книги / Прочность и колебания элементов конструкций

и выражения для напряжений окончательно представятся в таком виде:

Здесь через v обозначена скорость на окружности диска. Наибольшие напряжения имеют место в центре диска, где

yv23+ а

Сравнивая этот результат с формулой (1), заключаем, что макси­ мальные напряжения в случае сплошного диска составляют пример­ но 0,4 от того, что мы имели бы для кольца, вращающегося с той же окружной скоростью, что и диск.

В случае диска с отверстием в центре произвольные постоян­ ные Ci и С2 определятся из условий на внутреннем и наружном кон­ турах. Если эти контуры свободны от усилий, то рг= 0 при р = а и р—Ь, где а и b — внутренний и наружный радиусы диска. Поль­ зуясь первым из выражений (7), найдем в данном случае

',‘- Т т ( 1+'‘'-зТгч>+?)•)

Следовательно, для дисков с отверстием внутри pt> p r и на­ ибольшее напряжение имеет место по внутреннему контуру, где01

(10)

Полагая о=0,3, найдем, что при изменении а величина ptmaxколеб­ лется в пределах от 0,825 (yv2/g) до у v2/g.

Самое незначительное отверстие в центре диска обусловливает появление по краям отверстия напряжений, вдвое больших тех, которые были получены для сплошного диска. Мы здесь встреча­ емся опять с таким же явлением местного перенапряжения материа­ ла, как и в ранее рассмотренном случае растяжения полосы, ослаб­ ленной отверстием.

244ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В ПАРОВЫХ ТУРБИНАХ

Вкачестве примера на рис. 6 представлено распределение на­ пряжений для диска диаметром 0,914 м при 3000 оборотах в минуту. Полагая у =0,0078 кг/сма, найдем yu2/g«1650 кг/см2.

Откладывая по оси х величину напряжений и по оси р расстоя­ ния рассматриваемой точки от центра диска, получим для диска без отверстия линии, указанные на рисунке сплошной чертой, представ­ ляющие изменение рг и pt b зависимости от р. Пунктирные линии дают представление о распределении напряжений в случае диска с

отверстием. При этом линии с номерами /, II и / / / относятся соот­ ветственно к дискам, у которых диаметр внутреннего отверстия со­ ставляет 1/18, 1/3 и 2/3 от наружного диаметра. В первом случае ясно видно резкое возрастание напряжений у краев отверстия.

При определении произвольных постоянных и Са мы исходили из предположения, что наружный и внутренний контуры свободны от усилий. В действительности к наружному контуру приложены усилия от центробежной силы, действующей на лопатки, по внут­ реннему контуру действуют напряжения, соответствующие месту сопряжения диска и втулки, и полные напряжения в диске соста­ вятся из трех элементов: 1) из напряжений, вычисленных по форму­ лам (9); 2) из напряжений, соответствующих усилиям по наружному

контуру, и 3) из напряжений, обусловленных усилиями по внутрен­ нему контуру. Последние два элемента определяются по известным формулам Габриэля Ламэ *):

Здесь через рв и ри обозначены напряжения, действующие по внутреннему и наружному контурам диска.

§5. Диск равного сопротивления

Втолько что рассмотренном примере диска постоянной толщины напряжения рти pt распределяются по диску далеко не равномерно— наиболее напряженной является внутренняя часть диска. Часть диска у наружного контура менее напряжена, и здесь без ущерба для прочности толщина диска может быть уменьшена. Задача о том, по какому закону нужно менять толщину диска, чтобы получить равномерное распределение напряжений и осуществить таким об­ разом форму равного сопротивления, легко решается при помощи основного уравнения (3). Полагая, что напряжения рг и pt по всему диску равны между собой и равны допускаемому напряжению R, получим из уравнения (3)

R y + R p % - R y + -yf p * y = 0 ,

откуда

Здесь через у0 обозначена толщина диска в центре. При проек­ тировании обыкновенно задаются толщиной диска у наружного контура на основании конструктивных соображений, тогда формула (12) дает возможность вычислить толщину диска для любого р. Тол­ щина будет получаться тем большей, чем меньшее допускаемое на­ пряжение R положено в основание расчета.

Чтобы в диске равного сопротивления везде получались напря­ жения, равные R, необходимо и по наружному контуру приложить такие же напряжения. На практике этого достигают следующим об­ разом; среднюю часть диска, имеющую форму равного сопротив­ ления, окружают более широким ободом (рис. 7), на котором при­ крепляют лопатки турбины. Поперечные размеры обода подбирают так, чтобы увеличение диаметра внутренней части диска, имеющей

*) [L а ш ё G. Legons sur la theorie mathematique de I’elasticite des corps solides. Paris, Bachelier, 1852, 335 p. CM. p. 216.]

форму равного сопротивления, как раз равнялось расширению обо­ да при условии, что по поверхности соприкасания этих частей дей­ ствуют напряжения R. Так как напряжения во всех точках диска равного сопротивления одинаковы, то будут одинаковы и относи­ тельные удлинения. Величина их определится формулой

Увеличение наружного радиуса диска равного сопротивления будет равно

При вычислении расширения обода примем во внимание, что иа каждую единицу длины обода приходится радиальное усилие, рав­ ное

Я = Ш ^ — Ry

Увеличение внутреннего радиуса обода определится, как для коль­ ца, по формуле

АЪ = дь1 ь

оуг Е

Приравнивая это выражению (13), получим уравнение, в которое будут входить поперечные размеры обода а и уг, а также величина уг. Задаваясь двумя из этих величин на основании кон­ структивных соображений, мы получим для третьей величины вполне опреде­ ленное значение. Этого значения и нужно будет придерживаться при про­ ектировании, если жела­ тельно, чтобы внутренняя часть диска находилась в условиях диска равного

сопротивления.

В качестве численного примера рассмотрим такой случай. Тре­ буется рассчитать диск равного сопротивления из никелевой стали для турбины, делающей 3000 оборотов в минуту. Радиус b= 1 м. Толщину диска ух у наружного края примем равной 1,5 см и допус­ тим напряжение R =2000 кг/см2, тогда толщина в центре определится

по формуле (12)

уо» y*-y1= \-e ~ 2*R =7,11,

следовательно, г/0=1,5*7,11«10,7 см.

Ширину обода примем равной 8 см и допустим, что от лопаток на 1 см2 поверхности по наружной окружности обода приходится уси­ лие 78,5 кг, тогда толщина обода найдется ранее указанным спосо­ бом и будет равна а=4,6 см.

§ 6. Приближенные методы расчета дисков

Интегрирование уравнения (4) в замкнутой форме удается лишь в некоторых частных случаях. Кроме дисков постоянной толщины и дисков равного сопротивления, рассмотренных выше, без затруд­ нений могут быть рассчитаны еще диски гиперболического профиля1), когда

у = сх~а.

Меняя в этом выражении величину а, можно получить ряд про­ филей, имеющих практическое значение. В общем случае при реше­ нии уравнения (4) приходится пользоваться приближенными гра­ фическим или вычислительным методами. Графический метод, пред­ ложенный профессором А. Стодола 2), заключается в том, что зара­ нее графически задаются величиной £ в виде функции отр. Причем функцию эту выбирают так, чтобы были выполнены условия на внутреннем и наружном контурах [см. формулы (А), § 3]. После этого уравнение (4), которое может быть представлено в таком виде:

дает возможность вычислить у, т. е. подобрать ту форму диска, ко­ торой соответствует принятый заранее вид деформации. Повтор­ ными расчетами можно для £ подобрать такое выражение, чтобы форма диска по возможности ближе подходила к форме диска рав­ ного сопротивления. Такой способ расчета не дает возможности определить напряжения в случае диска, форма которого задана на­ перед.

Для решения задач этого рода можно воспользоваться вычис­ лительным методом, для чего придется от дифференциального урав­ нения (4) перейти к уравнению в конечных разностях. Предполо­

х) См. S t о d о 1 a A. Die Dampfturbinen. Mit einem Anhang flber die Aussichten der Warmekraftmaschinen und iiber die Gasturbine. 4 Auflage, Berlin, J. Sprin­ ger, 1910, 708 S. CM . S. 254.

2) S t о d о 1 а А. См. стр. 255 его книги, упомянутой выше.

жим сначала, что нам заданы значения £=£„ и £' = £^ на одном из контуров диска, например, на внутреннем контуре, тогда, подстав­ ляя эти значения в уравнение (4), мы сможем найти £д. Имея эти величины, легко найти значения ^ и £i для точки, отстоящей от контура на малую величину Ар, при помощи формул

=и 5 ^ 6 ,+ Д б ..

Определив и £J, мы путем подстановки этих величин в уравне­ ние (4) найдем II и дальше, повторяя вычисления в прежнем поряд­ ке, сможем найти приращения Д£х и Д|! для следующего интервала. Вместе с этим находятся величины

е ; = е ; + д е; и е 2 = ^ д +^ ,

а, следовательно, при помощи (4) и величина £*. Повторяя эти вы­ числения для каждого последующего интервала, мы в заключение достигнем наружного контура диска и получим все промежуточные значения для £ и £'. Имея эти величины, легко вычислить соответ­ ствующие значения напряжений. Чтобы судить о степени точности подобного расчета, мы приводим результаты, полученные нами для диска постоянной толщины, внутренний радиус котооого а = 5 см и наружный Ь=30 см.

Разделив соответствующее уравнение (5) на А и задавшись, на­ пример, величинами £а/Л = 1000 и ^/Л = 100, мы находим

Переходя теперь от р= 5 см к р=5,5 см, найдем

Подставляя это в уравнение (5), найдем

Ш = 9,66.

Ввиду быстрого изменения величины £"/А мы, для повышения точности дальнейших вычислений, повторяем расчет по такой схе­ ме:

= 100 + 0,5 ls+2gig ? = 106,2,

&- = 1000 + .0,5100+ .106>2= Ю53,

тогда получим £'/Л = 10.

Установив, таким образом, значения £/Л, £7Л и £7А для р=5 см и р=5,5 см, мы определяем эти величины для р= 6 см, при­

250 ВОПРОСЫ ПРОЧНОСТИ В ПАРОВЫХ ТУРБИНАХ

Сравнивая это с числами предыдущей страницы, заключаем, что точность результатов, полученных вычислительным методом, впол­ не достаточна для практических приложений.

При вычислении мы исходили из предположения, что на внут­

в предположении заданного значения напряжений ртпо внутрен­ нему и наружному контурам. В таком случае нам будет известна только величина

при р = а и р=Ь, и мы не сможем вести вычисления по прежней схеме. Необходимо предварительно определить величины £„ и что может быть выполнено на основании следующих соображений.

Представим общий интеграл уравнения (4) в таком виде:

Е = £аф (р) + &Ф(р) + 0 ( р),

где ф, ф и 0 — неизвестные нам функции от р. Тогда

Е' = 6аФ' (р) + 1аФ' (р) + 0' (Р).

вычисления три раза, мы сможем получить число уравнений, до­ статочное для определения величин ф(6), гр(6), . . ., 0'(й).

Пусть а, Ъ, с, а', Ь' и с' — соответствующие значения этих вели­

Если к этим уравнениям присоединить соотношения между | 0 и ^ на внутреннем контуре и между и \'ь на наружном контуре, то мы будем иметь достаточно уравнений для определения ?а и %'а и дальше сможем найти распределение напряжений в диске ранее указанным способом.

Применим эти общие соображения к рассмотренному выше чис­ ленному примеру. Найдем напряжения, которые возникнут при