5.2.4.Энтропия. Дифференциальные уравнения
5.2.4.1.Решение уравнений
1.Объединяем уравнение первого закона термодинамики
dQ = dU + dW
и второго закона термодинамики
dQ = TdS
получаем, допуская, что dW = PdV , следующее выражение:
TdS = dU + PdV
Откуда получаем решение задачи:
dU + PdV db = --------------.
Т
2. Общее уравнение энтальпии
H = U + PV
дифференцируем:
dH = dU + PdV +VdP
Подставляем в это уравнение объединённое выражение :
dU = TdS - PdV
Получаем следующее промежуточное уравнение:
dH = TdS + VdP
Из этого уравнения получаем решение задачи:
|
JCI |
dH -VdP |
|
db |
= -------------. |
3. Для уравнения |
|
JO |
dU + PdV |
0) |
db |
= ------------- |
выражаем внутреннюю энергию в форме функции U =U(V,T)-
|
Полный дифференциал получаем в виде суммы частных производных: |
|
|
dU = (ъ и \ dV + \ dU \ |
dT |
(2) |
|
d v S T |
дТ s v |
|
|
|
Подставляем (2) в (1): |
|
|
|
dT + |
1 |
dV |
(3) |
|
т |
|
ВТ SV |
|
|
5. В предыдущей задаче было получено уравнение:
d S = ^ - d T |
f d V |
\ |
|
|
|
|
|
|
- |
dP |
|
|
|
|
0) |
Т |
Э Г |
) р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выразим Т через Р и У |
|
|
|
|
|
|
|
Г = Г ( Р ,У ) |
|
|
|
|
|
|
(8) |
Полный дифференциал для функции (2) равен: |
|
|
^ Э Г ^ |
_ f d T ^ |
|
|
|
|
|
dT = |
dP +. |
|
dV |
|
|
|
|
(9) |
V Э Р ) у |
УЭV |
J T |
|
|
|
|
|
Подставив (9) в (7), получим: |
|
дТ л |
|
|
|
С в ( д Т Л |
|
С |
|
Э У ^ \ |
_ '-'Р |
dP)v< /Р + |
^ т- |
|
|
|
V эг |
|
dS = |
ЭУ |
УТ |
d V - |
dP |
V |
|
|
|
|
|
J p |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ю) |
Разность теплоемкостей равна: |
|
|
|
|
|
С Р - С у = Г |
( д Р Л |
Г Э У ^ |
|
|
|
|
( И ) |
V 3 P У у V дТ у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем (11) к виду: |
|
|
|
|
|
|
г д Т ^ |
а |
|
Э У ^ |
|
|
|
( 12) |
|
\ b |
P j y |
V э |
г УР |
|
|
|
Подставив (12) в (10), получим: |
|
|
|
|
|
т U\ ° гPУ у |
|
|
|
dV |
|
|
(13) |
|
\ d V J T |
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось.
6. Используя обобщённое уравнение термодинамики:
JC |
dU |
PdV |
dS |
= ---- |
+ ------- |
и уравнение для внутренней энергии:
dU = CydT
при У = c o n s t , получим решение задачи:
Подставив это уравнение в предыдущее, получим:
эs \ _ СР
|
|
|
$ Т ) |
|
|
т.е. решение задачи. |
|
|
|
9. Для составления уравнения: |
|
|
' d S 'I _ С р |
( 1) |
|
U |
v J r |
Т U v J |
|
|
|
используем уравнение для dS в форме зависимости от Н и Р: |
|
|
JO |
dH |
VdP |
2 |
|
u u |
— |
|
( ) |
ИЛИ
(3)
тт
Для этого уравнения представляем температуру в виде функции
отР HV |
|
|
|
Т = T(P,V) |
|
(4) |
Полный дифференциал от Тбудет иметь вид: |
|
(ЪТ\ |
(Ътл |
(5) |
dT = |
dP + |
dV |
V ЭР; v |
|
\ dV JP |
|
Подставив (5) в (3), получим:
& |
'SE .far'l |
f ? l l |
dV |
|
T UvJ p |
larJvJ |
|
|
|
(6) |
= Const, поделив на d V , получим:
(ЪS \ |
Сп ( д Т > |
ч Э Г ) |
т l a v |
что и требовалось получить.
|
d |
А |
N |
dS |
|
- 2 |
- |
dvл |
|
V d T d V J v j |
|
|
|
|
(И) |
|
Приравнивая эти производные, получаем искомое равенство: |
|
ds\ |
fdP' |
( 12) |
|
д У J |
д Т J v |
|
|
в) Для получения уравнения (12) можно использовать следующее преобразованное уравнение:
dU = TdS - PdV |
(13) |
Поделив (13) на dV , получим следующее уравнение: |
|
ГЪи \ |
„ |
( 3 5 |
) |
(14) |
= |
Т |
— |
- Р |
dV ) т |
|
|
)т |
|
Поделив (13) на dT при V — COIlSt, получим: |
|
= |
Т |
— |
|
(15) |
d T Jv |
|
\ д Т J v |
|
Берём смешанные вторые производные:
г д 2и л |
Э 2 5 л |
dVdP |
= Т |
d T d V |
J r y |
J v j |
( d 2U Л |
d 2S |
Л |
= Т |
|
|
dV dP |
dT dV |
JV J |
JT ,V |
|
Откуда получим уравнение (12): |
3 5 ) |
f d P |
|
dvJ T |
d T |
|
11. Равенство производных |
|
|
' a s ) |
( э |
г ) |
д S ) |
Г Э Р Л |
\ d V J T |
d T Jv |
( 16)
(17)
( 18)
О)
< d P J j ^ d T j p
можно получить на основе главного уравнения термодинамики: 238
Это есть 4-й метод получения уравнения Максвелла. 14. Уравнение вида:
дтЛ т-р
• Г .
dvJ S
1f d / Л
г,еГ=я Ы У
можно получить на основе следующих преобразований уравнений. Выбираем функцию Т = 7Т(У ,5 ) и получаем для нее полную
производную в таком виде:
|
„ |
„ . |
( д Т ^ |
|
dT = |
, dv + dS |
dS |
При Т = c o n st получим: |
; v |
|
|
|
|
д Т \ |
( д Т ' |
s |
0 |
|
dV + |
f ) d |
dvJ s |
dSJy |
|
Поделив на d V при T — Const, получим: |
( 3 7 ^ |
|
( Э 7 ^ ( М Л |
= 0. |
IdvJs |
lasJrUv / V |
Из этого уравнения находим произведение частных производных:
' д Т Л |
Г Э У 4) |
( д S \ |
|
d V JS |
\ |
dSh |
дт) = - l . |
r dS^ |
преобразуется к виду: |
Производная |
|
{ д Т ) у |
|
|
|
|'Э |
5 '| |
_ CvdT |
C v |
|
|
|
TdT |
T ' |
Подставив её в предыдущее выражение, получим:
(
' д т '
, a v j S \Kd S ) т Т
В условии задачи приведено уравнение:
