книги / Сборник задач по физике.-1

– в релятивистском случае

и U2 = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул – (4) или (5) – следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона W, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, находится следующим образом: W = eU.

В первом случае W1 = eU1 = 51 эВ = 0, 51 10–4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0 = m0с2 = 0, 51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что W1 = 10–4m0с2. Подста-

В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что W2 = 0, 51 МэВ = meс2, по формуле (5) найдем

151

λ2 = 2,433 =1,4 пм.

№3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка W = 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Р е ш е н и е.

Соотношение неопределенностей для координаты и им-

пульса имеет вид ∆x∆p ≥ =, где ∆x – неопределенность коорди-

наты частицы (в данном случае электрона); ∆р – неопределенность импульса частицы (электрона); = – постоянная Планка, деленная на 2π.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Физически разумная неопределенность импульса ∆р во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р,

т.е. ∆р ≈ р.

152

Импульс р связан с кинетической энергией W соотношением p = 2mW . Заменим ∆р на 2mW (такая замена не увеличит l). Переходя от неравенства к равенству, получим

№ 4. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра 73 Li . Р е ш е н и е.

Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра ∆m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); mр, mn, m – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса М нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих нейтральную оболочку атома:

М = m + Zme, откуда m = М – Zme.

Выразив в равенстве (1) массу ядра по последней формуле,

получим ∆m = Ζmp + (A – Ζ)mn – M + Ζme, или ∆m = Ζ (mp + me) + + (A – Ζ)mn – M.

Замечая, что mе + mp = MH, где MH – масса атома водорода, окончательно получим

153

справочных таблиц), получим

∆m = [3 · 1,00783 + (7 – 3) · 1,00867 – 7,01601] = 0,04216 а.е.м.

Энергией связи ∆Е ядра называется энергия, которая в той или иной форме выделяется при образовании ядра из свободных нуклонов.

В соответствии с соотношением пропорциональности массы и энергии

или с2 = Е/∆m = 9 · 1016 Дж/кг. Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931 МэВ/а.е.м. С учетом этого формула (3) примет вид

Подставив ранее найденное значение дефекта массы ядра

вформулу (4), получим

Е= 931 0,04216 МэВ = 39,2 МэВ.

№5. При соударении α-частицы с ядром бора 105 B произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два

новых ядра. Одно из них – ядро атома водорода 11H . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакции и определить ее энергетический эффект.

Р е ш е н и е.

Обозначим неизвестное ядро символом ZАX. Поскольку α-частица представляет собой ядро гелия 42 He, запись реакции имеет вид 42 He + 105 B → 11H + ZA X.

154

Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4 + 10 = 1 + А, откуда А = 13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1 + Z, откуда Z = 6.

Следовательно, неизвестное ядро является ядром изотопа атома углерода 136 C.

Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется

по формуле Q = 931[(mHe + mB) – (mH + mC)]. Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых

скобках – массы ядер – продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер – продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов, взятые из справочной таблицы, в расчетную формулу, получим

Q = 931[(4,00260 + 10,01294) – (1,00783 + 13,00335)] МэВ =

=4,06 МэВ.

№6. Определить начальную активность радиоактивного препарата магния 27Mg массой m = 0,2 мкг, а также его актив-

ность А через время t = 6 ч. Период полураспада T1/2 магния считать известным.

Р е ш е н и е.

Активность а изотопа характеризует скорость радиоактив-

ного распада и равняется числу ядер, распадающихся в единицу времени:

155

но, что начальная активность при t = 0

а0 = λN0. (1)

Исходя из этого закон изменения активности со временем выражается формулой

Начальную активность определим по формуле (1). Входящая в эту формулу постоянная радиоактивного распада λ может быть выражена через период полураспада соотношением

λ = ln2/T1/2 = 0,693/T1/2.

Для 27Mg период полураспада T1/2 = 10 мин = 600 с. Следо-

вательно, λ = 0,693/600 с–1 = 1,15 · 10–3 с–1.

Число радиоактивных атомов N0, содержащихся в изотопе, равно произведению числа Авогадро NA на количество вещества

ν данного изотопа: N0 = νNA = mµ NA , где m – масса изотопа;

µ – молярная масса. Выразив в этой формуле значения величин в системе СИ, получим

Вычислим по формуле (1) начальную активность изо-

топа: а0 = λN0 = 1,15 · 10–3 · 4,46 · 1015 = 5,13 · 1012 Бк, или а0 = 5,13 ТБк.

Активность через 6 ч (6 ч = 2,16 104 с) получим по форму-

ле (2):

а = а0e−λt =5,13 1012 е−1,15 10−3 2,16 104 =81,3 Бк.

156

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Модуль 1. МЕХАНИКА

Модуль 1. Механика

Вариант 1

1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид

х = А + Bt + Ct3 (А = 4 м, В = 2 м/с, С = 0,2 м/с3). Найдите сред-

нюю скорость за промежуток времени от 2 до 5 с.

2. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой координаты от времени дается уравнением ϕ = (1 + 2t + t3), рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найдите нормальное, тангенциальное и полное ускорения через 2 с после начала вращения.

3. Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора угловой скорости точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

4.Маховик получил начальную угловую скорость 2π рад/с. Сделав 10 оборотов, он, вследствие трения в подшип-

никах, остановился. Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным.

5.Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с2. Угол наклона горы 30°. Масса автомобиля 1 т. Коэффициент трения равен 0,1.

6.На каком расстоянии от поверхности Земли сила гравитационного притяжения, действующая на тело, в 2 раза меньше, чем у поверхности Земли? Радиус Земли 6,4 Мм.

7.Тело массой 1 кг, движущееся горизонтально со скоростью 1 м/с, догоняет второе тело массой 0,5 кг и неупруго сталкивается с ним. Какую скорость получат тела, если: 1) второе

157

тело стояло неподвижно; 2) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в том же направлении, что и первое; 3) второе тело двигалось со скоростью 0,5 м/с в противоположном направлении?

8.Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается абсолютно неупруго с телом массой 3 кг, движущимся со скоростью 1 м/с. Определите скорости тел после удара и количество выделившегося при ударе тепла, если тела движутся навстречу друг другу.

9.Два груза, массы которых относятся как 1:4, соединены сжатой пружиной и лежат на горизонтальной поверхности гладкого стола. При распрямлении пружины груз меньшей массы получает кинетическую энергию 40 Дж. Найдите потенциальную энергию сжатой пружины.

10.Определите момент инерции стержня массой т и длиной l относительно оси, проходящей пер-

пендикулярно стержню на расстоянии l от его конца (рисунок).

11.К ободу однородного диска радиусом 0,2 м и массой 200 кг приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При

вращении на диск действует момент сил трения Мтр = 4 Н·м. Определите угловое ускорение, с которым вращается диск.

12.Определите момент импульса стерж-

ня массой m и длиной l, вращающегося с частотой ν вокруг оси ОО′ (рисунок).

13. На скамье Жуковского, вращающейся около вертикальной оси с частотой ν1 = 0,3 об/с, стоит человек и держит на вытянутых руках две гири массой по 5 кг каждая. Расстояние между гирями 1,4 м. Когда человек опускает руки, расстояние между гирями становится равным 0,5 м, а частота вращения – 0,5 об/с. Определите момент инерции I человека и скамьи.

14. На краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой М. Диск совершает ν об/с. Чему равна кинетическая энергия системы?

158

15.Какую работу совершит человек, переходя от края платформы к ее центру, если платформа (диск) имеет массу 100 кг

ивращается, делая ν = 15 об/мин, а человек (точечная масса) имеет массу 60 кг? Радиус платформы 2 м.

16.В двух сообщающихся сосудах находится ртуть. Поверх нее в один сосуд налили столб воды высотой 0,8 м, а в другой – керосина высотой 0,2 м. Какая разность уровней ртути устано-

вится в сосудах? Плотность керосина 0,8 103 кг/м3, плотность ртути 13,6 103 кг/м3.

Модуль 1. Механика

Вариант 2

1.График зависимости координаты тела х имеет вид, указанный на рисунке. Найдите зависимость х = х(t) и укажите, какое это движение.

2.Точка движется по окружности радиусом R = 0,1 м с постоянным тангенциальным ускорением. Найдите нормаль-

ное ускорение точки через 20 с после начала движения, если известно, что к концу 5-го оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 см/с.

3.Диск равноускоренно вращается вокруг оси (рисунок). Направление вектора углового ускорения точки А на ободе диска совпадает со стрелкой…

4.Вентилятор вращается с частотой 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал

до остановки 75 об. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до его полной остановки?

5.На автомобиль массой 1 т во время движения действует сила трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найдите силу тяги,

159

развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

6.Каково ускорение свободного падения тела на высоте, равной половине радиуса Земли?

7.Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями

v1 = 5 м/с и v2 = 7 м/с. Определите скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях, когда: 1) большой шар догоняет меньший; 2) шары движутся навстречу друг другу.

8.Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Прочность шнура на разрыв 550 Н.

9.Пружина детского пистолета, жесткость которой 10 Н/см, имеет длину 15 см. До какой высоты поднимется шарик массой 10 г, выпущенный из пистолета вертикально вверх, если пружина была сжата до 5 см? Сопротивлением воздуха пренебречь.

10.Два шара массами m и 2m (m = 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной l = 40 см так, как показано на рисунке. Определите момент инерции систе-

мы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Размерами шаров пренебречь.

11.К ободу однородного диска радиусом 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 10 Н. При вращении на диск действует момент сил трения Мтр = 0,5 Н·м. Угловое ускорение,

скоторым вращается диск, ε = 10 рад/с2. Определите массу диска.

12.Определите момент импульса

стержня массой m и длиной l, вращающегося с частотой ν вокруг оси ОО′ (рисунок).

13. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит в центре платформы. Сколько оборотов в секунду будет делать платформа, если рас-

160