книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента-1

На рис. 15 приведено рабочее поле с использованием для его построения отфильтрованных значений тока и напряжения. Хаотичность исчезла, наблюдается характерная для процесса сварки закономерность: с увеличением сварочного тока напряжение уменьшается.

Зависимость между током и напряжением можно оценить коэффициентом корреляции. Расчеты показали, что при неотфильтрованных значениях тока и напряжения коэффициент корреляции равен –0,724, а при отфильтрованных значениях тока и напряжения –0,962.

Проведенный анализ показал, что наиболее эффективную оценку стабильности горения сварочной дуги можно получить, приняв за параметр оптимизации статистические характеристики сварочного тока.

При отработке методики оценки стабильности горения сварочной дуги с помощью информационно-измерительной системы были исследованы осциллограммы и статистические характеристики сварочного тока при сварке электродами МР-3 и ЭЛУР-9. Сварка производилась с использованием сварочных источников ВДУ-506У и ВСС-300. Статистические расчеты (среднее значение сварочного тока Iср; среднеквадратичное отклонение i; отношение среднеквадратичного отклонения к среднему значению сварочного тока Kv) приведены в табл. 6.

Приведенные в табл. 6 данные показывают, что при сварке электродами МР-3 наименьшие среднеквадратичное отклонениеi и коэффициент вариации Kv обеспечиваются при использовании сварочного источника ВСС-300. Если по этим параметрам оценивать стабильность горения сварочной дуги, то из двух исследованных электродов наилучшие характеристики имеют электроды ЭЛУР-9.

51

1.2. Источники и причины погрешностей математической модели

С термином «компьютерное моделирование» непосредственно связано введенное академиком А.А. Самарским понятие о вычислительном эксперименте, то есть технологии исследования сложных проблем, основанной на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта.

Под объектом исследования (рис. 16) традиционно понимают как материальные тела (жидкие, абсолютно твердые, деформируемые, газообразные), так и технологические процессы и физические явления. Из всего многообразия свойств, присущих объекту исследования, выделяются и рассматриваются только те, что представляют интерес в данной конкретной ситуации. Так, например, при анализе процесса обработки металла давлением, как правило, пренебрегают его магнитными и электрическими свойствами, не учитывают химические реакции и т.д. На начальном этапе определяются законы, описывающие лишь интересующее исследователя поведение объекта. Например, при моделировании движения космического аппарата вне атмосферы Земли достаточно использовать уравнения классической механики и не учитывать его прочностные характеристики; при исследовании химических превращений вещества нет смысла учитывать упругие или пластические характеристики материала.

Следующий этап – математическая модель, представляет собой формализованную запись выбранных законов, описывающих поведение объекта, посредством символов и операций над ними. В общем случае математическая модель включает запись систем уравнений (алгебраических, обыкновенных дифференциальных или в частных интегральных, интегро-дифференциальных), неравенств, начальных и граничных условий.

52

Необходима интерпретация громадных объемов числовой информации в виде графиков, таблиц, изолиний и т.д. Основная цель этого этапа установление степени адекватности численных результатов компьютерного моделирования данным натурных наблюдений и измерений.

Вслучае если имеется существенное отклонение расчетных

иэкспериментальных данных, необходимо вернуться к исходному и промежуточным этапам построения математической модели с целью уточнения законов, описывающих поведение объекта, выбора более приемлемого метода решения математической задачи, проверки правильности вычислительного эксперимента. При получении достаточной степени точности получаемых численных результатов переходят к эксплуатации компьютерной модели.

Следует четко понимать, что целью математического моделирования является не столько описание существующих явлений в поведении объекта, сколько предсказание его поведения в нестандартных ситуациях. Одно из основных направлений использования компьютерного моделирования – поиск оптимальных вариантов внешнего воздействия на объект с целью получения наивысших показателей его функционирования.

1.2.1.Погрешность математической модели

ипогрешность исходных данных

Точность математической модели определяется степенью правильности принятых гипотез и упрощений, описывающих исследуемый объект. Оценка точности в этом случае может производиться только проверкой степени выполнения принятых гипотез при натурном наблюдении. Так, например, для моделирования поведения металла в процессах пластического деформирования, как правило, используют модели вязкой жидкости. Однако такое предположение может быть использовано

54

лишь в процессах, происходящих при достаточно высоких температурах.

Понятно, что погрешности этого рода являются неустранимыми в рамках принятых допущений и предположений. Повышение точности модели возможно при уточнении гипотез и законов, описывающих поведение исследуемого объекта: увеличение степеней свободы механизмов, повышение размерности задачи, отказ от грубых допущений. Это, как правило, приводит к повышению сложности систем уравнений и алгоритмов решения поставленной задачи.

Любая математическая модель использует для проведения расчетов некоторые данные, получаемые с помощью натурных измерений. Погрешности, возникающие при проведении измерений, могут вызываться различными причинами: погрешностью измерительных инструментов и органов чувств человека, ошибками при снятии размеров, влиянием внешних (посторонних) факторов на результат измерения, нестабильностью свойств и размеров тел. Таким образом, практически все исходные данные содержат погрешности, влияющие в большей или меньшей степени на результаты расчетов. Точность определения параметров в промышленных условиях, как правило, составляет 1–10 %. Точные исследования при наличии достаточной инструментальной базы и специальных условий позволяет достичь 0,001–0,0001 % погрешности. Прецизионные измерения обеспечивают погрешность в пределах 10–2–10–10 %. В связи с этим имеет смысл накладывать ограничения и на точность выполнения математических вычислений: погрешность вычислений должна быть меньше погрешности измерения примерно в 10 раз. Более высокая точность вычислений является бессмысленной из-за наличия погрешностей представления исходных данных.

При проведении измерений, а следовательно, и при выполнении последующих вычислений необходимо учитывать

55

три важные составляющие теории погрешностей: абсолютную погрешность, относительную погрешность, точность.

Абсолютная погрешность измерения – алгебраическая разность между измеренным x и истинным значениями измеряемой величины:

= x – .

Абсолютная погрешность может быть положительной и отрицательной. В тех случаях, когда знак погрешности неизвестен, перед ставят знак .

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины, которая измеряется в долях измеряемой величины либо в процентах:

= / или = 100 / .

Относительная погрешность играет более существенную роль в метрологии, чем абсолютная.

Точность измерений характеризует близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины. Количественно точность измерений определяется величиной, обратной относительной погрешности, т.е. равна 1/ .

1.2.2.Систематические и случайные погрешности

Вметрологии погрешности измерений разделяют на систематические, случайные и грубые. К систематическим погрешностям измерения относятся составляющие погрешности, которые входят с постоянной величиной и знаком в данную серию измерений (опытов) или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности можно разделить на следующие разновидности:

1. Инструментальные погрешности обусловливаются средствами измерения (приборами) и зависят от свойств изме-

56

рительной аппаратуры (недостатки конструкции, технологии, неточности градуировки шкал приборов и т.д.).

2.Установочные погрешности обусловливаются специфическим расположением средств измерения (например, отклонение гальванометров от вертикального расположения и т.д.).

3.Методические погрешности возникают в результате упрощения расчетной формулы для измеряемой величины, а также вследствие ограниченной точности физических констант,

входящих в расчеты (например, и e).

4.Погрешности вычислений обусловлены приближенными вычислениями: округлением результатов вычислений, применением линеаризации, аппроксимации, интерполяции.

5.Внешние погрешности возникают в результате влияния на результаты измерений свойств внешней среды и внешних условий: вибрации, электромагнитных помех, влажности и давления воздуха, температуры окружающей среды и др.

6.Личные, или субъективные, погрешности вносятся в процесс измерений человеком-оператором (наблюдателем).

Случайные погрешности возникают чисто случайно при повторном проведении измерения, при этом их невозможно учесть и исключить. При многократном повторении измерений наиболее отклоняющиеся случайные измерения можно исключить с помощью статистических методов.

Грубой погрешностью измерения (промахом), приводящей

кявным искажениям результатов измерения, считается погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях. Промахи из результатов измерения исключаются и не принимаются во внимание.

57

2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО

ПРОЦЕССА

2.1. Регрессионный анализ при обработке результатов пассивного эксперимента

Чаще всего эксперимент ставят для решения двух основных задач.

Первую задачу называют экстремальной. Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции. Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.

Вторую задачу называют интерполяционной. Она состоит в построении интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов.

Для решения экстремальной или интерполяционной задачи необходимо иметь математическую модель исследуемого объекта. В большинстве случаев такие модели можно получить с помощью регрессионного анализа.

Классический регрессионный анализ основан на обработке результатов пассивных экспериментов. При этом применительно к инженерно-техническим задачам исследователь ставит эксперименты произвольным образом, выбирая экспериментальные точки, основываясь, например, на интуиции или своем опыте. Но, как правило, сущность тактики исследователя состоит в переборе различных условий проведения эксперимента. При решении подобного рода задач приходится иметь дело с очень большим количеством независимых переменных. В этом случае метод становится крайне гро-

58

моздким, особенно возрастают трудности с вычислительными операциями. Но здесь следует отметить, что широкое использование персональных компьютеров и стандартных программных продуктов для математических расчетов практически снимают существовавшие ранее трудности с вычислительными операциями.

При использовании регрессионного анализа для обработки результатов пассивного эксперимента следует учитывать следующие обстоятельства:

при пассивном многофакторном эксперименте трудно оценить ошибку эксперимента и, следовательно, нельзя достаточно строго проверить гипотезу адекватности выбранной математической модели по результатам эксперимента;

невозможно построить критерий для отбрасывания экспериментов, содержащих грубые ошибки;

независимые переменные часто оказываются попарно коррелированы, поэтому соответствующие эффекты невозможно разделить;

невозможно оценивать в отдельности коэффициенты регрессии с помощью, например, t-критерия даже в том случае, когда независимые переменные слабо коррелированы.

Оценивая результаты регрессионного анализа, можно говорить лишь о наличии статистической связи между переменными, но нельзя ничего сказать о характере этой связи. Не имеет никакого смысла придавать какое-либо значение индивидуальным коэффициентам регрессии.

Если к уравнениям регрессии подходить как к некоторым интерполяционным формулам, то указанные выше недостатки не будут иметь существенного значения. Если же нам необходима математическая модель какого-либо объекта, чтобы

вдальнейшем использовать ее для управления этим объектом, то неопределенность в результатах исследования, связанная с недостатками полученных регрессионных моделей, становится решающей. Исследователи, работающие в области статисти-

59

ческой обработки экспериментальных данных, считают, что результаты пассивного эксперимента, протекающего в условиях сильного шумового поля, не содержат информации о математической модели процесса.

Но в ряде случаев статистическая обработка результатов пассивных экспериментов может оказаться весьма полезной. Например, при оценке качества продукции на тех или иных технологических установках или в различных цехах полезным может быть построение гистограмм и определение хотя бы двух параметров функции распределения – среднего и дисперсии. Сравнительный статистический анализ этих параметров позволяет сопоставлять полученные результаты в разных условиях и устанавливать парные корреляционные связи. Результаты пассивных наблюдений в некоторых случаях могут использоваться для контроля и даже прогнозирования.

Таким образом, информация, полученная при пассивном наблюдении, может быть весьма важной для текущего контроля за определенными процессами (или объектами), но совершенно недостаточна для построения математических моделей, с помощью которых можно было бы осуществлять управление процессом (или объектом).

Так как вычисление коэффициентов регрессии при статистической обработке экспериментальных данных пассивных и активных экспериментов проводится по одним и тем же выражениям, практические примеры будут приведены в основном для активных экспериментов, проведенных по специальным планам.

2.2. Основные понятия и определения при планировании эксперимента

Новые возможности открылись после того, как экспериментальные точки стали выбираться по специальному плану. Планирование эксперимента – это новый подход к исследованию, в котором математическим методам отводится ак-

60