книги / Сборник задач по физике.-1

3. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

№ 3. На краю диска, масса которого m и радиус R, стоит человек массой M. Диск совершает вращательное движение

31

с частотой n (об/с). Чему равна кинетическая энергия системы? Чему равна работа внешних сил, в результате действия которых частота вращения увеличивается вдвое?

Р е ш е н и е.

Запишем формулу кинетической энергии вращающегося тела

где I – момент инерции системы; ω – угловая скорость вращения системы.

Выразим момент инерции системы I и угловую скорость ω. Момент инерции системы складывается из моментов инерции тел системы:

I = I1 + I2,

Работу сил определяем по теореме об изменении кинетической энергии:

Wк2 −Wк1 = ∑ A.

Используя уравнение (2) и условие n2 = 2n1, запишем

А= π2 4n2R2(m + 2M) – π2 n2R2(m + 2M) = 3π2 n2R2(m + 2M).

1.4.Гидромеханика

Основная задача гидромеханики состоит в том, чтобы найти законы распределения давлений и скоростей внутри жидкости.

32

Сравнительно просто эта задача решается для идеальной несжимаемой жидкости, в которой отсутствуют силы трения между ее слоями (нет вязкости). Со стороны идеальной жидкости на тела могут действовать только нормальные силы упругости.

Задачи, связанные с нахождением давлений и сил давления в какой-либо точке внутри жидкости, решаются на основании закона Паскаля и вытекающих из него следствий. К ним можно отнести задачи на сообщающиеся сосуды. Порядок их решения может быть следующим:

1.Сделать схематический чертеж и отметить равновесные уровни жидкости, которые она занимает по условию задачи. Если даны сообщающиеся сосуды с разнородными жидкостями, то нужно отметить уровни каждой из них. Затем следует выбрать поверхность нулевого уровня, от которого будут отсчитываться высоты столбов всех жидкостей. Эта поверхность должна проходить через однородную жидкость; обычно ее выбирают на нижней границе раздела сред (жидкость – жидкость, жидкость – воздух) или на уровне трубки, соединяющей сосуды. Если по условию задачи происходит перетекание жидкости из одного сосуда в другой и при этом имеется два или несколько равновесных состояний жидкостей, то необходимо отметить высоты всех уровней, отсчитывая их от поверхности нулевого уровня.

2.Указав высоты столбов всех жидкостей в сосудах относительно поверхности нулевого уровня, следует записать уравнение равновесия жидкостей.

3.Составив уравнение равновесия, следует, при необходимости, дополнить его условиями, которые связывают между со-

бой высоты h1, h2 и т.д. Например, если жидкость перетекала из одного сосуда в другой, то обычно в качестве дополнительного условия используется свойство несжимаемости жидкостей: при уменьшении объема жидкости в одном из сосудов объем этой жидкости в другом сосуде увеличивается на такую же величину. Совместное решение полученных уравнений позволяет найти искомые величины.

33

В другую группу задач можно выделить задачи на применение силы Архимеда при плавании или движении тел в жидкости. Принципиально решение таких задач не отличается от решения задач статики и динамики. Здесь, кроме сил, рассмотренных в п. 2.2, должна быть учтена сила Архимеда.

Основные формулы

1. Давление, производимое силой F, равномерно распределенной по плоской поверхности площадью S и действующей перпендикулярно поверхности, находим следующим образом:

p = FS .

2. Давление, создаваемое покоящейся жидкостью, называют гидростатическим.

При отсутствии движения внутри идеальной жидкости, находящейся в равновесии, давление, производимое жидкостью на глубине h, вычисляется по формуле

p = ρgh,

где ρ – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения.

Формула носит общий характер: давление не зависит от того, какую форму имеет сосуд, содержащий жидкость.

3. На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, модуль которой равен весу жидкости, вытесненной телом:

FA = ρжgVв.ж,

где ρж – плотность жидкости; Vв.ж – объем вытесненной жидкости.

4. Уравнение Бернулли ρ2v2 +ρgh + p = const.

34

Примеры решения задач

№ 1. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Площадь сечения одного сосуда в 2 раза больше, чем другого. В узкий сосуд наливают столб воды высотой 1,02 м. На сколько миллиметров поднимется ртуть в широком сосуде?

Р е ш е н и е.

Приравнивая давления в сосудах на уровне границы ртути с водой, придем к уравнению

ρртhрт = ρвhв.

Обозначив за x изменение уровня ртути в широком сосуде, запишем условие неизменности объема ртути

2Sx = S(hрт – x)

(увеличение объема ртути в широком сосуде равно уменьшению в узком сосуде). Решая совместно эти уравнения, получаем

x= ρвhв = 25 10−3 м = 25 мм.

3hрт

№2. Однородное тело плавает на поверхности керосина (ρк = 800 кг/м3) так, что объем погруженной части составляет 0,92 всего объема тела. Определить объем погруженной части при плавании тела на поверхности воды.

Р е ш е н и е.

Обозначим: V – объем всего тела; Vпк – объем погруженной

части тела, плавающего в керосине; Vпв – объем погруженной части тела, плавающего в воде. На тело, плавающее в керосине, действуют mg – сила тяжести; F = ρкVпg – сила Архимеда; ρк и

35

ρв – плотности керосина и воды. Из условия плавания следует, что mg = F, или

Из уравнений (1) и (2) получим ρк 0,92Vg =ρвVпвg, откуда

Vпв = 0,92ρк V = 0,92 800V ≈0,74V. ρв 1000

1.5. Механические колебания и волны

Колебательным называется такое движение, при котором тело многократно проходит одно и то же устойчивое положение равновесия. Если при этом оно возвращается в исходное положение через равные промежутки времени, то такие колебания называют периодическими. Если в периодических колебаниях изменения всех физических величин происходят по закону синуса (или косинуса), то такие колебания называются гармоническими, а частица, совершающая гармонические колебания, на-

зывается гармоническим осциллятором. Простейшей колеба-

тельной системой с одной степенью свободы является линейный осциллятор, описываемый дифференциальным уравнением

x′′+ω02 x =0.

В данной системе реализуются гармонические колебания

вида

х = А sin (ω0t +ϕ0 ),

где А – амплитуда колебаний; ω0 – циклическая частота; ϕ0 – начальная фаза.

Задачи данного подраздела можно условно разделить на три группы: задачи, требующие применения общих уравнений

36

гармонических колебаний, и задачи на сложение колебаний; задачи о математических и физических маятниках; задачи о распространении механических колебаний в пространстве, т.е. волн.

При решении задач первой группы следует обратить особое внимание на составление дифференциального уравнения для точки, совершающей гармонические колебания. Это уравнение

в конечном итоге приводит к соотношению k = mω02 , в котором коэффициент k должен быть выражен через те или иные величины, характеризующие колебательную систему. Нахождение выражения для этого коэффициента фактически и представляет основное содержание задач такого типа.

Для решения задач на сложение колебаний одного направления достаточно часто используется метод вращающегося вектора амплитуды (метод векторных диаграмм), когда складываемые колебания изображаются в виде двух векторов, амплитуда и фаза результирующего колебания находятся по теореме косинусов.

При решении задач на сложение взаимно перпендикулярных колебаний для нахождения траектории результирующих колебаний можно воспользоваться уравнением эллипса

В этом случае наибольшую сложность представляет определение ∆ϕ – разности фаз складываемых колебаний. При этом надо помнить, что складываемые колебания должны иметь одинаковую частоту. В некоторых случаях задачи данного типа решаются с использованием формул тригонометрии.

При решении задач второй группы нужно представлять, что при ускоренном движении точки подвеса математического маятника изменяется сила натяжения нити, что приводит к изменению равнодействующей силы и, следовательно, частоты и периода колебаний. Формулу периода колебаний легко полу-

37

чить для каждого конкретного случая, внося соответствующую поправку в формулу периода математического маятника:

Т = 2π аl ,

где l – длина подвеса; a – модуль ускорения, сообщаемого грузу силой натяжения нити. Если маятник в том или ином направлении приобретает переносное ускорение aп, то a = gG −aGп. Найдя

обычными методами модуль этого ускорения и подставив его в приведенную выше формулу, получим выражение для периода колебаний математического маятника с учетом движения точки подвеса.

Что касается задач на физический маятник, то здесь нужно хорошо знать понятие приведенной длины физического маятника, которая зависит от момента инерции маятника и расстояния между точкой подвеса и центром тяжести.

Решение задач третьей группы сводится обычно к записи уравнения плоской волны и соотношения между длиной волны и скоростью ее распространения, что дает возможность определить фазу (разность фаз) или смещение точки от положения равновесия в произвольный момент времени.

Основные формулы

1. Связь между периодом, циклической частотой и частотой

T= 2π = 1 . ω0 ν

2.Кинематические характеристики колебательного движе-

ния:

– путь (смещение) х = Аsin (ω0t +ϕ0 );

– скорость v = Аω0 cos(ω0t +ϕ0 ), максимальная скорость

vmax = Aω0;

38

mA2ω2

– полная энергия W = 2 0 .

4. Период колебаний пружинного маятника

T = 2π mk .

5. Период колебаний математического маятника

6. Период колебаний физического маятника

T = 2π Lg = 2π mbgI ,

где L – приведенная длина; I – момент инерции; b – расстояние от точки подвеса до центра тяжести.

7. Сложение колебаний:

а) сложение колебаний одинаковой частоты, направленных вдоль одной прямой:

– амплитуда результирующего колебания

A = A12 + A22 +2A1 A2 cos(ϕ2 −ϕ1 );

– начальная фаза результирующего колебания

39

ϕ = arctg A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 , A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2

где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний; ϕ1 и ϕ2 – начальные фазы складываемых колебаний;

б) сложение взаимно перпендикулярных колебаний:

8. Затухающие колебания:

– уравнение x = A0e–βtsin(ωt + ϕ0), где β – коэффициент затухания;

– логарифмический декремент затухания δ = lnσ = βT. 9. Вынужденные колебания:

где f0 = Fm0 , F0 – амплитуда вынуждающей силы; ω0 – цикличе-

ская частота собственных колебаний; ω – циклическая частота вынужденных колебаний;

– резонансная частота ωрез = ω02 − 2β2 ;

40