Выделяем из (5) производную (ЭУ/ЭР)^
(6)
Далее подставим уравнения вида:
|
dS \ |
_ '■'Р ( д Т Л |
и |
_ _ Су( эт^ |
|
|
|
(7) |
|
ЭУ У Р |
ЭУ УР |
ЭР Jv |
|
т I э р Jv |
в приведённое выше уравнение (6):
f d V \
(8)
ЭР Js
Откуда после преобразования получаем:
|
'Э Ю _ |
Су(дтЛ ( d V ' |
(9) |
|
V a" p" j s |
сР{др)у{дт |
|
|
|
Для функции |
У |
= У ( Р , Г ) |
|
снова |
находим выражение полного |
|
дифференциала: |
|
|
|
|
|
|
|
' ' d V ' ] |
|
Г Э Ю |
|
|
dV =\ |
ЭР JT dP+ |
дт) |
dT |
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
При условии У = const получим: |
|
(dV~) |
|
dV\ |
dT=0. |
|
дР)т |
IЭГ |
|
|
|
|
|
d p |
+ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Н ) |
|
Поделив на дТ при У |
= c o n s t, получим: |
|
г д У ' |
ГЭРЛ . Г Э У ^ |
= - 1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
ЭР |
V Ъ Т)у |
\Ъ Т j |
( 12) |
'dv)
Откуда выделяем частную производную | ——
o T j p
[ д Р J f vд Т ) у |
дТ j р |
(13)
Подставляя (13) в (9), получим:
dv\
(14)
или
(15)
чтои требовалось.
Я ! Cv
16. Уравнение вида Т(V — Ь У '' —const можно получить путем следующих преобразований. Выразим энтропию в форме функции:
Для этой функции полный дифференциал энтропии равен:
ds\ |
„.fas"| dV |
(2) |
|
|
3vJ. |
|
|
|
|
JT |
|
|
При |
S —const, изоэнтропийный |
процесс (изоэнтропа) |
определяется уравнением: |
|
|
as^ |
_ fas |
dV= 0 . |
(3) |
„ . |
dT+ l - ^ - l |
ЬТ )y |
v 8 V ) j |
|
|
В этом уравнении производим преобразование производных.
Первая производная [ — - | равна отношению Су и Т
U T L
|
Э 5 ' |
можно преобразовать на |
Вторую частную производную |
|
b v ) T |
|
основе дифференциального уравнения энергии Гельмгольца: |
dA ——PdV —SdT, учитывая, что |
(5) |
перекрестные производные равны: |
|
'а п |
(др' |
(6) |
) j |
|
JV |
|
Подставив (6) и (4) в (3), получим: |
|
dT |
dV = 0 . |
(7) |
+ |
На основе уравнения Ван дер Ваальса:
Р = _ К I _ _ J L
(8)
V - b V2 '
находим производную:
(9)
KdT)v ~ V - b '
Подставляем (9) в (7) и получаем следующее уравнение:
CvdlnT + Rdln(V-b) = 0 .
( 10)
Берём неопределенный интеграл
Су J d l n Т+RJdln(V" - b) = const
( 11)
или
ТСу (V - b ) R = const.
( 12)
Потенцируя, получим уравнения в такой форме:
TCv(V -b)R = const,
и окончательно получаем, извлекая корень степени Су , решение задачи:
T(V -b)RICv = const
оз)
17.3апишем выражение дифференциала энергии Гиббса:
dG = VdP - SdT
При dG — 0 , получим 0 = VdP-SdT , откуда получаем:
' Й Л = s
arJG v
18. На кривых, построенных в координатах Т — S , можно выбрать точку, через которую одновременно проводим кривые в форме изохоры и изобары. К этой точке проведем касательные, которые определяют производные:
|
O T i = Г— 1 |
и |
|
ГЭ7Л |
|
W |
2 = U s J |
|
\ b S Jy |
|
|
Производные будут равны: |
|
т_ |
|
Э7Л |
ЭГ |
1 |
|
dS Jv |
у С у д Т )s |
Су |
|
СдТЛ |
ЭГ |
\ |
т_ |
|
\ d S |
Jp |
ч с р . э г |
JS |
с, |
|
|
|
Р |
19. Ранее было показано, что разность теплоёмкостей равна произведению частных производных, умноженному на Т:
CP - C v = T ' ЭР' (Э\Л
\U1ЭГJy V d r j p
С другой стороны, выше были установлены следующие равенства производных:
С р = Г m |
И |
Су =T rds |
(drjp |
|
V |
[дт |
Подставляя в предыдущее уравнение, получим:
Дифференциалы энтропии равны:
Подставив эти выражения в предыдущее, получим:
( Э / Л = |
Ср(дТ~) (дР') JL |
d v ) s |
* Vdvур д Т ] у Cv |
ИЛИ
Затем для функции P — P ( V , T ) находим выражение полного дифференциала:
|
д Р |
( д Р Л |
|
|
|
|
|
dP = |
dv |
dV + I |
д Т JV dT = О |
|
и получаем следующее уравнение: |
|
|
|
|
^ |
( д Р \ |
( д Т \ |
= |
0. |
|
{ — |
+ |
j v |
|
|
|
|
|
\ d T |
\ od vV j P |
|
|
Подставляем (3) в (1) и получаем решение задачи: |
|
|
г д |
|
_ |
' - р |
ЭР \ |
|
|
l |
a |
v |
J |
s |
d V JT |
21. Для доказательства соотношения производных |
|
|
|
|
|
|
rds\ |
|
|
|
|
|
|
— |
|
J j |
|
|
|
|
|
|
|
d S \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
d T S V |
находим |
для |
функции |
S |
= S ( V , Т ) |
выражение |
производной и при S = |
C onst |
получаем уравнение: |
|
|
dS =1 |
d S Л |
dV +( d S \ |
dT= 0 . |
|
|
|
d V |
|
|
\дТ )у |
Поделив на dV , получаем:
Э Л |
Г Э Л |
дт' |
dV ST |
дТ sv |
= 0 . |
дУ ss |
|
f В Т ' |
|
Выделяем производную
U ^ J S
( д Т ' |
Г— 1 |
_ _ \ д У |
BV ss |
уа л |
|
U Т )у |
и получаем решение задачи.
