книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента-1

понированной матрицы, сохранив их последовательность. Так, в рассматриваемом случае транспонированная матрица имеет следующий вид:

Для получения системы нормальных уравнений необходимо умножить обе части исходной системы уравнений

101

Полученная матричная запись в точности соответствует исходной системе нормальных уравнений.

Матрица X T X называется матрицей системы нор-

мальных уравнений. Она обладает рядом важных свойств. В этой матрице два элемента, расположенных симметрично относительно диагонали (так называемой главной диагонали), идущей с левого верхнего угла в правый нижний, равны между собой. В нашем случае это нули. Такое свойство характерно для систем нормальных уравнений МНК.

Матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали и равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой являются единицами, называется единичной матрицей.

Решить систему нормальных уравнений – значит записать в явном виде элементы вектора В (b0 и b1). Если бы мы имели дело с числами, то для этого нужно было бы поделить обе части на коэффициент при неизвестном и получить ответ. Но для матриц вместо деления (которое не определено) используется специальная операция умножения на обратную матрицу. Задача состоит в том, чтобы превратить матрицу, стоящую перед матрицей неизвестных коэффициентов, в единичную. Тогда умножение вектора В на единичную матрицу его не изменит, а чтобы равенство не нарушалось, и правую часть придется домножить на соответствующую матрицу. Если условимся обозначить обратную матрицу степенью –1, то предыдущие рассуждения приведут к следующей записи:

(X T X ) 1 (X T X )B (X Т X )X TY.

Здесь система нормальных уравнений МНК умножена слева на матрицу, обратную матрице системы нормальных уравнений.

Произведение обратной матрицы на прямую справа равно единичной матрице, которую условно обозначим Е:

102

E(X T X ) 1(X T X ).

Вэтом равенстве участвуют три матрицы. Матрицу

Неизвестные элементы обратной матрицы обозначены aij, где i = 1, 2 соответствует строке, а j = 1, 2 – столбцу. Определим эти элементы:

1 = a11 5 + a12 0; 0 = a21 5 + a22 0; 0 = a11 0 + a12 10; 1 = a21 0 + a22 10.

Отсюда следует, что

a11 = 1 5, a12 = 0, a21 = 0, a22 = 1 10.

Запишем обратную матрицу:

Отметим некоторые существенные свойства обратной матрицы. Произведение прямой и обратной матрицы коммутативно. Если прямую матрицу обозначить А, то

АА–1 = А–1А = Е.

Матрица, обратная симметричной, тоже будет симметрична. На главной диагонали матрицы, обратной диагональной, будут стоять числа, обратные соответствующим числам, стоящим на диагонали прямой матрицы. Зная это свойство, можно не проделывать предыдущие вычисления, а сразу записать обратную матрицу для нашего примера.

103

Таким образом, подставив известные матрицы в уравнение для вектора коэффициентов

получен тот же результат, что и ранее без использования матриц.

3.3. Матричный метод и регрессионный анализ

Изложенный матричный метод рассмотрим на следующем примере. Требуется найти зависимость y от х1 и х2. Искомое уравнение регрессии имеет вид

y b0 b1 x1 b2 x2 .

Был реализован полный факторный эксперимент типа 22, матрица планирования которого приведена в табл. 21.

104

Запишем Х-матрицу условий эксперимента и Y-матрицу наблюдений:

Каждая строка Х-матрицы – условия опыта. Приведенная матрица Х ортогональна, так как сумма построчных произведений элементов любых двух столбцов равна нулю. Построим матрицу, транспонированную к Х-матрице,

Умножим слева Х-матрицу на матрицу X T :

Элементы матрицы-произведения обозначим через hlv. Элемент h11 равен сумме произведений элементов первой строки

транспонированной матрицы X T и соответствующих элементов первого столбца матрицы Х, т.е.

h11 = (+1) (+1) + (+1) (+1) + (+1) (+1) + (+1) (+1) = 4.

Элемент h12 матрицы X T X равен сумме произведений

элементов первой строки матрицы X T и элементов второго столбца матрицы Х. Аналогично находим, что

h12 = 0; h13 = 0; h21 = 0; h22 = 4;

105

h23 = 0; h31 = 0; h32 = 0; h33 = 4.

Таким образом, матрица произведений X T X имеет вид

Искомые коэффициенты b0, b1, b2 можно записать в виде матрицы

b0 B b1 .

b2

Система нормальных уравнений (X T X ) 1 B X T Y в данном случае будет иметь следующий вид:

106

После преобразования получим

107

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, следовательно,

S 2 b2 C22 S y2 14 S y2.

108

Здесь Cii (ii1) , где (ii) – элементы исходной матрицы

(X T X ) , а Cii – элементы обратной матрицы. Фундаментальную роль в анализе уравнения регрессии

играет матрица

M 1 (X T X Sy2 ) 1 ,

которая называется матрицей ковариаций. Прямая матрица М называется информационной матрицей Фишера. В структуре матрицы дисперсий-ковариаций содержится вся информация о статистических свойствах модели. Провести статистический анализ – значит извлечь эту информацию. Для этого рассмотрим

матрицу М–1. Оценка дисперсии воспроизводимости S y2

скаляр. Умножить матрицу на скаляр слева или справа значит умножить на этот скаляр каждый элемент матрицы.

Полученные таким образом произведения имеют определенный статистический смысл. Так, на главной диагонали матрицы-произведения стоят оценки дисперсий коэффициентов регрессии, вне главной диагонали расположены оценки ковариаций, характеризующие статистическую зависимость между коэффициентами регрессии.

Таким образом, регрессионный анализ линейного уравнения можно представить в виде последовательности выполнения следующих операций.

1.Составляют Х-матрицу условий опытов и Y-матрицу наблюдений.

2.Строят матрицу X T , транспонированную к Х-матрице.

3.Вычисляют матрицу произведения X T X .

4.Находят матрицу (X T X ) 1 .

5.Вычисляют матрицу произведения X T Y .

109

6. По выражениям B (X T X ) 1 X T Y определяют коэффициенты уравнения регрессии.

7.Находят cov bibj и оценки S 2 bi дисперсий 2 bi .

8.Вычисляют дисперсию Sад2 , и проверяют гипотезу адек-

ватности уравнения регрессии.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий методику регрессионного анализа в случае, когда уравнение регрессии представлено полиномом второго порядка. Исследуемая величина y зависит от двух факторов, а оценка уравнения регрессии имеет вид

Введем следующие обозначения:

x0 = 1; x3 = x1x2; x4 = x12 ; x5 x22 .

С учетом принятых обозначений уравнение (18) примет вид

Для вычисления коэффициентов b0, b1, ..., b5 составим Х-матрицу условий эксперимента и Y-матрицу наблюдений:

110