Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Прочность и колебания элементов конструкций

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

30.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

§8. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

161

Уравнение Лагранжа, соответствующее какой-либо координате фм будет

Ф/ = Ф«-

(6)

Вводя обозначение

■= n‘it

можем на основании (3) и (6) представить прогиб балки при колеба ниях в такой форме:

■Ь- Г — ^	j ф <‘sin "/ (' - * i ) dti } •	(?)
q J uf dx	0
о

Постоянные (q>t)0 и (ф;)0 могут быть найдены из начальных обсто ятельств движения. Положим в начальный момент /= 0

(г/)0= ф (^ ).

Тогда на основании (7) получаем

i =	оо		f=s оо
ф (*) = 2		(ф,•)(.“«.	♦ (*) - 2	(ф/)о«1-
i=i			i= 1

Пользуясь основным свойством нормальных функций, найдем

i	i
(x)uidx	$ $ {x)uidx

Для определения колебаний остается лишь в каждом частном случае найти соответствующее значение обобщенной силы Ф/.

162О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

§9. Колебания стержней, опертых по концам

Сэтим способом закрепления приходится особенно часто встре чаться при практических приложениях теории колебаний. Условия на концах напишутся в данном случае так:

д2и

г/ = 0 и ^ | = 0 при х = 0 и при х = /.

Общее выражение для прогиба в нормальных координатах будет /=00

				S	. IJIX		(8)
				S	4>i'Sm —j—•		(8)
Следовательно,				i=i
Следовательно,	i				i
■ тх	i	«	.	/	i		i*я4 /
■ тх	Г	«	.	/	С/д2и,\г,	=	i*я4 /
ui = sin — ,	] u		t d	x ^ ,		=
	о				о

Выражения (4) и (5) для живой силы и потенциальной энергии перепишутся так:

... ol	/SOD	•	EJnA	/ = со
... ol	^	•	EJnA
	X	(ф\|)2*	y = ~ w X
	С=1			1=1

Уравнение Лагранжа для координаты фг будет

”, b*i*я*

Ф/+ —

Если положить, что в начальный момент ( ф ,-)о:= ( ф ,-)о= 0 ,						то для
прогиба балки получим такое общее выражение:
/ = со	inx	l2	2g	Г jf,	bi2n
.	inx	l2	2g	Г jf,	bi2n
sin	l	ЬяЧ*	ql	ja> /Sin		(9)
(=1

§10. Влияние периодической поперечной силы на прогиб

Вкачестве примера рассмотрим раскачивание балки периоди ческой силой Р = Р а sin со/, приложенной в сечении х=с. Для опре

деления обобщенной силы Фг дадим соответствующей координате приращение бфг. Этому приращению будет соответствовать прогиб

Сосредоточенная сила Р при этом прогибе, очевидно, совершит

§ 10. ВЛИЯНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ НА ПРОГИБ 163

работу

Potpi Sin-J- = P00ф; sin со/ Sin -у- .

Приравнивая это работе Фгбф| обобщенной силы, найдем

Ф,-= Р0sin со/ Sin-J .

Вставляя найденное значение обобщенной силы в общее решение

(9) и выполняя интегрирование, получим

	. inc	. inx	nn ,,	»'=®	. inc	. inx
a — CD	n n - r - s i n ——		nn ,,	»'=®	sin ~ r	sin ——
2gP0P	/	l	2P0l6go>K^		1	1
i= 1	ЬЧп— со2/4 S n W		gbn*	2 -	1ЦЬЧп-(оЧ*)Sln /2 ‘
i= 1				С=1		( 10)
						( 10)

Колебания, определяемые первой суммой, имеют тот же период, что и вынуждающая колебания сила. Вторая сумма представляет собой «свободные» колебания системы. При наличии внешних со* противлений колебания эти постепенно затухают и практически придется иметь дело лишь с «вынужденными» колебаниями системы.

Заметим, что в том случае, когда точка приложения силы сов* падает с одной из узловых точек /*го типа колебаний, sin (шс//)=О и соответствующие члены в решении (10) обращаются в нуль — сила не вызывает, следовательно, колебаний /*го типа.

Если сила медленно меняет свою величину, то о» мало. В общем решении (10) можно отбросить второй член, имеющий ш множителем; кроме того, в членах первой суммы можно пренебречь величиной со8/* по сравнению с Ь2Р я*. Окончательно для прогиба получаем вы ражение

		л=<*> .	inc	. inx			.	inc .	Inx
..	2gP0ls sin со/	> _	l	l _	2PP	v		1	1	11 П
y ~	qbn	nT\	i*	~	E	J n	i	*		'

Полученный результат представляет собой прогиб балки при статическом действии силы Р в сечении с 1).

Отметим здесь тот частный случай, когда период внешней силы равен периоду какого-либо типа собственных колебаний системы (явление резонанса).

Пусть

ЬН*п*=аЧ*.

В таком случае знаменатели соответствующей пары членов в общем решении (10) обращаются в нуль. Вынося эти члены из-под019*

х) См. нашу работу «Применение нормальных координат к исследованию из гиба стержней и пластинок», Известия Киевского политехнического института, 1910, отдел инж.-механический, год 10, книга 1, стр. 1—49. См. стр. 5.

164 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

знака 'S 'S и раскрывая неопределенность, придем к такому резуль тату:

—	Pog	t cos (оt sin		sin		+	Pog		sin	1ЛХ
	qm		l		l		-Щ, sin ©f sin —			~T~
							1 qat2l	l

Получаем член, имеющий множителем t. Амплитуда колебаний имеет тенденцию беспредельно возрастать. Подобный результат по лучился вследствие того, что мы не приняли во внимание сопротив лений. Чем сопротивления меньше, тем больших размеров может достигнуть амплитуда колебаний. Малая сила может вызывать боль

шие прогибы, а,	следовательно, и большие	напряжения в балке.
С этим явлением	приходится считаться при	технических расчетах;

обыкновенно изменением поперечных размеров балки стараются избежать явления резонанса.

Если частота © вынуждающей колебания силы меньше частоты /от2//2 основного типа колебаний балки, т. е. ©2/2//от2= a d , то мож но для вычисления динамического прогиба пользоваться прибли

женной	формулой. Составим			выражение		для	прогиба посредине
пролета. Для этого в общем решении (10) полагаем х=1/2:
, ч	2g/у з	*= » ( _ i)fe sjn (2&+ 0 re				*
		v '	'	I	•
{ y ) x = i / t — qb2jli		Z d	(2 fe-b 1)*—ot2		SinC0*
		fc=®	/_ 1)fc sin (2ft±_l)^			„ .„ (2 ® + l)2bn2t
	2gP0l*(o V		' ’		l			( 12)
	qbnWn* 4 “		(2k + 1)* [(2ft-f- l)1—a 2] Sm				/*

Если принять во внимание выражение для прогиба при статиче ском действии силы Р0, см. (11), обозначить через /ст статический прогиб посредине, то с достаточной точностью динамический про гиб посредине представится в таком виде:

t	с (	1	.	.	bn2t \
/Д =	/ст		sin	( o t - a s m	- ^ - J .

В самом невыгодном случае наибольший прогиб посредине будет

(/*)тах=/ст ( г = ^ + а ) •

( 13)

§11. Продолжение. Случай сплошной поперечной нагрузки

Имея решение (10), легко найти колебания балки в случае дей ствия сплошной периодически меняющей свою величину нагрузки. Пусть р sin o>t dc — нагрузка, приходящаяся на элемент длины dc (р — некоторая функция от с). Вставляя pdc вместо Р0 в решении (10) и выполняя интегрирование по с в пределах от 0 до /, получим

§12. ДВИЖЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ ПО БАЛКЕ 165

искомое решение. Положим, например, p=const, т. е. балка подвер гается действию сплошной равномерно распределенной нагрузки переменной интенсивности. (Приблизительно в таких условиях на ходится паровозный спарник.) Выполняя вышеуказанное интегри рование, найдем

		k= СО	.	(2fc+l)iuc .
	4gpl*	k= СО	sin	1------у----- sm шt
У	4gpl*	у	(2k+ \)	[(2fc+ \)Ь'гп— со2/2]
У	ал	* =0	(2k+ \)	[(2fc+ \)Ь'гп— со2/2]
	4	* =0		k=OD	(2k + l)n x			b (2 k + \y n H
					(2k + l)n x		Ы П	b (2 k + \y n H
					-1П -----------	:-----------	Ы П	--------------Та-------------
				4gplaa> у		l		l1	(14)
				qbn3 * = .	~2k +	1)» [(2ft + 1 )« Ъп—			(14)
					~2k +	1)» [(2ft + 1 )« Ъп—

При весьма медленном изменении интенсивности нагрузки со — малая величина, для у получим значение

	k= со	._ (2k+\)nx
	k= со	>1П	^
4pi* у
У = EJnв	k = О	(2Л+	1)6
	k = О

Эго совпадает с выражением для статического прогиба балки г). Если м меньше частоты колебаний, соответствующей основному тону, то для вычисления наибольшего динамического прогиба можно

пользоваться ранее выведенной формулой (13).

§ 12. Колебания при движении постоянной поперечной силы по балке

Рассмотрим теперь колебания балки, возникающие при действии постоянной силы Р, если точка приложения силы перемещается по оси х с постоянной скоростью а. В начальный момент сила располо

жена над левой опорой. Найдем выражение для обобщенной силыФ,-, для этого в момент t дадим координате ф,- бесконечно малое прира щение 6фг. Этому приращению будет соответствовать прогиб

Ьу = бф,-sin —у .

Внешняя сила Р, находящаяся в рассматриваемый момент на расстоянии at от левого конца, совершит при этом изгибе работу

Рбф ^т inat

~Г

1)См. стр. 6 нашей работы, указанной в сноске г) на стр. 163.

166 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

приравнивая это работе Ф4 6ф( обобщенной силы, найдем

inat

<D, = .Psm- /

Вставляя это в общее решение (9) и выполняя интегрирование, найдем

I = СО	inx	. inat
2Pl3g	Sm ~	Sln ~ T ~
У ~~ qn3 ^	i2 (t2n262—a2/2)

. _ *

2Pl*ga

qbn3

, _ _	.	1Я* .	bi3n3t
- 00 sin		—r - sm — ^ —
T i		/	/2	(15)
1=1	,3(&2;2Я2—fl2/2)			(15)
1=1	,3(&2;2Я2—fl2/2)

Первая сумма полученного решения дает колебания, зависящие от скорости а. Это будут «вынужденные колебания» системы, вторая сумма представляет собой «свободные колебания».

Если уменьшать скорость а перемещения силы Р по балке, то мы в пределе должны прийти к статическому изгибу балки. В самом деле, полагая в решении (15) а=0, at= \, найдем

inx .	1яё
{= <*sin —j—sin	- ~
2Р13
У EJn* {=0

что совпадает с ранее полученным выражением для статического про гиба (см. (11)).

Полагая *=//2 и 1—1/2, придем к известному результату:

. .	2Р13	1	2Р/» п«	Р1*
(У)хЫ/ 3 — £Уп«		(2* +	1)4— £УП4 96 в	48£ У •

Рассмотрим теперь подробнее				тот частный случай,				когда а/=
= 12я 2Ь2. Знаменатели		двух членов в решении (15) при этом обраща
ются в нуль. Вынося		эти члены из-под				знаков 2		и раскрывая
неопределенность,	получим
Pg .	mat	.		Pgl	sin	inat	sin	(16)
—г5- t cos —г-		sin				~~T~
qina	l		qi3n3a2

Первый член имеет множитель t, следовательно, амплитуда коле баний i-ro типа будет беспредельно возрастать.

Опять мы приходим к явлению «резонанса». Особенный практи ческий интерес имеет тот случай, когда резонанс соответствует ос

новному типу колебаний, т. е. когда
62я 2= а 2/2.	(17)

Период колебаний Т для основного тона будет Т=2п13/Ьп3—213/Ьп, или на основании (17) Т —21/а.

§ 12. ДВИЖЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ ПО БАЛКЕ 167

Следовательно, Т вдвое больше того промежутка времени, кото рый необходим для пробега точкой приложения силы Р всего пролета балки.

Полагая в решении (15) х=//2 и преобразовывая члены, соответ ствующие t'= l, при помощи формулы (16) получим для прогиба бал ки посредине выражение

{У)х=1/2 —		t	nat	Pgl .	я at .
{У)х=1/2 —	qna	t	COS	sin	- y -	+
	qna		k=00			(2k-\-\)nat
					Sin	(2k-\-\)nat
					Sin	------1~-	-----
		2Pig		(-1 )* (2ft+ l)2[(2ft+l)2- l j
		qn2a2 £		(-1 )* (2ft+ l)2[(2ft+l)2- l j

k—00	.	(2ft+ 1 )*nat
k—00	sin	------i- y -------
2Pig	- D *(2ft +		( 18)
qn2a2 E <	- D *(2ft +	l)*[(2ft + l ) » - l j	( 18)

Входящие в это выражение суммы оказывают лишь небольшое влияние на величину наибольшего прогиба. Ограничиваясь первыми двумя членами выражения (18), найдем, что наибольший прогиб со ответствует моменту t=l/a, когда сила Р достигнет правой опоры балки. Величина наибольшего прогиба будет утлх = Pl3/n3E J . Сравнивая это с наибольшим статическим прогибом fct—Pl3/A8EJ, найдем

=1,55.

fcx

я 3

На практике обыкновенно период Т основного типа колебаний во много раз меньше промежутка времени 2Ца, и потому ей мало по сравнению с величиной Ьп. Вводя обозначение ей : Ьл=а, можем ре шение (15) представить в таком виде:

	1 = СО	inx	. inat		/_ _	. «яде	bin21
_2Р13		sin —	sm - г	2PI3	*- 06 sin —lт—sin ~12~			(19)
у ~Шп*	i=1	i2 (t*—a 2)		EJя* “	S	i3(i2—a 2)		(19)
у ~Шп*		i2 (t*—a 2)		EJя* “	S	i3(i2—a 2)
					<=i

Для нахождения прогиба посредине балки в тот момент, когда сила Р находится на расстоянии с от левого конца, нужно в решении (19) положить х=1/2, сй=с. Тогда

k — 00	, ivo • (2ft+1) nc
2PI3 у»	(— 1)“ Sin ----- y - i---
(У)х=1/г — / д — EJn* 2 *	(2 ft+ l)2 [(2ft + l) a—a*]
k=0	,	•	(2ft + 1)* bn2t
	,	•	(2ft + 1)* bn2t
	k-a> ( -l)fc sin --------Ti---------
	2PI3
	EJn*a £ ( 2 f t + 1 ) 3		[(2ft + l ) 2 - a 2J

168 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

Если через /ст обозначим статический прогиб посредине, когда сила Р приложена на расстоянии с от левого конца, и через F„ статический прогиб посредине, когда Р приложена в середине про лета, то динамический прогиб посредине может быть с достаточной точностью представлен формулой

Iд — 1 —а»	с .	Ьл21		(20)
Iд — 1 —а»	-ct/^ст sin	^	2	(20)
В самом невыгодном случае:
(/дд/max) '	-а Fc			(21)
(/дд/max) '	1 — а 2

Заметим, что первый член в выражении (20) для динамического прогиба можно рассматривать как статический прогиб балки при одновременном действии попереч ной силы Р в сечении х=с и про дольной сжимающей силы Q, рав ной aEJrf/l2*). Для получения /д

h	приходится	на статический прогиб
	наложить	гармонические колеба
	ния, имеющие амплитуду aFCT, и
Рис. 1.	период, равный		периоду основного
	типа колебаний		рассматриваемой
	балки.

Если по балке с одной и той же скоростью а перемещается не сколько сосредоточенных сил Pi, Рг, . . то для определения про гиба придется сложить действия отдельных сил. Пусть Ри Р2, . . .

обозначают силы в том порядке, в каком они при перемещении всту пают на балку (рис. 1); Аь А.......... — расстояния сил Рг, Р8, . . .

от силы Ри тогда, применяя к каждой из сил формулу (20), получим динамический прогиб посредине в таком виде:

	/ст-Н /ст -Ь /ст Ч~ ■	-aF'„ sin	bn2t
/ д =	1 —а2	-aF'„ sin	~ТГ'	Ьл2
	— aF’„ Siп 1 ? (* — тг) —			Ьл2	(22)
	— aF’„ Siп 1 ? (* — тг) —			sin ~W	(22)

Самые невыгодные условия будем иметь, когда амплитуды коле баний, вызываемых отдельными силами, складываются, т. е. когда промежутки времени XJa, kja, . . . кратны Т — периоду основного типа колебаний балки. В этом случае

/« = Г35? « + /« + /« + . . . ) - » (F'CT+ Г„ + F'”+ ... ) sin ^ .

*) См. стр. 10 нашей работы, указанной в сноске *) на стр. 163.

§13. ДВИЖЕНИЕ ПО БАЛКЕ РАВНОМЕРНОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ 169

§13. Колебания при движущейся по балке

равномерной поперечной нагрузке

В качестве последнего примера рассмотрим колебания балки под

действием равномерно	распределенных усилий, надвигающихся
на балку с постоянной скоростью а		(рис. 2,	а). Обозначим	через
р силу, приходящуюся	на единицу	длины	балки, тогда	padtv
■*— at— -
Ш ) Ш	Ит

Рис. 2.

будет усилие, приходящееся на элемент балки adtu выделенный на расстоянии at1 от левого конца.

Прогибы Ьу, вызываемые выделенным элементарным усилием padtu определятся на основании решения (15) предыдущего пара графа:

	l s СО	inx	. inat1 ..		i—00 .		inx .	bi2n2tt
	2pl3ga	sin - j -	sin	2p/4ga2	у	Sin	-J- Sin	----
йу	2pl3ga			2p/4ga2	у	i3 {b2i2n 2— a3l2) dtx.
йу	qn3 2	i* (i2n2b2 — a2/2)		qbn3		i3 {b2i2n 2— a3l2) dtx.

Интегрируя это выражение no tx в пределах от 0 до t, получим прогиб от усилий, распределенных по всей длине at:

„	_ .	1JtAT
„	*- °° sin	—т	1
2pl*g	V	1	1
qb2n b		ib	1
		, m	. .	inx	bi2n2t		i= CD	.	inx	inat
,	2pl2ga2	V	sm	/ « »	/2	2pl*g	V	SinО 1 1 1	—^7- COSv	^
‘	qb2ns		i6 (b2i2n2—a2/2)			9л3	S i	(3 (i2n2b2—a2/2) '

К тому же результату можно прийти, определяя для данного случая значения Ф4 и вставляя его в общее решение (9) § 9. Для

170 О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

нахождения <рь очевидно, будет служить уравнение

Ф,-б(р(- = рбф, J sin ^ dx.

Решение (23) применимо, пока at<l. С момента at=l на балку действуют равномерно распределенные постоянные усилия; балка совершает «свободные колебания», определяемые величинами у и dy/dt в момент t = l/a.

Когда усилия р начнут сходить с пролета балки (рис. 2, б), снова появляются вынужденные колебания. Выражение для у может быть получено тем же способом, что и в предыдущем случае. Конечно, придется принять во внимание значения у и dy/dt в момент начала схода нагрузки с пролета балки.

Если в решении (23) положить скорость а равной нулю, то мы

от задачи динамики перейдем к задаче статики;							для прогиба посре
дине пролета получится выражение
	k —ял			k = x	/	мь	(2ft + 1) nat
	k —ял	(— '>)*	2 p l 4g	k = x	(— \)k cos -------j ------
(У)х=1/2	2 pl*g v	(— '>)*	2 p l 4g	ST'			(2ft+ l)6
(У)х=1/2	qn5b2		а п ъЬг	k - Q			(2ft+ l)6
				k - Q
Полагая at=l, т. e. выбирая тот момент, когда усилия р зани
мают весь пролет балки, найдем
	(У)хЫ/2	4pl*g	(—l)ft _		5	pi4
	(У)хЫ/2	qnW	2=t (2ft +	l)5	384 EJ ’

ft=o

что совпадает с известной формулой для изгиба балки равномерно распределенной нагрузкой.

§ 14. Динамические напряжения

Во всех рассмотренных нами частных случаях мы ограничива лись отысканием выражения для динамических прогибов балки.

Для определения напряжений необходимо найти динамическое значение кривизны балки в различных сечениях, т. е. составить об щее выражение для дгу/дх2. Возьмем случай изгиба балки силой, пе ремещающейся вдоль оси х с постоянной скоростью а. На основании решения (15) получаем

		inx	. inat		.	ijtx	. bi2n2t
д2у	2 P l3g	sin - j -	sin ——	2Pl2ga	sin —		sin —jj —
д2у	2 P l3g	Е i2n 2b2— a2l2		2Pl2ga
дх2	Я	Е i2n 2b2— a2l2		qbn		i(b2i2n2— a212)

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 7117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202330.89 Mб1Процессы порошковой металлургии. Т.2 Формование и спекание.pdf
#
12.11.20231.11 Mб4Процессы тепломассопереноса в гетерогенных системах..pdf
#
12.11.20235.34 Mб8Процессы формообразования и инструменты..pdf
#
12.11.20239.63 Mб5Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений..pdf
#
19.11.202333.66 Mб0Прочность и деформируемость горных пород..pdf
#
19.11.202330.63 Mб0Прочность и колебания элементов конструкций..pdf
#
12.11.20231.5 Mб5Прочность и разрушение материалов..pdf
#
12.11.20233.07 Mб0Прочность и устойчивость статически неопределимых рам..pdf
#
12.11.202311.03 Mб4Прочность конструкций при малоцикловом нагружении..pdf
#
12.11.20239.81 Mб0Прочность легких и ячеистых бетонов при сложных напряженных состояниях..pdf
#
12.11.202315.87 Mб4Прочность сварных соединений при переменных нагрузках..pdf