книги / Сборник задач по физике.-1

где α – угол между вектором dlG и радиус-вектором rG. Таким образом,

dα = sinαdα. Таким образом, выражение (3) можно переписать r r0

При симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cosα2 = –cosα1. С учетом этого формула (4) примет вид

Подставив выражение cosα1 в формулу (5), получим

111

В = 26,7 мкТл.

№ 2. Бесконечно длинный провод изогнут так, как изображено на рисунке. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Опре-

делить индукцию BG магнитного поля, создаваемого в точке О током I = 80 А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е.

Магнитную индукцию B в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей BG = ∑BGi .

В нашем случае провод можно разбить на три части: два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиусом R. Тогда

BG = BG1 + BG2 + BG3 , где BG1 , BG2 и BG3 – индукции магнитных полей в точке О, создаваемые током первого, второго и третьего участков провода.

Поскольку точка О лежит на оси провода 1, B1 = 0, и тогда

BG = BG2 + BG3 . Учитывая, что векторы B2 и BG3 направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В2 + В3.

112

Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока

B = µ20RI .

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому B2 = µ40RI .

Магнитную индукцию В3 найдем, применив соотноше-

ние (4) (пример 1): B3 = µ0 I (cosα1 −cosα2 ). 4πr0

№ 3. По двум бесконечным параллельным прямым проводам, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов, приходящуюся на 1 м длины проводника.

Р е ш е н и е.

Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их I1 и I2) текут в одном направлении. Ток I1 создает в месте расположения второго провода (с током I2) магнитное поле, направление вектора

113

магнитной индукции B1 определяется по правилу буравчика. Модуль магнитной индукции В1 задается соотношением

провода действуетG в магнитном поле сила dF = I2 B1dl sin α. По-

скольку вектор dl перпендикулярен вектору B , sin α =1, и тогда dF = I2B1dl. Подставив в это выражение значение В1, полу-

Произведем вычисления:

F = 4π 10−7 (103 )2 1 = 1 H. 2π 0,2

Сила FG сонаправлена с силой dFG, а направление dF определяется правилом левой руки.

№ 4. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

114

Р е ш е н и е.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, если частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям

индукции: vG BG. Поскольку сила Лоренца перпендикулярна вектору vG, она сообщает частице (протону) нормальное ускорение aGn .

Согласно второму закону Нью-

где m – масса протона. На рисунке совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора скорости vG. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору vG к цен-

тру окружности (векторы aGn и FGЛ сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных сило-

вых линий (направление вектора BG ).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции

и sinα = 1, тогда FЛ = qvB. Поскольку нормальное ускорение an = v2/R, выражение (2) перепишем следующим образом: qvB = = mv2/R. Отсюда выразим радиус окружности:

Скорость протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = ∆W, или q(ϕ1 – ϕ2) = W2 – W1, где (ϕ1 – ϕ2) = U – ускоряющая разность потенциалов (или уско-

115

ряющее напряжение); W1 и W2 – начальная и конечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией протона W1 ≈ 0 и учитывая, что Wк = mv2/2, получим qU = mv2/2.

(В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиусом R = 5 см. Определить магнитный момент рm эквивалентного кругового тока.

Р е ш е н и е.

Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции.

Движение электрона по окружности эквивалентно току, ко-

торый в данном случае определяется выражением Iэкв = ∆qt = Te ,

где е – заряд электрона; Т – период его обращения.

Период обращения можно найти через скорость электрона и путь, проходимый электроном за период Т = (2πR)/v. Тогда

По определению магнитный момент контура с током выражается соотношением

116

в формулу (4) для магнитного момента рm электрона получим

= e2 BR2

рm 2m .

Произведем вычисления:

(1,6 10−19 ) 0,2 (0,05)2

рm = 2 9,1 10−31 = 7,03 10−12 А·м2.

№ 6. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке

0,5 А.

Р е ш е н и е.

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой

W = 12 LI 2 .

Индуктивность соленоида зависит от числа витков на единицу длины n, от объема сердечника V и от магнитной проницаемости µ сердечника, т.е. L = µµ0 n2V, где µ0 – магнитная постоянная.

117

Магнитную проницаемость можно выразить следующей

Напряженность магнитного поля найдем по формуле Н = nI.

103 А/м в железе соответствует индукция В = 1,3 Тл (см. график зависимости между Н и В в приложении).

Произведем вычисления:

W= 12 101,33 (2 103 )2 0,52 2 10−4 0,5 = 0,065 Дж.

№7. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол

ϕ = 90°. При повороте контура сила тока

внем поддерживается неизменной.

Ре ш е н и е.

На контур с током в магнитном поле действует момент силы

118

где pm – магнитный момент контура, pm = I · S = I · a2; В – индукция магнитного поля; ϕ – угол между вектором pGm (направлен

по нормали к контуру) и вектором B.

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент силы равен

нулю (М = 0), а значит, угол ϕ = 0, т.е. векторы pGm и B сона-

правлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Поскольку момент сил переменный (зависит от угла поворота ϕ), для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Mdϕ. Учитывая формулу (1), получаем dA = IBa2sinϕdϕ.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при по-

ϕ

вороте на конечный угол A = IBa2 ∫sinϕdϕ. Работа при повороте

0

на угол ϕ = 90°

Произведем вычисления: А = 100 · 1 · (0,1)2 = 1 Дж.

119

Глава 4. ОПТИКА. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

4.1. Геометрическая оптика

Здесь можно выделить следующие типы задач: задачи на отражение света, задачи на преломление света и задачи на линзы.

Первую группу составляют задачи на построение изображения в плоском зеркале с использованием закона отражения. При построении изображения предмета в плоском зеркале следует помнить, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета А, после отражения от зеркала пойдут так, что их продолжения будут пересекаться за зеркалом в одной и той же точке А1, которая является мнимым изображением точки А. В результате изображение предмета получается прямым, мнимым, равным по величине самому предмету, расположенному симметрично с ним по отношению к плоскости зеркала.

Задачи второй группы сравнительно просты. Их решают на основании формулы закона преломления с использованием геометрии и тригонометрии. При решении задачи прежде всего надо сделать чертеж, где следует указать ход лучей, идущих из одной среды в другую. Перед тем как чертить преломленный луч, необходимо установить, переходит ли он из оптически менее плотной среды в более плотную или наоборот. В зависимости от этого луч отклоняется от своего начального направления или приближаясь к нормали в точке падения, или удаляясь от нее. После того как сделан чертеж, нужно записать формулу закона преломления для каждого перехода луча из одной среды в другую и составить вспомогательные уравнения, связывающие углы и расстояния, используемые в задаче.

Задачи третьей группы – на построение изображения в одиночных линзах и расчеты, связанные с этим изображением, – решаются почти так же, как и задачи на зеркала. Для каждого положения предмета нужно построить изображение, отметить

120