книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента-1

производилось с помощью пакета Mathcad в матричной форме и по формулам

j 1

Уравнение регрессии принимает следующий вид:

Y 85,14 3,44x1 1,32x2 2,6x12 1,21x22 3,0x1x2.

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии находят по следующим формулам:

Дисперсию параметра оптимизации определяют по результатам опытов в центре плана:

n0

yu ys 2

121

где yu – значение параметра оптимизации в u-м опыте; ys – среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n0 опытах; u – номер параллельного опыта в центре плана.

Вычисление коэффициентов регрессии в матричной форме показано на рис. 20. Оценки дисперсии коэффициентов

регрессии можно рассчитать по диагональным элементам Cii обратной матрицы X T X 1 :

Зная дисперсии коэффициентов регрессии, можно рассчитать величины t-критериев для групп коэффициентов:

Так как tt = 2,132 при 5%-м уровне значимости и степени свободы f0 = 4, то все коэффициенты являются значимыми.

122

где SR – сумма квадратов отклонений расчетных значений yir от экспериментальных yj, а SE – сумма квадратов отклонений экспериментальных значений в центре плана от их среднего значения.

Число степеней свободы с учетом опытов, проведенных в центре плана, определяют по формуле

f N k (n0 1) 13 6 4 3 ,

где k – число значимых коэффициентов уравнения регрессии. Сумму квадратов отклонений расчетных значений

параметра оптимизации от экспериментальных можно определить и матричным методом по формуле

SR Y TY BT X TY .

При 5%-м уровне значимости для приведенных выше условий табличное значение критерия Фишера Ft = 6,6. Следовательно, уравнение регрессии адекватно описывает экспериментальные данные.

4.4. Принятие решений по планам второго порядка

При оценке математической модели, описывающей область оптимума, в первую очередь определяют, адекватна или

124

неадекватна полученная нелинейная модель исследуемого объекта. Значимость коэффициентов уравнения регрессии второго порядка в исследовании играет меньшую роль, чем при получении линейной модели.

Нелинейная модель объекта исследования неадекватна.

Как и при анализе неадекватной линейной модели, можно осуществить планирование более высокого порядка, например, к модели, представляемой полиномом третьего порядка. Однако приведенные в литературе случаи применения планирования третьего порядка свидетельствуют о значительных экспериментальных трудностях, затрудняется анализ и интерпретация полученной модели. Поэтому вряд ли можно считать такое решение эффективным.

Более приемлемым способом устранения неадекватности нелинейной модели является введение в план новых факторов из числа отброшенных на предварительном этапе исследований. При этом необходимо повторять эксперименты с большим числом опытов. В ряде случаев, при использовании полуреплики, удается достроить матрицу планирования и провести только дополнительную серию экспериментов.

Труднее учесть нестационарность объекта исследования или дрейф параметров объекта во времени. Как правило, это наблюдается при большом числе опытов, а значит, и времени их проведения. В связи с этим необходимо стремиться проводить опыты в кратчайшие сроки. Методам изучения временного дрейфа посвящены специальные работы.

Нелинейная модель объекта исследования адекватна.

Если в результате обработки экспериментальных данных получена адекватная математическая модель второго порядка, то поставленная на данном этапе исследований задача выполнена. Дальнейшие исследования зависят от поставленных задач.

Если целью было получение интерполяционной модели, описывающей область оптимума, то на этом этапе исследование объекта заканчивается.

125

В экстремальном эксперименте ставится задача поиска координат оптимума по полученной модели. Для этого используют различные методы оптимизации. Чаще всего применяют следующие методы: Гаусса–Зейделя, оптимальный, случайного поиска, симплексов, наискорейшего спуска и т.д.

Иногда ставится задача детального изучения области оптимума по ее математической модели. В этом случае используются специальные преобразования системы координат факторного пространства, и строятся стандартизированные поверхности отклика. Графическое изображение поверхностей отклика позволяет исследователю лучше ориентироваться при поиске оптимума.

Таким образом, при получении адекватной модели второго порядка исследователь может принять решение поиска координаты оптимума, детального изучения области оптимума, а затем использовать полученные данные при исследовании и управлении аналогичных объектов даже другого масштаба. Наиболее часто для поиска оптимума при исследовании математической модели второго порядка используют достаточно простой метод Гаусса–Зейделя. При этом поиск оптимума происходит поочередным варьированием каждого фактора до достижения частного оптимума параметра оптимизации. Вначале достигают оптимума по направлению одной из координатных осей при фиксированных значениях факторов по другим координатным осям. Затем, зафиксировав найденное значение фактора, переходят к варьированию другого фактора, где опять достигается частное значение оптимума и т.д. Трудности геометрической интерпретации уравнения регрессии возрастают с увеличением числа факторов. При числе факторов более 3 дать наглядное представление о геометрии функции отклика невозможно. Но если последовательно рассматривать изменение двух факторов при стабилизации остальных, то можно получить достаточно наглядное представление о геометрии функции отклика в виде контурных линий.

126

По уравнению регрессии в зависимости от знака и величин коэффициентов регрессии (особенно четко это проявляется после канонических преобразований) можно сделать выводы о характере контурных кривых. Так, если коэффициенты b11 и b22 имеют одинаковые знаки, то контурные кривые, как правило, являются эллипсами. Если коэффициенты меньше нуля, то центр эллипса будет максимумом, если больше нуля – минимумом.

Если эти коэффициенты имеют разные знаки, то контурные кривые являются гиперболами. Центр фигуры называется седлом или минимаксом.

На рис. 21 приведены контурные кривые отклика области оптимума для приведенного выше примера. По оси абсцисс – х1, по оси ординат – х2.

Рис. 21. Контурные кривые функции отклика для полученного уравнения регрессии

127

Трудности геометрической интерпретации уравнения регрессии возрастают с увеличением числа факторов. При числе факторов более 3 дать наглядное представление о геометрии функции отклика невозможно.

Но если последовательно рассматривать изменение двух факторов при стабилизации остальных, то можно получить достаточно наглядное представление о геометрии функции отклика в виде контурных линий.

4.5. Техника канонического преобразования

Схематично техника канонического преобразования уравнения регрессии выглядит следующим образом. Начало координат переносят в новую точку факторного пространства V. Для этого уравнение регрессии второго порядка дифференцируют по каждому фактору и приравнивают нулю. Решая систему уравнений, находят координаты нового центра, подставляют их в уравнение регрессии и получают значение нового параметра оптимизации в центре V. В уравнении регрессии исчезают члены первой степени и изменяется свободный член. При каноническом преобразовании уравнение регрессии второго порядка для двух факторов принимает следующий вид:

y yv B11 X12 B22 X22 ,

где yv – значение параметра оптимизации в центре поверхности отклика.

Оси в новом центре поворачивают до совмещения с главными осями поверхности функции отклика. Эту операцию осуществляют по известным правилам аналитической геометрии. Например, для двух факторов характеристический детерминант имеет вид

128

Вышеприведенное решение можно записать в виде уравнения

B2 a1B a2 0 ,

где a1 (b11 b22 ) , a2 (b11b22 0,25b122 ) .

Два корня этого уравнения дают искомые значения коэффициентов уравнения в канонической форме.

Преобразуем приведенное выше уравнение регрессии

Y85,14 3,44x1 1,32x2 2,6x12 1,21x22 3,0x1x2

вканонический вид. Для этого продифференцируем его по обеим переменным:

Y 3,44 2 2,6x1 3,0x2 0;

x1

Y 1,32 2 1,21x2 3,0x1 0 ;

x2

x1v 0, 202; x2v 0,796 .

Подставляя значения х1v и х2v в уравнение регрессии, получим значение переменной yv = 83,318 в центре V.

Для поворота осей в новом центре необходимо вычислить канонические коэффициенты В11 и В22. Для этого приравнивают характеристический детерминант нулю:

или используют приведенные формулы

a1 2,60 1,21 1,39; a2 2,60 1,21 0,25 32 5,396.

129

В22 = 1,73. Уравнение регрессии в канонической форме принимает вид

y83,318 3,12X12 1,73X22 .

4.6.Некоторые некомпозиционные планы второго порядка

Во многих случаях целью исследования является получение математического описания изучаемого процесса. Часто из-за сложности процесса или малого объема информации неизвестную зависимость исследуемой величины от k независимых факторов представляют полиномом вида

В этом случае необходимо определить коэффициенты уравнения и оценить их значимость. По результатам опытов можно определить только выборочные коэффициенты регрессии b0, bi, bil, bii, ..., которые являются лишь оценками теоретических коэффициентов 0, i, il, ii полинома. Уравнение регрессии, полученное по результатам опытов, имеет вид

где у – выборочная оценка функции отклика .

В ситуациях, когда априорная информация о порядке полинома отсутствует, математическую модель исследуемого процесса подбирают, начиная с простейшего линейного уравнения, последовательно увеличивая степень полинома до получения адекватной модели. Процесс получения математической модели в указанных ситуациях осуществляется

130