книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента-1

числу наиболее распространенных и важных. Оно часто используется для приближенного описания многих случайных явлений, например для случайного отступления фактического размера изделия от номинального, рассеяния снарядов при артиллерийской стрельбе и во многих других ситуациях, в которых на интересующий нас результат воздействует большое количество независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся.

Вероятностная кривая, соответствующая такому распределению (также называется кривой Гаусса), имеет вид симметричного колокола и описывается только двумя параметрами: характеристикой центра (математическим ожиданием исследуемой случайной величины) и дисперсией 2.

Вероятности событий, связанные с появлением того или иного значения х, определяются соответствующей площадью под кривой Гаусса. Бесконечное число наборов параметров ( , 2), а следовательно, и вероятностных кривых можно объединить в одну кривую, если вместо величины х исследовать распределение некоторой безразмерной функции этой величины: u = (x – )/ .

Величина u представляет собой отклонение величины х от ее математического ожидания, выраженное в долях стандартного отклонения . Преобразованное таким образом распределение называется нормальным нормированным распределением. Любому нормальному распределению с параметрами и соответствует нормальное нормированное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Вероятностная кривая (рис. 6) нормированного распределения имеет вид

x + . График функции (x) симметричен относительно точки

31

0 оси абсцисс. При этом в этой точке функция (x) достигает своего максимума:

Рис. 6. Вероятностная кривая нормированного нормального распределения

Нормирование позволяет создать единые таблицы для определения вероятностей попадания случайной величины в исследуемый интервал между и u1. Это определяется интегралом

что записывается в виде P(– < u < u1). Определение вероятностей попадания случайной величины в заданный интервал можно оценить по рис. 7, на котором площади, описывающие соответствующие вероятности, заштрихованы. В то же время, поскольку вся площадь под нормированной кривой равна единице или (что одно и то же) 100 %, имеем

P(u2 u ) = 1 Ф(u2).

32

Очевидно, что

P(u1 < u < u2) = Ф(u2) Ф(u1).

1.1.8. Нормированная функция Лапласа

Для обработки экспериментальных данных интересен случай, когда величина х попадает в интервал между своим математическим ожиданием и некоторым значением х, а величина и – в интервал между 0 и u1. Вероятность такого попадания

Функция (u) носит название нормированной функции Лапласа. Вероятность появления результатов, случайные отклонения которых находятся в симметричных границах х u, вычисляется на основании предыдущего случая (см. рис. 7):

P(–u1 < u < +u2) = 2 (x).

Рис. 7. Определение вероятностей попадания случайной величины в заданный интервал

33

Наконец, вероятность того, что случайная величина выходит за указанные в предыдущем случае симметричные границы, составит

P(u < u1; u > u1) = 1 2 (u1).

С помощью таблиц можно вычислить вероятность результатов измерений, отклоняющихся от своего истинного значения не более чем на , и . Этим значениям соответствуют значения u, равные , и 3.

Для u = 1, 2 и 3 по функции Лапласа находим со-

P( 1 < u < 1) = 2 (1) = 2 0,34 = 0,68 или 68 %; P( 2 < u < 2) = 2 (2) = 2 0,477 = 0,954 или 95,4 %; P( 3 < u < 3) = 2 (3) = 2 0,4986 = 0,9972 или 99,72 %.

Таким образом, лишь в 68 % случаев результаты не выходят за пределы одной стандартной погрешности и лишь в 0,28 % случаев выходят за пределы 3 . Частота таких событий настолько мала, что результат с отклонением более 3 принято считать грубым промахом. Это правило выявления промахов называют критерием трех сигм.

Выводы относительно степени достоверности экспериментальных результатов корректны только в том случае, если они согласованы с вероятностью получения этих результатов. Результат тем достовернее, чем больше вероятность его получения. Для практических целей, т.е. для решения вопроса о необходимой степени достоверности, нужно лишь условиться о минимальном значении этой вероятности.

Практически для большинства естественно-научных экспериментов вероятность заслуживает доверия, если в 95 % случаев наблюдаются допустимые случайные отклонения результатов от среднего. Поэтому вероятности, значения которых

34

лежат вблизи 0,95, носят название доверительных. Выражение результата измерения некоторой величины А в виде А (гдепогрешность эксперимента) без указания вероятности получения результата не дает никакой информации о его достоверности.

1.1.9. Некоторые выборочные распределения, применяемые при статистических исследованиях

Многие случайные процессы близки по характеру теоретическому нормальному распределению, большинство же реальных выборок следует этому распределению лишь при очень большом объеме выборки. Однако статистические исследования с помощью больших выборок и в практических, и исследовательских задачах используются сравнительно редко, особенно если эксперименты трудоемки и дороги.

Каждая из выборочных статистик, в отличие от нормального распределения, зависит от числа степеней свободы. Этим термином обозначается число независимых способов описания исследуемой выборки. Так, если значение математического ожидания заранее известно (например, если производят анализ стандартного образца с целью проверки правильности методики анализа), то число степеней свободы для n параллельных опытов будет равно n, т.е. общему объему выборки. Если же значение оценивается на опыте как среднее арифметическое хс этих же n измерений, то число степеней свободы будет равно n – 1, так как из общего числа случайных величин вычитается дополнительная связь между всеми элементами выборки, затраченная при определении значения хс.

Дисперсия среднего σ2 (xc ) зависит от объема n выборки:

σ2 (xc ) σ2 (х) / n,

откуда средняя квадратическая погрешность среднего

σ(xc ) σ(х) / n .

35

Из приведенного выражения следует, что в отсутствие систематических погрешностей средняя квадратическая погрешность измерений может быть сделана сколь угодно малой, если увеличивать число параллельных опытов. Однако, как следует из приведенного выражения, для улучшения воспроизводимости на один порядок требуется произвести 100 измерений, что значительно увеличивает продолжительность и стоимость измерений. В то же время условие отсутствия систематических погрешностей фактически означает, что эти погрешности существенно меньше случайных. По мере уменьшения средней квадратической погрешности с увеличением n случайная погрешность уменьшается и систематическая погрешность может стать больше случайной (xc ) . Поэтому

никакое дальнейшее увеличение числа параллельных измерений (опытов) не может уменьшить общую погрешность. Основным путем повышения точности измерения является применение или создание метода измерения с меньшим значением (xc ) , а не

увеличением n.

Распределение Стьюдента. Уменьшение объема выборки n при измерениях (n < 20/30) приводит к тому, что при одних и тех же значениях средних квадратических погрешностей и при одном и том же числе параллельных измерений (опытов) одному и тому же значению вероятности соответствуют значительно большие случайные отклонения от среднего, чем это следует из закона нормального распределения. Кроме того, если для нормального распределения значения таких отклонений не зависят от числа степеней свободы и определяются только доверительной вероятностью, то для выборочных распределений это число существенно влияет на случайное рассеяние результатов.

Если в выражение u x / вместо значения стандартной погрешности генеральной совокупности подставить

36

значение выборочного стандартного отклонения S, получим величину

t x / S .

Распределение величины t следует особому закону, исследованному Стьюдентом (t-распределению). Вероятностная кривая этого распределения сходна по форме с кривой Гаусса, но более размыта вдоль оси абсцисс.

Распределение Пирсона 2 (хи-квадрат). Пусть случай-

ные величины 1, 2, … n – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение. Говорят, что случайная величина определенная как

2n 12 n2

имеет распределение хи-квадрат с п степенями свободы. Для обозначения этого распределения также обычно используется

выражение 2n .

Важным свойством для распределения хи-квадрат является то, что математическое ожидание и дисперсия случайной

величины 2n соответственно равны

M 2n n, D 2n 2n.

Это распределение применяется для оценки погрешности определения дисперсии, для проверки принадлежности выборки к генеральной совокупности нормального распределения, а также в качестве критерия однородности нескольких дисперсий.

Распределение отношений дисперсий. При сравнении методик измерения или данных по воспроизводимости двух экспериментов часто возникает необходимость оценки равенства

генеральных дисперсий 12 и 22 на основании сведений о выборочных дисперсиях S12 и S22 . Сравнение дисперсий производится на основании статистического критерия Фишера:

37

F S12 / S22 ,

где S12 S22 .

Величина F имеет несимметричное случайное распределение, которое, как χ2-распределение, зависит исклю-

Доверительная вероятность и доверительные границы.

Каждому значению доверительной вероятности соответствуют свои доверительные границы возможных отклонений результатов от среднего. Как уже было показано, для вероятности 0,95 (точнее 0,954) такие отклонения не превышают 2 . Для доверительной вероятности, в точности равной 0,95, эти отклонения не должны превышать 1,96 .

Часто вместо доверительной вероятности Р используют величину

q 1 P,

которую называют уровнем значимости.

Доверительные границы математического ожидания результата для нормального нормированного распределения можно определить следующим образом.

Согласно ранее рассмотренной замене (u = (x – ) ) можно записать

x – = up (x),

отсюда получим ξ xc up σ(x) / n .

Так как известно, что дисперсия среднего 2(хср) зависит от объема выборки следующим образом:

σ2 (xc ) σ2 (x) / n ,

то среднеквадратическая погрешность среднего σ(xc ) σ(x) / n .

38

Для Р = 0,95 ξ xc 1,96σ(x) / n .

Пример 1. Каковы доверительные границы математического ожидания результата анализа, если среднее значение содержания некоторого элемента 1,17 %, среднеквадратическая погрешность анализа = 0,05, а число параллельных измерений равно 25?

Из приведенных выше формул имеем

ξ 1,17 1,96 0,05 / 25 (1,17 0,02) % .

Таким образом, можно гарантировать, что в 95 случаях из 100 результаты будут лежать в границах 1,15 1,19. В остальных случаях возможны результаты, выходящие за эти пределы.

Доверительные границы для малой выборки (t-критерий) можно определить из выражения

ξ xc t S / n .

Пример 2. Каковы доверительные границы для математического ожидания результата предыдущего примера при той же доверительной вероятности, если число измерений равно

4, а не 25?

Подставляя данные примера в приведенное выше выражение, получим

ξ 1,17 3,18 0,05 / 4 (1,17 0,08) %.

Значение t = 3,18 взято из таблиц t-распределения для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы f = 4 – 1 = 3. Таким образом, с вероятностью 0,95 значение математического ожидания результата анализа должно находиться в границах

1,09 1,25 %.

39

1.1.10.Статистические функции

впакете Mathcad

Внастоящее время для прикладных математических расчетов можно использовать различные программы, имеющие вычислительные модули. Для статистических расчетов начального уровня может быть использована программа Microsoft Excel. Однако данный продукт имеет ограниченный функционал при настройке результатов отображения вычислений и не позволяет визуализировать вычисляемые формулы. Для проведения расчетов в научных и инженерных кругах значительную популярность приобрел Mathcad. В пакете Mathcad представлены многие функции, позволяющие выполнять широкий спектр вычислительных операций. Перечень и описание встроенных функций пакета Mathcad подробно рассматривается в ряде учебников и справочных руководств [1, 2, 3]. В настоящем параграфе рассмотрим некоторые вычисления на конкретном примере.

Втабл. 4 приведены результаты измерения микротвердости металла сварного шва после электронно-лучевой сварки (ЭЛС) стали 38Х2М без осцилляции и с осцилляцией электронного пучка по Х-образной траектории. После ЭЛС был проведен высокий отпуск. Эти данные можно ввести в документ Mathcad

ввиде вектора в тот же файл, где будут производиться расчеты, или в отдельный файл.

Та б л и ц а 4

1Электронно4366 4497 4366 4497 3687 3788 3687 4366 3687 4120

лучевая свар4366 4240 4005 5084 4929 4778 4120 4005 4240 4005 ка без осцил3687 4497 4005 4497 4635 4366 4240 4120 4929 4497 ляции элект5084 4497 3687 4929 4366 4778 4120 3687 3687 4120 ронного пучка 4120 4240 4005 4366 4497 4366 4120 4778 4005 3788 4366 4497 4635 4120 4240 4120 4005 4497 4005 5084 4778 4929 4929 3687 4778 4778 4635 4497 5084 4120 4497 4497 4497 4240 4005 4366 4366 4005 4778 4497 4779 4366 4497 4366 4929 4005 4120 4635 4635 4366 4005 4779 4120 4005 4635 4005 4240 4497 4366 5084

40