книги / Прочность и колебания элементов конструкций

Получим четыре уравнения такого вида:

т(1— т) a„R*-2+ (т + 2— т2) bmRm— rn (т + 1)amR~m~2 — '

— (т— 2 + m2)$mR~m = 0,

т(1 — т) атгт~- + (т + 2— т2) Ьтгт— т (т + 1) а тг ~т~2—

—( т —2 + т 2) ртг~т = Ат,

Подставляя для А т и Вт, соответствующие значения из разло­ жений (9) и разрешая систему уравнений (11), получим соответст­ вующие каждой паре членов четыре произвольные постоянные.

Внашем случае пришлось решить пять систем по четыре уравнения. Окончательно для напряжений 00 получено выражение

132 НАПРЯЖЕНИЯ В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ, СЖАТОМ СИЛАМИ

то он, очевидно, должен дать нам в результате величину —Р'/2, т. е. половину сжимающей силы Р’. Мы выполнили это интегрирова­ ние и получили

R

= —0,5022Р'.

Г

Результат этот характеризует отчасти точность произведенных нами вычислений.

§ S. СРАВНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ С ИЗВЕСТНЫМИ 135

Усилие, соответствующее элементу с углом d<pi, будет

Если полученный результат сравнить с тем, что нам дала формула (16), то уви­ дим, что сумма всех усилий, нормальных к сечению 0=0, будет равна нулю. Неко­ торое несовпадение объясняется тем, что

найденные нами напряжения 00 получе­ ны лишь приближенно, и о степени точ­

ности можно судить, сравнивая формулы (16) и (17). Действие силы Р' будет эквивалентно действию системы, представленной на рис. 12.

§ 5. Сравнение полученных результатов с результатами, основанными на общепринятых гипотезах

а) Гипотеза линейного распределения напряжений. Если мы вьг делим элемент кольца, соответствующий угду сЮ(рис. 13), то изме^ нение этого угла при деформации определится формулой

Здесь F — площадь поперечного сечения кольца, J — момент инерции этого сечения, N — продольная сила. Для какого-либо уг­ ла 0 она определится формулой

1V = — sin 0;

М — изгибающий момент в рассматриваемом сечении. Для угла 0

136 НАПРЯЖЕНИЯ В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ, СЖАТОМ СИЛАМИ

момент определится формулой

М = М 0 + ~ ^ ( 1 - s in 0).

Через М 0 обозначен изгибающий момент в горизонтальном се­ чении ab кольца. Величина момента М0 определится из условия

л/2

J Ad0=O.

Подставляя сюда значение A dd и выполняя интегрирование, по­ лучим

М0= —0,1451 P'R.

Величины наибольшего и наименьшего напряжений по сечению ab будут

Распределение напряжений по сечению представлено на рис. 9 прямой линией L.

Изгибающий момент в вертикальном сечении кольца cd будет

Для наибольшего и наименьшего на- 2р'

пряжений получим величины =F -щ- • 8,67.

Закон изменения напряжений по сечению cd представлен на рис. 10 прямой линией L.

б) Гипотеза плоских сечений. Изменение элементарного угла d0 в этом случае выразится такой формулой:

Здесь p — расстояние от центра кольца до нейтральной линии; J’— величина интеграла

Гy*dF

Р) р + * ’

распространенного по всей площади поперечного сечения, у — рас­ стояние элемента площади от нейтральной линии сечения. Тогда

Р' Р -j- Г /1 . Лч

М = М0+ ~2----- if- (1—sm0).

2

При нашем соотношении между наружным и внутренним радиу­ сами кольца

Подставляя эти значения в условие (19) и выполняя интегрирова­ ние, найдем

Af0= —0,1454Р'Я.

Распределение напряжений по горизонтальному сечению кольца определяется формулой

от продольной сжимающей силы, получим полные напряжения 00 по сечению ab. Графически распределение этих напряжений пред­ ставлено пунктиром (кривая Р) на рис. 9.

Ряд значений к' приводим в таблице К.

Графически закон распределения напряжений 00 по сечению cd представлен штриховой линией Р на рисунке 10.

О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ МОСТОВ

Известия Киевского политехнического института, 1909, год 9, книга 4, стр. 201— 252. Отдельный оттиск, Киев, 1909, 50 стр. Перевод на немецкий язык: Erzwungene Schwingungen prismatisher Stabe. Zeitschrift Шг Mathematik und Physik, 1911, Bd. 59, Heft 2, SS. 103—203. Перепечатка: T i m o s h e n k o S. P. The collected papers. McGraw-Hill Book Company Ltd, New York, London, Toronto, 1953, pp. 51—91.

Задачи о вынужденных колебаниях призматических стержней имеют не только теоретическое, но и большое практическое значе­ ние. С ними приходится встречаться в различных отделах машино­ строения, в мостовом деле, в кораблестроении и т. д. Несмотря на это, общие методы исследования малых колебаний, разработанные главным образом в акустике, находят малое применение в технике. Объясняется это отчасти тем, что в книгах по теории звука главное внимание обращено на свободные колебания, вынужденным коле­ баниям отводится мало места: ограничиваются обыкновенно лишь изложением общего метода.

В настоящей статье мы рассмотрим вопрос о вынужденных ко­ лебаниях призматических стержней, пользуясь общей методой х), основанной на применении второй формы лагранжевых уравнений к системам с бесконечным числом степеней свободы.

Статья распадается на такие разделы.

I.Изложение общего метода.

II. Продольные колебания призматических стержней (в ка­ честве примера мы рассмотрим колебания индикатора 2).

III. Колебания кручения призматических стержней. (Здесь об­ щий метод применен к исследованию колебаний вала с двумя шки­

-) Задача эта решена А. Н. Крыловым. (См. его работу «Некоторые замечания о крешерах и индикаторах», Известия Академии наук, С.-Петербург, 6 серия, 1909,

Прием, примененный А. II. Крыловым, отличен от принятого в настоящей статье.

140 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

I. ИЗЛОЖЕНИЕ ОБЩЕГО МЕТОДА

§ 1. Кинетическая и потенциальная энергии

При исследовании колебаний будем определять положение сис­ темы ее нормальными координатами. Если (plt ф2, . . . — нормальные координаты, то из самого их определения уже следует, что кинети­ ческая энергия системы и ее потенциальная энергия представятся функциями второй степени, заключающими лишь квадраты величин

Ф1, ф2, . . ., ф1, ф2, . . . Можем написать

Здесь а1г а2, . . ., си с2 . . . суть постоянные величины, зависящие от конфигурации системы и ее упругих свойств. Самый общий вид колебания системы можно получить наложением ряда главных про­ стых колебаний, соответствующих нормальным координатам ф1( ф2(. .. Чтобы найти колебания, соответствующие какой-либо коорди­ нате фг, нужно только, пользуясь выражениями (1) для живой силы и потенциальной энергии системы, составить соответствующее уравнение Лагранжа, так как выражения (1) заключают лишь ква­ драты величин фь ф2, . .., то уравнения Лагранжа получают весьма простой вид:

где

Большой буквой Ф,- мы будем обозначать обобщенную силу, со­ ответствующую координате ф,-. При заданных внешних силах Ф(

может быть определена из того условия, что Ф4бфг представляет собой работу внешних сил на перемещениях, соответствующих при­ ращению бф,- координаты фг.

Если через (фг)0 и (ф,)0 обозначим начальное значение координаты и соответствующую ей начальную скорость, то общий интеграл уравнения (2) представится в такой форме:

t

Ф , = (ф,-)оcosп^ + ^ - ( ф;)0s i n j ( D , s i n n A t— lJ d t» (3)

о

первые два члена интеграла зависят лишь от начальных обстоя­ тельств.