное реше­ ние интересующего нас вопроса, то все же она лучше старых ги­ потез, совершенно произвольных. Заключая в себе больше неза­ висимых переменных, теория О. Мора может быть применена к

большему числу различных материалов, и гипотезы Ш. Кулона

иШ. Дюге являются только ее частными случаями.

Вслучае железа, стали и других ковких материалов, употреб­ ляемых в технике, обертывающая кривая, соответствующая пре­ делу пропорциональности, может быть заменена отрезком прямой, параллельной оси абсцисс. Прочность таких материалов будет определяться наибольшими касательными напряжениями, что впол­ не подтверждается вышеприведенными работами Дж. Геста.

Что касается чугуна, цемента и других хрупких материалов, для которых допускаемое напряжение назначается в зависимости

‘) B a c h С. Elastizitat und Festigkeit. Die fur die Technik wichtigsten Satze und deren erfahrungsmassige Grundlage. 5 vermehrte Auflage. Berlin, J. Sprin­ ger, 1905, 668 S. CM. S. 160.

2) V о i g t W. Zur Festigkeitslehre. Annalen der Physik. Vierte Folge. 1901, Bd. 4, № 3, SS. 567—591.

от временного сопротивления, то в этой области пока имеется очень мало опытных данных. Работы К. Баха над сопротивлением чугуна и А. Фёппля над сопротивлением цементных кубиков раздавливанию совершенно согласуются с теорией О. Мора.

Всилу всего сказанного является совершенно непонятным, почему в формулах сложного сопротивления до сих пор придержи­ ваются или первой гипотезы (гипотезы максимального напряжения) или второй (гипотезы максимальной деформации) и совершенно игнорируют наиболее обоснованную третью гипотезу (гипотезу максимального касательного напряжения) и дальнейшее ее разви­ тие — теорию О. Мора.

Вдальнейшем мы остановимся на некоторых формулах сложного сопротивления и рассмотрим, как они должны быть изменены, если

воснование будет положена теория О. Мора.

§ 8. Формулы сложного сопротивления

Будем рассматривать железо, сталь и другие ковкие материалы. Чистый сдвиг. В этом случае главные напряжения будут разных знаков и по величине равны наибольшим касательным напряже­

ниям.

1) На основании первой гипотезы на сдвиг нужно было бы до­ пускать такие же напряжения, как для растяжения и сжатия.

2) Если в основание положить гипотезу наибольших растяже­ ний, то тогда допускаемое напряжение на сдвиг должно быть мень­ ше, нежели по первой гипотезе. Уменьшение будет зависеть от коэф­

k= l/4, будем иметь R3=0,8Ri.

3) По третьей гипотезе, с которой в случае железа и стали сов­ падает и теория О. Мора, мы будем иметь R3=0,5R!.

При расчете различных инженерных сооружений, например стропил, мостов и т. п., у нас обыкновенно полагают

Я3= 0 ,75^-0,8/?i,

т. е. расчет ведут, положив в основание вторую гипотезу, тогда как третья более вероятная гипотеза допускает в случае чистого сдвига гораздо меньшие напряжения, и, следовательно, расчет должен производиться именно по ней.

Возьмем, например, цилиндрический вал кругового сечения. Пусть М — скручивающий момент и d — диаметр вала. Макси­ мальное сдвигающее напряжение будет

М -1 6

ал- nd3

Из этого примера видно, что для d вторая гипотеза дает вели­ чину на 8%, а третья на 25% большую, нежели первая гипотеза.

Случай изгиба. Определив на основании известных формул строительной механики простое нормальное напряжение а' и про­ стое касательное напряжение т', мы для определения главных напряжений будем иметь

о = у [а' ± У (а')2-)- (4т')2].

Наибольшее касательное напряжение будет

тта*= ama7 gm,n= у У(о')* + 4(х')»-

1) Полагая в основание первую гипотезу, мы получим такое ус­ ловие прочности:

Полагая по-прежнему /г=1/4, будем иметь следующее условие прочности: