книги / Сборник задач по физике.-1
.pdfИнтегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:
r2 |
|
ϕ2 −ϕ1 = −∫ Er dr. |
(1) |
r1 |
|
Поскольку цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, для напряженности можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:
|
|
|
|
Er |
= |
|
|
|
τ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2πε |
0r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставив выражение Еr в формулу (1), получим |
||||||||||||||||||||
ϕ |
2 |
−ϕ = − |
τ |
r 2 dr |
= − |
|
τ |
ln |
r2 |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
2πε |
|
|
∫ |
r |
|
|
|
|
2πε |
|
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 r1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 −ϕ2 |
= |
|
|
|
τ |
|
ln |
r2 |
. |
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πε0 |
|
r1 |
|
|
|
|
|||||
Выразим τ |
|
и 1/2πε0 в |
единицах СИ: τ = 20 нКл/м = |
|||||||||||||||||
= 2 · 10–8 Кл/м; ε0 = 8,85 · 10–12 Ф/м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r1 = R + а1 = 1,5 см; r2= R + а2 = 3 см. Подставим числовые значения в выражение (2) и вычислим:
ϕ1 −ϕ2 = 2 10−8 1,8 1010 ln 1,53 =3,6 102 2,3 ln 2 = 250 B.
№ 9. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2 = 5 мкФ. Какая энергия W′ израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
91
Р е ш е н и е.
Энергия, израсходованная на образование искры,
W′ = W1 – W2, |
(1) |
где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле
W = |
CU 2 |
, |
(2) |
|
|||
2 |
|
|
где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность потенциалов.
Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и принимая во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
W ′ = |
С1U12 |
− |
(С1 +С2 ) U22 |
, |
(3) |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи параллельно соединенных конденсаторов.
Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остается прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
|
|
|
U2 = |
|
q |
= |
|
C1U1 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+C2 |
C1 +C2 |
|
|
|
|||||||||
Подставим выражение U2 в формулу (3): |
|
|
|
||||||||||||||
W ′ = |
С1U12 |
(С1 +С2 ) C12U12 |
|
С1U12 |
C12U12 |
||||||||||||
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
. |
|||||
2 |
2 (C1 +C2 )2 |
|
2 |
|
|
2 (C1 +C2 ) |
|||||||||||
После преобразований имеем W ′= |
1 C1C2 |
|
U12 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 C1 +C2 |
92
Подставим числовые значения и вычислим W′:
|
′ |
1 3 10−5 |
5 10−6 |
|
= 1,5 мДж. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
W |
= 2 3 |
10−6 + 5 10−6 |
1600 |
|||||
|
3.2. Постоянный ток
Задачи на постоянный ток можно разделить на два типа: вычисление сопротивлений, сил токов или напряжений на ка- ком-либо участке цепи; задачи на работу, мощность и тепловое действие тока.
Из задач первого типа можно выделить вспомогательную группу – задачи на вычисление сопротивлений отдельных проводников и соединений из них. Если в условии задачи указано, из какого материала изготовлен проводник, или приводятся сведения о его геометрических размерах или массе, то для нахождения неизвестной величины нужно воспользоваться формулой сопротивления и соотношением между массой, объемом и плотностью проводника. Решение задач на вычисление сопротивлений сложных соединений нужно начинать с анализа схемы и отыскания в ней каких-нибудь двух (иногда более) проводников, соединенных друг с другом последовательно или параллельно. Их сопротивление следует заменить одним эквивалентным сопротивлением, используя соответствующие формулы
n |
1 |
n |
|
||
Rпосл = ∑Ri и |
= ∑ |
1 |
, |
||
R |
R |
||||
i=1 |
|
|
|||
парал |
i=1 i |
|
и получить упрощенную схему. В схемах, представляющих собой комбинацию последовательно и параллельно включенных проводников, этот прием нужно применять несколько раз и таким образом найти общее сопротивление.
При решении задач на определение силы тока, напряжения или сопротивления на каком-либо участке цепи следует:
а) начертить схему и указать на ней все элементы цепи – источники тока, резисторы и конденсаторы;
93
б) установить, какие элементы цепи включены последовательно, какие – параллельно;
в) расставить токи и напряжения на каждом участке цепи; г) используя законы Ома, установить связь между токами и напряжениями (ЭДС). В результате получается система урав-
нений, полностью отражающая условия задачи и позволяющая определить искомую величину.
Задачи второго типа можно, в свою очередь, разбить на три группы. К первой группе относятся задачи на расчет электрической цепи, аналогичные рассмотренным выше. Для их решения составляют те же уравнения законов Ома, но к ним добавляют формулы мощности (работы). Особое внимание следует обратить на выбор исходной формулы мощности. Если речь идет о мощности, выделяемой на участке цепи, нужно пользоваться формулой
P = IU = I2R = U 2 . R
Мощность, развиваемая источником, – полная мощность определяется по формуле
P0 = Iε = Rε+2 r ,
а мощность во внешней цепи источника тока
P = Iε – I2r = |
ε2 R |
. |
|
(R + r)2 |
|||
|
|
Ко второй группе относятся задачи на тепловое действие тока. Основным расчетным соотношением в них является закон Джоуля–Ленца
Q = I2Rt.
Если участок цепи не содержит источников тока, то количество теплоты, выделяющееся на этом участке, можно определять по формуле
94
Q = IUt = U 2 t. R
Третью, небольшую, группу составляют задачи о превращении электрической энергии в механическую, тепловую и химическую при работе электромашин постоянного тока. Решение таких задач основано на применении уравнения закона сохранения и превращения энергии.
Основные формулы
1. Сила тока
I = ddqt ,
где q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.
Плотность тока
j = I/S,
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Связь плотности тока со средней скоростью <vG> упорядоченного движения заряженных частиц
|
|
|
j = qn<vG>, |
где q – заряд частиц; n – их концентрация. |
|||
2. Закон Ома: |
|
|
|
а) I = |
ϕ1 −ϕ2 |
= U |
– для участка цепи, не содержащего |
|
R |
R |
|
ЭДС (для |
пассивного |
или однородного участка цепи), где |
ϕ1 – ϕ2 = U – разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление участка;
б) I = (ϕ1 −ϕ2 ) ±ε – для участка цепи, содержащего ЭДС
R
(для активного или неоднородного участка цепи), где ε – ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма
95
внешних и внутренних сопротивлений). Знаки «+» или «–» выбираются в зависимости от полярности включения источника;
в) I = R ε+ r – для замкнутой (полной) цепи, где R – сопро-
тивление внешней цепи; r – сопротивление внутреннее (сопротивление источника тока).
3. Правила Кирхгофа:
а) ∑Ii = 0 – первое правило;
б) ∑Ii Ri = ∑εi – второе правило,
где ∑Ii – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле;
∑Ii Ri – алгебраическая сумма произведений сил токов и со-
противлений участков замкнутого контура; ∑εi – алгебраиче-
ская сумма ЭДС в замкнутом контуре.
4. Сопротивление R и проводимость G однородного проводника:
R = ρ Sl , G = γ Sl ,
где ρ – удельное сопротивление; γ – удельная проводимость; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения.
Зависимость удельного сопротивления от температуры
ρ =ρ0 (1+αt ),
где α – температурный коэффициент сопротивления; t – температура по шкале Цельсия.
Сопротивление системы проводников:
а) R = ∑Ri – при последовательном соединении;
б) |
1 |
= ∑ |
1 |
– при параллельном соединении, |
|
|
|||
|
R |
|
Ri |
где Ri – сопротивление i-го проводника.
96
5. Работа тока:
dA = IUdt = I 2 Rdt = U 2 dt. R
Закон Джоуля–Ленца (тепловое действие тока) dQ = dA = I 2 Rdt,
где dQ – количество теплоты, выделяющейся в проводнике; dt – промежуток времени, в течение которого выделялось тепло.
Мощность тока полной цепи
P = Iε.
Мощность тока на внешнем участке цепи
P = IU = I2R = U 2 . R
Закон Ома в дифференциальной форме
Gj = γ E .
Закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме w = γ E2,
где w – объемная плотность тепловой мощности (количество тепла, выделяющегося в единице объема за единицу времени).
Примеры решения задач
№ 1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 2 А в течение времени τ = 5 с. Определите заряд, прошедший по проводнику.
Р е ш е н и е.
Поскольку сила тока в проводнике изменяется, воспользоваться для подсчета заряда формулой Q= It нельзя, поэтому возьмем дифференциал заряда dQ = Idt и проинтегрируем:
τ |
|
Q = ∫ Idt. |
(1) |
0 |
|
97
В силу равномерного нарастания тока I = kt, где k – коэффициент пропорциональности, очевидно, что
k = |
I − I0 |
= |
|
I |
|
|
и dQ = ktdt = |
1 tdt. |
||
|
|
τ |
||||||||
|
τ |
|
|
|
|
τ |
||||
Проинтегрировав, получим |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
τ |
Iτ |
|
|
|
|
Q |
= |
∫tdt = |
. |
|
|||||
|
|
τ |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
Подставим числовые значения: |
|
|
|
|||||||
|
Q = |
2 5 = 5 |
Кл. |
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
№ 2. Найти полное сопротивление схемы (а), если она включена в цепь в точках 1 и 2. R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R.
Р е ш е н и е.
Очевидно, что сопротивления R3 и R5 соединены последовательно, так как в точке 4 разветвлений нет. Определив их общее сопротивление Rэ1 = 2R, представим схему в виде б. Теперь можно выделить параллельно соединенные сопротивления Rэ1
и R4. Сопротивление между точками схемы 2 и 3 Rэ2 = |
Rэ1R4 |
= |
|||
Rэ1 + R4 |
|||||
= |
2RR |
= |
2 R. |
|
|
2R + R |
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
а |
б |
в |
г |
Схему можно представить в виде в. Тогда имеем последовательно соединенные сопротивления Rэ2 и R2. Их общее сопро-
98
тивление Rэ3 = Rэ2 + R2 = 53 R. Наконец, общее сопротивление
всей схемы (г) равно сопротивлению параллельно включенных сопротивлений Rэ3 и R1:
|
|
|
5 |
RR |
|
|
R12 = |
Rэ3R1 |
= |
3 |
= |
5 R. |
|
|
5 |
|
||||
|
Rэ3 + R1 |
|
|
8 |
||
|
|
|
3 R + R |
|
|
№ 3. По железному проводнику, диаметр d сечения которого равен 0,6 мм, течет ток 16 А. Определите среднюю скорость <v> направленного движения электронов, считая, что концентрация n свободных электронов равна концентрации п' атомов проводника.
Р е ш е н и е.
Средняя скорость направленного (упорядоченного) движения электронов определяется по формуле
<v> = |
l |
, |
(1) |
|
t |
|
|
где t – время, в течение которого все свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника между сечениями I и II, пройдя через сечение II, перенесут заряд Q = eN и создадут ток
I = Q |
= eN |
, |
(2) |
t |
t |
|
|
где е – элементарный заряд; N – число электронов в отрезке проводника; l – его длина.
Число свободных электронов в отрезке проводника объе-
мом V можно выразить следующим образом: |
|
N = nV = nlS, |
(3) |
где S – площадь сечения. |
|
99
По условию задачи п = п′. Следовательно,
n = n′ = |
N |
= mNA = |
NAρ |
, |
(4) |
|
V |
µ |
|||||
|
µV |
|
|
где NА – постоянная Авогадро; V – объем металла; µ – молярная масса металла; ρ – его плотность.
Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим
I = NAρlSe .
µt
Отсюда найдем
l = |
Iµt |
. |
|
||
|
NAρSe |
Подставив выражение I в формулу (1), сократив на t и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость направленного движения электронов
|
|
|
< v > = |
|
4Iµ |
. |
|
|
|
|
|
|
πd |
2 NAρe |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Произведем по этой формуле вычисления: |
|
|
|||||||
< v > = |
|
|
4 16 56 10−3 |
|
= 4,2 10−3 |
м/с. |
|||
3,14 |
0,36 |
10−6 6 1023 98 |
10−9 1,6 10−19 |
||||||
|
|
|
№ 4. Потенциометр с сопротивлением Rп = 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой ε = 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом. Определить показание вольтметра с сопротивлением RV = 500 Ом, соединенным с одной из клемм потенциометра и подвижным
контактом, установленным посередине потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра?
100