книги / Математическое моделирование и основы научных исследований в сварке. Статистическая обработка и планирование эксперимента-1

Умножим слева Х-матрицу и Y-матрицу на матрицу X T :

Находим матрицу, обратную матрице (X T X ) ,

111

Определяем коэффициенты выражения (19) по формуле

B X T X 1 X ТY.

Отсюда b0 = 50,1; b1 = 4,8333; b2 = –7,0437; b3 = 1,963; b4 = 3,85; b5 = 2,9167.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид

y = 50,1 + 4,8333x1 – 7,0437x2 + 1,963x3 + 3,85x4 + 2,9167x5. (20)

Находим остаточную сумму квадратов:

7

SR yu yu 2 0,042.

u1

Вматричной форме это выражение можно записать в следующем виде:

SR Y ТY BТ XTY.

Дисперсия адекватности

Дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента, определенная по результатам пяти предварительных опытов с

числом степеней свободы f = 4, Sy2 0,02. Вычислим дисперсионное отношение:

S 2

Fp Sад2 2,1.

y

112

При 5%-м уровне значимости и числах степеней свободы для числителя fR = 1 и для знаменателя f = 4 табличное значение F-критерия Фишера Fт = 7,71. Уравнение (20) адекватно, так как

Fт > Fр. По главной диагонали матрицы X T X 1 расположены

элементы сii, отсюда дисперсии коэффициентов регрессии будут представлены следующим образом:

S 2{b0} = 1 0,02 = 0,02;

S 2{b1} = 0,3333 0,02 = 0,0067; S 2{b2} = 0,3333 0,02 = 0,0067; S 2{b3} = 1,3333 0,02 = 0,0267;

S 2{b4} = 1,5 0,02 = 0,03; S 2{b5} = 1,5 0,02 = 0,03.

Ковариации находим по выражению cov{bibj } Cij 2y :

cov{b0b4} = –1 0,02 = –0,02; cov{b0b5} = –1 0,02 = –0,02; cov{b4b5} = 0,8333 0,02 = 0,0167.

Найденные ковариации показывают, что между коэффициентами b0, b4 и b5 существует корреляционная связь. Если какой-либо из этих коэффициентов будет исключен из уравнения регрессии, остальные коэффициенты необходимо пересчитать.

Переходя от переменных х3, х4, х5 к х1х2, x12 , x22 , получим следующее уравнение:

y 50,1 4,8333x1 7,0437x2 1,963x1x2 3,85x12 2,9167x22.

Это уравнение можно использовать для поиска оптимальных условий ведения процесса, а также как интерполяционную формулу для предсказаний значений y в области эксперимента.

113

4. ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ВТОРОГО ПОРЯДКА

4.1. Общие положения

Движение по методу крутого восхождения заканчивается, когда достигается область оптимума. Область оптимума не может быть описана линейным уравнением регрессии. В этой части поверхности отклика доминирующими становятся эффекты взаимодействия факторов и квадратичных эффектов. Область оптимума можно описать полиномами более высоких порядков, среди которых самыми распространенными являются уравнения второго порядка:

Для получения уравнений регрессии второго порядка необходимо построить такие планы, в которых каждая переменная будет принимать хотя бы три разных значения.

Выбор числа уровней. Так как для построения математической модели второго порядка двумя уровнями варьирования ограничиться нельзя, то естественно предложить

планы на трех уровнях – типа 3k . Если число факторов больше четырех, полный факторный эксперимент на трех уровнях

становится неэкономичным. Например, для плана 34 число

опытов N = 81, число степеней свободы fад = 66; для плана 35 значение N = 243, fад = 222 и т.д. Такое большое число степеней свободы для проверки гипотезы адекватности не требуется.

Дополнив двухуровневый план полного факторного эксперимента (ПФЭ) определенными точками факторного пространства, можно получить план с меньшим числом опытов,

114

чем план типа 3k . Общее число опытов при таком планировании определяется формулой

N 2k 2k N0 ,

где каждое слагаемое определяет число опытов в ПФЭ типа 2k , звездных точек и нулевых точек ( N0 число опытов в центре

плана). Число звездных точек равно удвоенному числу факторов. Расстояние от центра плана до звездной точки обозначают буквой и называют звездным плечом.

Из приведенной выше формулы видно, что предлагаемые планы экономичнее планов на трех уровнях. Большим преимуществом таких планов является возможность их

получения из планов 2k . Для построения их используется ядро

плана 2k , план дополняется некоторым количеством специально подобранных звездных точек. При k > 4 можно использовать дробные реплики. Планы, организованные таким образом,

называются центральными и композиционными. Компо-

зиционный план для двухфакторного эксперимента приведен в табл. 23.

Т а б л и ц а 2 3

115

Выбор плеча звездных точек и числа нулевых точек зависит от критерия оптимальности. В инженерной практике широко применяются ортогональные и ротатабельные планы второго порядка.

4.2. Ортогональное планирование второго порядка

По аналогии с ортогональными планами первого порядка целесообразно использовать и ортогональные планы второго порядка. Преимущество ортогональных планов состоит в малом объеме вычислений, так как все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга. Для получения ортогональных планов второго порядка необходимо несколько преобразовать столбцы квадратичных переменных и столбец x0 .

Это вызвано неортогональностью указанных столбцов матрицы планирования, так как

Неравенства справедливы, поскольку значения в столбцах x0 и xi2 всегда положительны. Необходимо отметить, что в

ортогональных планах на количество опытов в центре плана обычно не накладывают никаких условий, поэтому n0 часто

принимают равным единице.

Ортогональность плана можно обеспечить за счет выбора звездного плеча. Из теории планирования экспериментов

известно, что расчет звездного плеча для ПФЭ типа 2k можно проводить по формуле

4 2k 2 2k 1 k 0,5 2k 0 ,

апри 2k 1 (полуреплика) по формуле

116

4 2k 1 2 2k 2 k 0,5 2k 0 .

Втабл. 24 приведены значения , вычисленные по приведенным выше формулам.

Та б л и ц а 2 4

Для ортогонализации плана необходимо преобразовать

Пример ортогонального плана второго порядка для двухфакторного эксперимента приведен в табл. 25. В ней (по

117

О к о н ч а н и е т а б л . 2 5

Существенным недостатком ортогональных планов является отсутствие ротатабельности.

4.3. Ротатабельное планирование второго порядка

Как показали многочисленные исследования в теории планирования эксперимента, критерий ортогональности не является достаточно сильным критерием оптимизации центрального композиционного плана второго порядка. Информация о поверхности отклика, полученная при ортогональном планировании второго порядка, различна в разных направлениях.

В 1957 г. Бокс и Хантер показали, что при использовании ротатабельных планов второго порядка информация, содержащаяся в уравнении регрессии, равномерно располагается на сфере. Это облегчает оптимизацию объекта исследования.

Ротатабельность центрального композиционного плана достигается выбором величины звездного плеча . Величину звездного плеча для ядра, содержащего полный факторный

эксперимент, определяют из формулы 2k /4 , а для ядра, содержащего дробную реплику, из формулы

k p

2 4 .

Для ротатабельного планирования второго порядка важное значение имеет выбор числа опытов в центре плана. Так, их

118

число определяет характер распределения получаемой информации о поверхности отклика. Число опытов в центре плана выбирается таким, чтобы обеспечивалось униформпланирование. Так называется планирование, если получаемая информация постоянно находится внутри интервала 0 r 1, где r – радиус информационного контура. Такое планирование возможно, если некоторая константа не превышает единицы (немного меньше ее):

k(nc n0 ) , (k 2)nc

где n0 – число опытов в центре плана; nс = N – n0; N – общее число опытов; k – число факторов.

Данные, необходимые для построения матриц центрального композиционного ротатабельного планирования второго порядка при числе факторов от 2 до 7, приведены в табл. 26.

Т а б л и ц а 2 6

Матрицы ротатабельного планирования второго порядка не ортогональны, поэтому при определении коэффициентов регрессии в случае незначимости одного из них необходимо проводить новый расчет. Матрица ротатабельного униформ-

119

планирования второго порядка для k = 2 и его реализация приведены в табл. 27, 28.

Пример взят из учебного пособия [11] применительно к химическим процессам. На этом примере можно проследить весь процесс планирования эксперимента и статистической обработки данных.

Т а б л и ц а 2 8

Параметром оптимизации здесь является выход годной продукции в процентах. Вычисление коэффициентов регрессии

120