Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

			9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ				171
А налогом		унитарны х операторов в		вещ ественном евклидовом			про
странстве являю тся ортогональны е операторы .
	Определение 1		. Л инейны й оператор Р, действую щ ий			в	вещ е
ственном евклидовом пространстве V , назы вается орт огональным, ес
ли д л я лю бы х х и у из У вы полняется равенство
			(Рх, Ру) =	(х, у).		(5.119)
	Таким	образом,	ортогональны й	оператор	сохраняет	скаляр
ное	произведение.		О тсю да непосредственно		следует, что		если
ei,	в 2 , . .	еп— ортонорм ированны й базис евклидова п ространства У,

то Pei, Ре2 , ..., Реп такж е явл яется ортонорм ированны м базисом . В

дальнейш ем условие (5.119) будем н азы вать условием ортогонально сти оператора Р.

С праведливо следую щ ее утверж дение.

Теорема 5.36. Д л я того чтобы линейный оператор Р был ор тогональным, необходимо и достаточно, чтобы сущест вовал опера тор Р - 1 и было выполнено равенство

			Р*	= Р	1,				(5.120)
где Р* —оператор, сопряж енный к					Р,	а Р -1 — оператор, обратный
к Р.									Р —
Д о к а з а т е л ь с т в о .			1)	Н е о б х о д и м о с т ь .				П усть	Р —
ортогональны й оператор,			т. е.	вы полняется			условие	(5.119).	П ри
м еняя сопряж енны й		оператор		Р*,	это	условие м ож но записать в
виде (Р*Рх, у) = (х, у).
Таким	образом,	д л я	лю бы х		х	н у	вы полняется		равен
ство ((Р*Р	— 1)х, у)	= 0.
Ф иксируя в этом равенстве лю бой элем ент х, считая у произволь
ным, получим, что линейны й оператор Р*Р — I действует по прави
лу (Р*Р -	1)х = 0.
С ледовательно, Р*Р =			I; соверш енно аналогично мож но убедить
ся, что РР*	= I. Таким образом, операторы Р* и Р взаим но обратны ,

т. е. условие (5.120) выполнено.

2) Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть выполнено условие (5.120). Тогда, оче

видно, РР* =	Р*Р	= I.
О бращ аясь	к определению		сопряж енного оператора и		используя
только что написанны е соотнош ения, получим д л я лю бы х					х н у ра-
венства (Рх, Ру) =		(х, Р*Ру)	=	(х, 1у) = (х, у).
М ы видим,	что	условие (5.119)		вы полнено, следовательно, опера-

тор Р ортогональны й . Теорема доказана.

Введем теперь понятие ортогональной м атрицы Р .


172		ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
О п р едел ен и е		2. М атрица Р		назы вается о р т о го н а льн о й, если
			Р 'Р =	Р Р '		=	/ ,		(5.121)
где Р 1— транспонированная м атрица, а I — единичная м атрица.
Если ei, е 2,	...,	е п — ортонорм ированны й базис в евклидовом про
странстве V , то	оператор Р явл яется					ортогональны м тогда и только
тогда, когда его м атри ц а в базисе {е/,}						ортогональна.
Н епосредственно из			равенства		(5.121)			следует, что если м атри
ца Р = (р \) явл яется ортогональной, то
		Е	М	1	при		к	=	I,
				О	при		к	ф	I.

В комплексном евклидовом пространстве аналогом ортогональной м атрицы явл яется унит арная м атрица. И менно, м атри ц а U н азы ва ется ун ит арной , если вы полняется соотнош ение

UU = U U =	/ ,	(5.122)
в котором U * — эрм итово сопряж енная	м атрица, т. е. U* =	U 1, где

штрих означает транспонирование, а черта — комплексное сопряж ение.

Нетрудно показать, что в ортонорм ированном базисе м атри ц а ли нейного оператора U явл яется унитарной тогда и только тогда, когда

оператор U явл яется унитарны м .

В заклю чение рассм отрим д л я прим ера ортогональны е преобразо

вания в одномерном и двумерном пространствах.

В одномерном случае каж ды й вектор х имеет вид х = <ле, где а —

вещ ественное число и е — вектор, порож даю щ ий данное пространство.

Тогда Р е

= Ае,

и так как (Ре, Ре) =

А2(е, е)

= (е,

е),

то

А =

± 1.

Таким

образом , в одномерном случае сущ ествую т д в а ортогональ

ны х преобразования: Рьх

= х и Р _ х

—х.

В двумерном

случае каж дое ортогональное преобразование опре

деляется в произвольном ортонорм ированном

базисе

ортогональной

м атрицей

порядка

т.

е.

м атрицей

(

И з

усло

вия Р Р '

Р 'Р

I следует

а 2 +

Ъ2

1 ,

а 2

d2,

Ъ2 = с2,

ас

db =

0 , ab

= 0 .

П олагая а

cos tp,

= —sin tp, получаем , что к аж д ая ортогональ

н ая м атри ц а порядка 2 имеет вид

Р±

cos ip

—

Sliup

± sin (р

cos (р

9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

173

причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо зн ак + ,

либо зн ак — .

О тметим, что d e ti± = =Ь 1 . О ртогон альн ая м атри ц а Р+ н азы вается

собст вен но й, а ортогон альн ая м атри ц а Р_ — несобст венной.

О ператор Р ь с м атрицей Р+ в ортонорм ированном базисе e i , е 2 осу

щ ествляет поворот в плоскости e i, е 2 на угол (р.
Д л я		того чтобы вы яснить,		как действует оператор Р_	с	м атри-
цей	Р_,	введем м атрицу	Q	совпадаю щ ую	с	Р_ при
(р =	0	, и зам етим , что	Р_ =	QP+. М атрице Q отвечает отраж ение

плоскости относительно оси e i, следовательно, действие оператора Р_ заклю чается в повороте на угол ср и последую щ ем отраж ении .

Зам етим ,			что векторы Р _еi, Д_е2 образую т, в силу ортогонально
сти Д_, ортонорм ированны й базис и в этом базисе м атри ц а операто
р а Р_	совпадает с Q , т. е. явл яется диагональной .
В	общем		случае,	когда ортогональны й оператор Р действует в
n -мерном		евклидовом		пространстве, сущ ествует ортонорм ированны й
базис ei,		е 2,	..., е п, в котором м атри ц а оператора Р имеет вид
(	1			\
	1

-1

cosipi — s m ^ i

s i n ( p i — c o s ( ^ i

cos (pk — sm Lpk

sh u p k - cos (pk J

Вэтой м атрице все элементы , кром е вы писанны х, равны нулю . Таким образом , в некотором ортонорм ированном базисе действие

ортогонального оператора сводится к последовательны м поворотам и

отраж ен и ям относительно координатны х осей.

Г Л А В А б

И Т Е Р А Ц И О Н Н Ы Е М Е Т О Д Ы Р Е Ш Е Н И Я Л И Н Е Й Н Ы Х С И С Т Е М И З А Д А Ч Н А С О Б С Т В Е Н Н Ы Е З Н А Ч Е Н И Я

В настоящ ей главе изучаю тся различны е м етоды реш ения системы линейны х уравнений с вещ ественны ми коэф ф ициентам и относительно неизвестны х, такж е принимаю щ их вещ ественны е значения.

Все используемы е на п рактике методы реш ения систем линейны х уравнений мож но раздели ть на две больш ие группы : т очны е методы

иит ерационны е методы .

Под т о ч н ы м методом реш ения поним ается метод, теоретически позволяю щ ий получить точны е значения неизвестны х в результате

проведения конечного	числа ариф м етических	операций. П римером
точного м етода м ож ет	служ ить излож енны й в	гл. 3 метод, основан

ный на применении ф орм ул К р ам ер а *).

И т ерационны е методы позволяю т получить искомое реш ение лиш ь в виде предела последовательности векторов, построение которы х про изводится в помощ ью единообразного процесса, назы ваем ого процес сом итераций (последовательны х приближ ений). И терационны е мето

ды весьм а удобны д л я использования современной вы числительной

техники.

И злож ению наиболее употребительны х итерационны х методов ре

ш ения линейны х систем посвящ ен § 1 настоящ ей главы .

И терационны е методы находят ш ирокое применение и при реш е

нии другой	важ н ой	вы числительной задачи	линейной	алгебры — так
назы ваем ой	полной	проблем ы собст венны х	зн а чен и й	(так назы ваю т

проблему оты скания всех собственны х значений и отвечаю щ их им соб ственны х векторов заданной м атрицы 12) ). В итерационны х м етодах

1)П рактически метод, основанный на ф ормулах Крамера, обычно не приме няется, ибо он требует проведения очень большого числа арифметических операций

изаписей. Более удобным является точный метод, основанный на последователь ном исключении неизвестных и называемый методом Гаусса (его изложение мож но найти, например, в книге Д .К . Ф аддеева и В.Н. Фаддеевой «Вычислительные методы линейной алгебры», Гостехиздат, 1963, гл. 2).

2)В отличие от этой проблемы, задачу отыскания некоторых (например, наи больших по модулю) собственных значений заданной матрицы называю т частич-

§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

175

собственны е значения вы числяю тся как пределы некоторы х числовы х последовательностей без предварительного определения коэф ф и ц и ен тов характеристического м ногочлена.

В § 2 настоящ ей главы разбирается один из самы х важ н ы х (наибо лее употребительны х на ЭВМ ) итерационны х методов реш ений полной проблемы собственны х значений — так назы ваем ы й м ет од вращ ений

(или	м ет од Я коби). Э тот метод применим ко	всякой сим м етричной
(или	к эрмитовой) м атрице, легко реализуется	на ЭВМ и всегда схо

дится. Он устойчив по отнош ению к ош ибкам округления результатов

п ром еж уточны х вы числений и обладает тем зам ечательны м свойст

вом, что наличие кратн ы х и близких друг к другу собственны х значе ний не только не зам едляет его сходимости, а напротив, ускоряет ее.

М етод вращ ений, предлож енны й	Я коби и известны й еще с середины
прош лого века, долгое врем я не	находил практического прим енения

из-за больш ого объем а вы числений, необходимых д л я его реализации . И лиш ь появление бы стродействую щ их электронны х вы числительны х м аш ин сделало его самы м эф ф екти вн ы м методом реш ения полной про блемы собственны х значений сим м етричны х и эрм итовы х м атриц.

§ 1. И терационны е м етоды р еш ен ия линейны х систем

I. М етод простой		итерации (метод			Я коби). Рассм отрим					к в ад
ратную	систему линейны х уравнений с вещ ественны ми коэф ф и ц и ен
тами (3.10) (см. и. 1 § 2		гл .З ), которую запиш ем					в	м атричном		виде
		А Х	=	F,						(6.1)
поним ая под А основную м атрицу системы
		« п	« 1 2		« 1 п
	А =	« 2 1	« 2 2		« 2 п
	А =
		« п 1	« п 2	• • •	« п п
					XI			h
а под X	и F векторы -столбцы вида X			=	Х2	F	=	/ 2	, первы й
а под X	и F векторы -столбцы вида X			=	,	F	=		, первы й
					Хп			fn

из которы х подлеж ит определению , а второй задан .

ной проблемой собственных значений.

176 ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

П редлагая однозначную разреш им ость системы (6.1), зам еним м ат

ричное уравнение	(6	.1 )	эквивалентны м			ему м атричны м	уравнени
ем X — X — т А Х	+	T F ,	в	котором через т обозначено вещ ественное
число, обы чно назы ваем ое ст ационарны м парамет ром .
С помощ ью этого последнего уравнения составим итерационную
последовательность векторов { Х к},					определив ее рекуррентны м соот
нош ением
Х к + 1 =		Х к	-	т А Х к	+ T F	(к = 0, 1, . .. )	(6.3)

при произвольном вы боре «нулевого» приближ ения X Q.

М етод простой итерации заклю ч ается в замене точного реш ения X

системы	(6.1) к - й итерацией Х к с достаточно больш им номером к.
О ценим	погреш ност ь Z k = Х к — X м етода простой итерации.

И з соотнош ений (6.3) и (6.1) сразу ж е вы текает следую щ ее м атри ч

ное уравнение д л я погреш ности	Z k \
Zk + 1 =	{Е - r A ) Z k ,	(6.4)

где Е — единичная м атри ц а порядка п.

Введем в рассм отрение норму вектора в пространстве Е п и опера

торную норму квадратн ой м атрицы порядка п. К а к обы чно, назовем

норм ой вект ора X число ||Х ||, равное корню квад ратн ом у из суммы

квад ратов координат этого вектора. Н азовем операторной нормой про

извольной м атрицы А число ||И ||, равное либо точной верхней грани

отнош ения ||А Х ||/||Х || на множ естве всех ненулевы х векторов X , либо (что то ж е самое) точной верхней грани норм ||И Х || на м нож естве всех векторов X , имею щ их норму, равную единице.

И так, по определению
1ДН = SUP	l “F jr -	(6 -5)
Х ф о	1 1 4 1
Н апомним, что д л я лю бой сим м етричной м атрицы А 3)		оператор

н ая норм а этой м атрицы р авн а наибольш ему по модулю собственному значению этой м атрицы (см. п. 4 § 5 гл. 5), т. е.

	\\А\\ =	ш ах \|Ав\|.	(6 .6 )
		S
И з (6.5)	вы текает следую щ ее неравенство, справедливое д л я лю бой
м атрицы А	и лю бого вектора X :
	\\А Х \\ ^	\\А\\ \|\|Ч \|.	(6.7)

3) М атрица А называется симметричной, если А = А ' .

§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

177

И з м атричного уравнения д л я погреш ности (6.4) и из неравенства (6.7) мы получим, что д л я лю бого ном ера к

		\\Zk + i\\		< \\Е		-	т А \\\\гк \\.		(6 .8 )
Д окаж ем теперь следую щ ую простую , но важ ную теорему.
Т еорем а		6.1. Д л я	того	чтобы			ит ерационная	последоват ель
ност ь (6.3) при лю бом			выборе нулевого п р и б ли ж ен и я					X Q и при дан
ном	зн а чен и и	парамет ра т сходилась					к т очном у реш ению X		сист е
м ы	(6 .1 ), дост ат очно,		чтобы было вы полнено условие
			р =	\\Е	-	тА\\ < 1 .			(6.9)
П ри эт ом последоват ельност ь					(6.3) сходит ся со скорост ью				геом ет
рической прогрессии со зн а м ен а т елем							р.
В случае,		если м ат рица А		я в ля е т с я си м м ет р и чн о й , условие я в

ля е т с я и необходим ы м условием сходим ост и ит ерационной последо

ват ельност и (6.3) при лю бом выборе нулевого приб лиж ения.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Д л я	установления достаточности		усло
вия (6.9) зам етим , что из	неравенства (6 .8 ) вы текает следую щ ее со
отнош ение:
\\z k \\< :\\E		-	тА\\к \\г 0\\.	( е л о )
И з (6.10) очевидно, что условие			(6.9) обеспечивает сходимость по
следовательности погреш ностей		Z и к нулю со скоростью геом етриче
ской прогрессии со знам енателем р.

В случае, если м атри ц а А явл яется сим метричной, будет сим м ет ричной и м атри ц а Е — т А, а поэтому в силу (6 .6 ) условие (6.9) м ож но

переписать в эквивалентном виде
р = m ax \| 1 — r \ s \ < 1	(6 .1 1 )
S
(здесь через {АД обозначены собственны е значения м атрицы А ).
У бедимся в том, что условие (6.11) явл яется	необходимым усло
вием сходимости к нулю последовательности { Д Д	при лю бом вы боре

нулевого приближ ения X Q. П редполож им , что условие (6.11) не вы

полнено. Тогда сущ ествует собственное значение As , удовлетворяю щ ее

неравенству | 1 — r \ s \ ^ 1 . О бозначим через X ^ отвечаю щ ий это

му собственному значению собственны й вектор м атрицы А и выберем


нулевое приближ ение X Q так, чтобы			Z Q совпало с Х ^ 8\		Тогда, после
довательно зап и сы вая		соотнош ение	(6.4)	д л я номеров	1, 2, ... ,	к , мы
получим, что Zk = (1		— тХ8)кZ$. И з последнего соотнош ения в силу
неравенства \| 1 — тXs \		^ 1 вы текает, что		\|\|Z^\\ не стрем ится к		нулю
при к	оо. Т еорема 6.1 доказана.

12 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к

178 ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

С разу ж е зам етим , что д л я п рактических целей недостаточно уста

новить только ф а к т сходимости последовательности итераций. Ц ен тральной задачей численны х методов явл яется оценка скорости схо

дим ости. О чень важ н о знать, как наилучш им способом распорядиться

стационарны м парам етром т д л я того, чтобы получить наиболее бы

струю сходимость. О становим ся на этом вопросе подробнее.

П усть зад ан а ^-точность, с которой нам требуется получить точное

реш ение системы

(6.1). Т ребуется

найти итерацию

Х/щ

таким

номе

ром

к , д л я которого

I I ^ I K

e n ro ll.

(6.12)

И з

(6.9) и

0 )

вы текает, что \\Zk\\

^ р к ||^о|| и,

стало

бы ть,

(6 .1 2 )

вы полняется

при

р к ^ г, т. е. при к

1 п (1

/ г ) / 1 п (1

/р ).

О тсю да видно, что д л я ум еньш ения числа итераций к , достаточны х

д л я достиж ения

требуемой ^-точности, следует вы брать

п арам етр т

так, чтобы получить минимум ф ункции р

= р (т)

\\Е

— тА ||.

С читая

м атрицу

А сим м етричной

и полож ительна определенной,

мы

приходим

следую щ ей

задаче

оптимизации:

найти минимум

ф ункции

m in р (т) =

m in ||Е

— тА\\ = m in {m ax |

— T As |}.

Реш ение

этой

несколько более

общей задачи, предлож енное

А .А . С ам арским ,

излагается в следую щ ем

пункте. Там будет доказа

но, что указанны й минимум

ф ункции р =

р (т) достигается д л я зн а

чения т =

( 7 1

7 2 ), где 7 i и 7

2 — соответственно м инимальное и

м аксим альное собственны е значения м атрицы А, причем минимальное значение ф ункции р (т) равно

i _	л	72	-	71
	7 2	72	-	71
1 +	21	7 2	+	7i ’

2.Общий неявный метод простой итерации. С нова обратим ся

к реш ению линейной системы (6 .1 ), но на этот раз заменим итераци

онную последовательность (6.3) более общей итерационной последова тельностью , определяемой соотнош ением

B X k +i - Х к + А Х к =	(бЛ З)
т

в котором В представляет собой некоторую «легко обратимую » к в ад ратную м атрицу n -го порядка, а т — стационарны й парам етр . Такой

§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ	179
метод составления итерационной последовательности	и н азы вается

неявны м м ет одом прост ой ит ерации. Рассм отренны й в преды дущ ем пункте явны й метод простой итерации получается из неявного метода

в частном случае В = Е , где Е — единичная м атри ц а порядка п.

Д л я того чтобы сф орм улировать в удобной д л я прилож ений ф орм е условие сходимости общ его неявного м етода простой итерации, напо

мним некоторы е понятия, введенны е в преды дущ ей главе.

Н апомним,	что	м атри ц а А назы вается полож ит ельно определен
ной , если ( А Х ,	X )	> 0 д л я лю бого ненулевого вектора X . В гл. 5 бы ло

доказано, что необходимым и достаточны м условием полож ительной

определенности

сим м етричной м атрицы А

(или, что то ж е самое, са

м осопряж енного

линейного

оператора А)

явл яется полож ительность

всех собственны х значений этой м атрицы

(этого оператора).

Е сли м ат рица А

я в ля е т с я полож ит ельно

определенной,

то м ы

договоримся писат ь

неравенст во

> 0.

Д а ле е

договоримся

писат ь

неравенст во В > А

(и ли

< В )

в случае, если В — А > 0 (т. е. если

м атри ц а В

— А явл яется полож ительно определенной).

Д окаж ем следую щ ую зам ечательную теорем у 4) .

Теорема 6.2 (теорем а А .А. С ам арского). П уст ь

м ат рица А

я в

ля е т с я си м м ет ричн ой и вы полнены

условия А

> 0,

В > 0 (си м м ет

ричност ь м ат рицы

В , вообще говоря, не предполагает ся).

Тогда для того чтобы ит ерационная последоват ельност ь,

опреде

ля е м а я соот нош ением

(6.13)

при лю бом

выборе нулевого

п р и б ли ж ен и я Х 0 сходилась к т очном у

реш ению X

сист ем ы А Х

F , дост ат очно, чтобы были вы полнены

условия

2 В

> тА,

тА >

0 .

(6.14)

П ри дополнит ельном предполож ении о т о м , чт о м ат рица В

я в

ля е т с я си м м ет р и чн о й , условия

(6.14) не

т олько дост ат очны ,

но и

необходимы для сходим ост и указанной ит ерационной последоват ель


ност и при лю бом выборе нулевого п р и б ли ж ен и я Х			0.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		1) Д о с т а т о ч н о с т ь . П реж де всего		оценим
погреш ность Z	= X	— X . Т ак как X удовлетвовлетворяет уравне
нию А Х = F ,	а Х ^ соотнош ению (6.13), то д л я Z		получим	соотно-

4)Эта теорема является частным случаем доказанного известным советским

математиком А.А. Самарским значительно более общего утверж дения. (С амар ский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.)

12*

180

ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

ш ение

B Zk + i------Zk_ +

A Z k

(6.15)

Установим д л я погреш ности Z

так назы ваем ое основное эн ергет и

ческое соот нош ение.

У м нож ая

(6.15) скалярно на вектор

2(Zfe+ 1 - Zk) = 2r Zk + 1 ~

Zk.

получим равенство

2^_

| ^Zk-\-i

Zk-i-i

(AZk,

---X

= o.

(6.16)

Если

воспользоваться

обозначением

С =

— тА и соотнош ением

Zk =

Z k - \ - 1

“I-

_ Z k - \ - 1

’

то равенство

(6.16) мож но переписать в виде

Г ( c Zk + 1 ~

Z \

Zk + 1 ~

Z k ^j +

(A ( Z k + 1

Z k),

Z k + 1 -

Z k )

= 0.

(6.17) Д алее зам етим , что в силу сим метрии м атрицы А второе слагае мое в (6.17) равно (A Z k + i, Zk + 1 ) — (AZk, Zk). Это приводит нас к

основном у энергет ическом у соот нош ению :

Г ( c Zk + 1 ~ Z k , Zk + 1 ~ Z k ) + (A Z k + 1, Z k + 1) = (A Z k , Z k).

(6.18) Д л я доказательства достаточности условий (6.14) остается с помо

щ ью основного энергетического соотнош ения д оказать									сходимость к
нулю последовательности {\|\|Z ^\|\|}.
И з	основного	энергетического			соотнош ения			и	из	полож и
тельной	определенности			м атрицы	С =	2 В — тА		вы текает,			что
(A Z k + i,	Zk + i) ^	(AZk,	Zk), т. е. вы текает			невозрастание последова
тельности {( AZ k ,		Zk)} .	И з	условия	А > 0	вы текает,		кроме		того,	что
эта последовательность ограничена снизу нулем,							а поэтом у			сходится.
Но тогда из основного энергетического						соотнош ения			следует,		что
	П т	( c Zk + 1 ~ Z k ,			Zk + 1 ~ Z k )		=	0.		(6.19)
	fc—5>00 \			Т	Т	J

Н апомним, что д л я полож ительно определенной м атрицы С всегда найдется 8 > 0 такое, что ( С Х , X ) ^ 8 (X , X ) д л я лю бого вектора X

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf