книги / Сборник задач по физике.-1

№ 2. Определить максимальную скорость vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовыми лучами с длиной волны λ1 = 0,155 мкм; 2) γ-лучами с длиной волны λ2 = 1 пм.

Р е ш е н и е.

Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

где ε – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Wmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; λ – длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле

в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону.

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия ε фотона много меньше энергии покоя Е0 электрона, то может быть применена формула (3), если же ε сравнима по величине с Е0, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

141

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетовых лучей по формуле (2):

Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть

Работа выхода электрона (А = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (ε2 = 1,24 МэВ), поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Wmax = ε2 = 1,24 МэВ. Поскольку в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой форму-

142

№3. Пучок параллельных лучей монохроматического света

сдлиной волны λ = 663 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность. Поток излучения Ф = 0,6 Вт. Определить: 1) силу F давления, испытываемую этой поверхностью; 2) число

N1 фотонов, ежесекундно падающих на поверхность. Р е ш е н и е.

1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности:

где Еe – энергетическая освещенность (облученность); c – скорость света в вакууме; ρ – коэффициент отражения. Подставляя выражение (2) давления света в формулу (1), получим

Энергетическая освещенность Ее есть величина, численно равная энергии, падающей на единичную площадку в единицу времени. Произведение Ее на S есть величина, численно равная энергии, падающей на данную площадку S в единицу времени, т.е. поток излучения Ф = ЕеS. С учетом этого формула (3) примет вид

143

Величины, входящие в формулу (4), выпишем в единицах СИ: Ф = 0,6 Вт, с = 3·108 м/с, ρ = 1 (поверхность зеркальная). После подстановки этих величин в формулу (4) получим

F= 30,1068 (1+1) = 4 10−9 H.

2.Произведение энергии ε одного фотона на число фото-

нов N1, падающих на поверхность в единицу времени, равно мощности излучения, т.е. потоку излучения: Ф = εN1, а так как

энергия фотона ε = hc/λ, то Ф = hcλ N1 , откуда

с = 3 108 м/с. Подставим полученные значения в расчетную формулу и произведем вычисления:

4.4. Атомная и ядерная физика

Основные формулы

Атом водорода

Первый постулат Бора. Атомы могут длительно пребывать только в таких состояниях, находясь в которых они не излучают энергии. Этим стационарным состояниям соответствуют определенные энергии Е1, Е2, … Еn атома.

Второй постулат Бора. При переходе из одного стационарного состояния в другое атом испускает или поглощает излуче-

144

ние строго определенной частоты, определяемой условием

hν = Em – En.

Стационарным состояниям атома соответствуют вполне определенные орбиты, по которым движутся электроны. Момент импульса L электрона для стационарных орбит кратен

= = 2hπ .

Радиусы круговых орбит электрона определяются равенством L = mevr = n=, где r – радиус орбиты; v – скорость электрона на этой орбите; n – целое число, называемое главным квантовым числом (n = 1, 2, 3, …).

Энергия электрона, находящегося на n-й орбите,

En = −8ε02n2h2 .

Длина волны λ света, излучаемого атомом водорода при переходе с одной орбиты на другую, может быть определена из сериальной формулы

1λ = R′ n12 − m12 ,

где R′ – постоянная Ридберга; n и m – квантовые числа, определяющие номера орбит электрона.

Энергия кванта света, излучаемого атомом водорода при переходе с одной орбиты на другую, ε = Ei n12 − m12 , где Еi –

энергия ионизации атома водорода, Еi = –13,6 эВ.

Энергия ионизации, выраженная в электрон-вольтах, численно равна потенциалу ионизации, выраженному в вольтах. Потенциалом ионизации называется ускоряющая разность потенциалов, которую должен пройти бомбардирующий электрон, чтобы приобрести кинетическую энергию, достаточную для ионизации атома.

145

Волны де Бройля

Формула де Бройля. Длина волны λ, связанная с частицей,

обладающей импульсом р, выражается равенством λ = hp .

масса покоя частицы.

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима

Иногда при вычислениях длины волны де Бройля импульс р частицы удобно выражать через ее кинетическую энергию W.

При этом следует пользоваться соотношением p = 2m0W ,

в релятивистском случае p = 1c W (W + 2E0 ), где Е0 – энергия покоя частицы (Е0 = m0c2).

Соотношения неопределенностей

Неопределенности координат и компонент импульса связаны соотношениями

∆x∆px ≥ =, ∆y∆py ≥ =, ∆z∆pz ≥ =.

Если электрон в атоме находится в возбужденном состоянии время ∆t, то его энергия может быть определена с точностью ∆W, удовлетворяющей соотношению ∆W ∆t ≥ =.

Радиоактивность

Основной закон радиоактивного распада: число нераспавшихся атомов в образце радиоактивного изотопа уменьшается

146

со временем экспоненциально: N = N0 · e–λt, где N – число нераспавшихся атомов в момент времени t; N0 – число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (t = 0); е – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.

Число атомов, распавшихся за время t, N0 – N = N0 (1 – e–λt). Если промежуток времени ∆t очень мал по сравнению с периодом полураспада Т1/2, то для определения числа распавшихся

атомов служит приближенная формула ∆N ≈ λN∆t.

Период полураспада Т1/2 – промежуток времени, за который число нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полураспада связан с постоянной распада соотношением

нуклида; NA – число Авогадро.

Активность а образца измеряется числом ядер, распавших-

ся в единицу времени: a = −ddNt = λN, или после замены N

а = λN0 e–λt.

Активность образца в начальный момент (при t = 0)

а0 = λN0.

Активность образца изменяется со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер: а = а0 е–λt.

147

Энергия связи атомных ядер

Дефект массы. Согласно релятивистской механике масса покоя М устойчивой системы взаимосвязанных частиц меньше суммы масс покоя m1 + m2 + … + mk тех же частиц, взятых в свободном состоянии. Разность ∆М = (m1 + m2 + … + mk) – М называется дефектом массы системы частиц.

Уменьшение массы покоя свободных частиц при соединении их в устойчивую систему происходит вследствие освобождения некоторой части энергии покоя этих частиц. Выделившаяся энергия называется энергией связи.

Из закона сохранения энергии следует, что наименьшая энергия, которую нужно затратить, чтобы расчленить устойчивую систему взаимосвязанных частиц на отдельные свободные частицы, равна энергии связи.

Энергия связи прямо пропорциональна дефекту массы системы частиц ∆W = с2∆М, где с2 – коэффициент перехода от массы к энергии, численно равный квадрату скорости света в ва-

кууме; с2 = ∆∆МW =8,987 1016 Дж/кг =8,987 1016 м2/с2.

Если энергия выражена в мегаэлектрон-вольтах, а масса в атомных единицах, то с2 = 931,44 МэВ/а.е.м.

Дефект массы ∆М атомного ядра есть разность между суммой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося из них ядра: ∆М = (Ζmp + Nmn) – M, где Ζ – число протонов в ядре; N – число нейтронов (N = A – Ζ); mp и mn – массы свободных протона и нейтрона; М – масса ядра.

Ядерные реакции

Символическая запись ядерной реакции может быть дана или в развернутом виде, например 94 Be + 11H → 42 He + 63 Li , или сокращенно: 9Be (р, α) 6Li.

Обозначения частиц: e – электрон; p – протон; n – нейтрон; d – дейтрон; t – тритон; α – альфа-частица; γ – гамма-фотон.

148

При решении задач применяются законы сохранения:

–числа нуклонов А1 + А2 = А3 + А4;

–заряда Ζ1 + Ζ2 = Ζ3 + Ζ4;

–релятивистской полной энергии Е1 + Е2 = Е3 + Е4;

–импульса рG1 + рG2 = рG3 + рG4 .

Энергетический эффект ядерной реакции Q = c2 [(m1 + m2) –

– (m3 + m4)], где m1 – масса покоя ядра-мишени; m2 – масса покоя бомбардирующей частицы; m3 + m4 – сумма масс покоя ядер продуктов реакции.

Если m1 + m2 > m3 + m4, то энергия освобождается, энергетический эффект положителен, реакция экзотермическая.

Если m1 + m2 < m3 + m4, то энергия поглощается, энергетический эффект отрицателен, реакция эндотермическая.

Примеры решения задач

№ 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Р е ш е н и е.

Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов

где λ – длина волны фотона; R′ – постоянная Ридберга; Z – заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водорода); n – номер орбиты, на которую перешел электрон; m – номер орбиты, с которой перешел электрон (n и m – главные квантовые числа).

Энергию фотона ε найдем по формуле ε = Ei Z 2 n12 − m12 .

Вычисления выполним во внесистемных единицах: Еi = 13,6 эВ; Z = 1 (заряд ядра атома водорода в относительных

149

единицах, где за единицу заряда принято абсолютное значение заряда электрона); n = 2; m = 4.

где h – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия W. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

150