книги / Линейная алгебра.-1

1. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

91

векторов. С калярное произведение лю бы х

двух векторов

определим

так, как это бы ло сделано в аналитической

геом етрии (т.

е. как про­

а ^ t ^ Ъ. С калярное произведение двух

таких ф ункций x ( t ) и у (t)

определим как интеграл (в пределах от а

до b) от произведения этих

ф ункций

f x ( t ) y (t) dt.

(4.1)

вещ

ественны х чисел,

скалярное

произведение двух лю бы х элементов

х =

(жь ж2, . . х п ) и

у = (2/1 ,

2/2 , • • Уп) которого определяется р а ­

92

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

венством

(х, у) = адщ + Х2У2

+ • • • + Хп у п .

(4.2)

(жЬ Х2 , ■■

Хп ) + (у ь

У2, ■■ Уп) =

=

P i

+ У1,Х2 + У2, ■ ; Хп

+

Уп),

А(ж1 , х 2, . .

х п )

=

(Ажь Аж2, .

Ах„));

наконец, справедливость аксиом ы 4°)

вы текает

из того, что (х, х)

=

=

х \

+ х \

+ . .. +

х 2п

всегда

явл яется

неотрицательны м

числом

и

обращ ается в нуль лиш ь при условии ад

— х^

— . . . =

х п

=

0.

Р ассм отренное в этом примере евклидово пространство часто обо­

значаю т символом Е п .

П р и м е р

4. В том

ж е самом линейном пространстве

А п

введем

скалярное произведение

лю бы х

двух

элем ентов

х

=

(ад, ад,

• • •, х п )

и у

=

(a/i, г/2 ? * * * 5 Уп)

не соотнош ением (4.2),

а другим , более общим,

способом.

Д л я этого рассм отрим квадратн ую м атрицу порядка п

а ц

а\ 2

CL\n

А

=

&21

&22

• •

ОДп

&п1

&п2

• •

^пп

С оставим с помощ ью

м атрицы

(4.3)

однородны й

м ногочлен

второго

порядка относительно п

переменны х ад, ад, ... ,

х п

п

п

Е Е aikXiXk .

(4.4)

ной ф ормой (порож даем ой м атрицей (4.3))

3) .

К в ад р ати ч н ая ф о р м а (4.4) назы вается

полож ит ельно определен­

чений

переменны х ад, ад, ... , жп , одновременно не равны х нулю 4) .

3)

К вадратичны е формы систематически изучаю тся в гл. 7 этой книги.

4)

В гл. 7 этой книги будет указано необходимое и достаточное условие поло­

1. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

93

Т ак как при х \

— х^ — . . .

=

х п

= 0 к вад р ати чн ая ф о р м а

(4.4), оче­

видно, р авн а нулю, то мож но сказать, что полож ит ельно

определен­

ная квадрат ичная форма обращает ся в н уль ли ш ь

при условии х \

—

= х 2 = . .. = х п = 0.

П отребуем,

чтобы м атри ц а

(4.3) удовлетворяла

двум

условиям .

1°)

П ор о ж д ал а полож ительно

определенную квадрати чн ую

ф ор-

му

(4.4).

2°)

Б ы л а сим м етричной

(относительно главной

диагонали), т. е.

удовлетворяла

условию

=

а/д д л я всех г =

1, 2 , . . . ,

п и

fc

=

=

1, 2,

... , п.

С помощ ью м атрицы

(4.3),

удовлетворяю щ ей

условиям

1°)

и

2°), определим

скалярное

произведение двух лю бы х элементов

х

=

=

(жь

Ж2 , ... ,

х п )

и у =

(2/1

, 2/2 ?

• • •? Уп) п ространства А п

соотнош е­

нием

п

п

(х, у)

=

X! У

a ikx iVk•

(4.5)

i = l k = l

Л егко

проверить

справедливость

д л я

так определенного скалярного

произведения всех аксиом

1 °)-4°). В

самом деле, аксиом ы

2°)

и 3°),

очевидно, справедливы при соверш енно произвольной м атрице

(4.3);

Таким

образом, пространство А п

со скалярны м произведением ,

определяем ы м равенством

(4.5), при условии сим м етричности

м атри ­

цы (4.3)

и

полож ительной

определенности

порож даем ой

ею

к в ад р а ­

тичной ф

орм ы , явл яется евклидовы м пространством .

Если

в

качестве м атрицы (4.3)

взять

единичную

матрицу, то

(х, у )2 ^ (х, х) (у, у),

(4.6)

назы ваем ое неравенст вом К ош и -Б ун яковского .

Л, в силу

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д л я лю бого вещ ественного числа

94

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

— у, Ах — у)

^

0. В силу аксиом 1°)-3 °), последнее неравенство м ож но

переписать в виде

А2(х, х)

-

2А(х, у) +

(у,

у) ^ 0.

Н еобходимым и достаточны м

условием

неотрицательности

последне­

го квадратн ого трехчлена явл яется неполож ительность его дискрим и ­

нанта, т. е. неравенство 5)

(х, у ) 2 -

(х, х )(у ,

у)

«С 0.

(4.7)

И з

(4.7)

сразу

ж е

вы текает

неравенство

(4.6). Т еорема

доказана.

Н аш а очередная зад ач а — ввести в произвольном евклидовом про­

странстве

понятие норм ы (или длины )

каж дого элемента. Д л я этого

введем понятие линейного норм ированного пространства.

О п р е д е л е н и е . Л инейное пространство R назы вается норм ирован ­

ны м , если вы полнены следую щ ие д в а требования.

I. И меется

правило, посредством которого каж дом у элементу х

п ространства R ставится в соответствие вещ ественное число, н азы вае­

мое норм ой

(или длиной) указанного элемента и обозначаем ое симво­

лом

||х ||.

II. У казанное правило подчинено следую щ им трем аксиомам:

1°) ||х||

>

0, если х — ненулевой элемент;

||х|| = 0, если х — нулевой

элемент;

2°) ||Ах||

=

|А| ||х|| д л я лю бого элем ента х и лю бого вещ ественного

числа А;

3°) д л я лю бы х двух элементов х н у

справедливо следую щ ее нера­

венство

Цх +

у|| ^ ||Х|| +

||у||,

(4.8)

назы ваем ое неравенст вом т реугольника

(и л и неравенст вом М инков­

ского).

Т е о р е м а

4 .2 . В сякое евклидово пространство явл яется

норм иро­

ванны м, если в нем норму лю бого элем ента х определить равенством

||х||

= л /(х ,

х ).

(4.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д остаточно доказать, что д л я нормы , опре­

деленной

соотнош ением (4.9),

справедливы

аксиом ы 1°)-3°)

из опре­

деления норм ированного пространства.

5)

В случае ( х ,

х ) = 0

квадратны й трехчлен вы рождается в линейную ф унк­

цию, но в этом случае элемент х

является нулевым, так что ( х , у ) = 0

и неравен­

ство (4.7) такж е справедливо.

1. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

95

С праведливость д л я

норм ы аксиом ы 1°) сразу вы текает

из ак ­

сиомы 4°) скалярного

произведения. С праведливость

д л я

нормы

аксиом ы 2°) почти непосредственно вы текает из аксиом

1°) и 3°) ска­

лярного произведения.

О стается

убедиться в справедливости д л я норм ы аксиом ы 3°), т. е.

неравенства

(4.8). Будем опираться на неравенство

К ош и -Б ун яковс-

кого (4.6), которое перепиш ем в виде

|Д А К УААУУДА).

(4.7')

+ у|| =

У ( х + у,

х +

у)

=

У (х , х) + 2(х,

у)

+

(у, у)

^

X, X) +

л / (х,

х) • У (у,

у)

+

(у,

у)

=

-1 2

= У Д А )

+ У Д А ) = Цх|| +

У Д А ) + У (у, у)

Т еорема доказана.

С л е д с т в и е .

Во

всяком

евклидовом

прост ранст ве

с норм ой

элем ен т о в,

определяем ой

соот нош ением

(4.9),

для лю бы х

двух

эле ­

м ент ов х и у справедливо неравенст во т реугольника

(4.8).

Зам етим

далее, что в лю бом

в е щ е с т в е н н о м

евклидовом

про­

странстве мож но

ввести понятие угла м еж ду двум я

произвольны м и

алгеброй, мы назовем угло м

(р м еж ду элементами х н у

тот (изм еня­

ю щ ийся в пределах от 0 до

я) угол, косинус которого

определяется

соотнош ением

(X, у)

(х, У)

COS(f =

У Д А ) У Д А )

|х||||у||

96

ГЛ. 4. ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

Зам етим ,

что

во всяком

евклидовом

пространстве

справедлива

т еорема Пифагора: квадрат

гипот енузы

равен

сум м е квадрат ов ка­

т ет ов. В самом деле, поскольку х и у

ортогональны и (х, у)

=

0, то

в силу аксиом и определения норм ы

11х

+ у112

=

( х

+

у , X

+

у )

=

=

( х ,

х )

+

2 ( х , у )

+

( у ,

у ) =

( х ,

х ) +

( у , у ) =

||х||2

+

||у||2 .

Э тот результат обобщ ается и на п

попарно ортогональны х элемен­

тов

x i , х 2, . .. , х п : если

z

=

x i

+

х 2

+

. ..

+ х п , то

||z||2 = ( x i +

Х 2

+ . . .

+

Х „ ,

X I

+

х 2

+ . . . +

х „ ) =

= ( х ь X i ) + ( х 2 , Х 2 ) + . . . + ( х „ , х п ) =

=

l|X l ||2

+

11Х2 112 +

. . . + ||х„||2 .

В заклю чение запиш ем норму, неравенство К ош и -Б ун яковского и

неравенство треугольника в каж дом

из конкретны х евклидовы х про­

странств, рассм отренны х в преды дущ ем пункте.

В евклидовом

пространстве

всех

свободных векторов с обы чны м

его

длиной |а|, неравенство

К ош и -Б ун яковск ого приводится

к

виду

(а,

Ь )2

^

|а|2 |Ь |2 6) , а неравенство

треугольника — к виду |а

+

Ь| ^

^

|а| +

|Ъ| 7).

В евклидовом пространстве С [а, Ь] всех непреры вны х на сегменте

а

^

t ^

b ф ункций х = х

(t)

со скалярны м произведением (4.1) норм а

элемента х

= х (t) р авн а

\ J

х 2 (t) d t, а неравенства К о ш и -Б у н я ко в ­

ского и треугольника имею т вид

пЪ

пЪ

^

/

х 2 (t) dt /

у 2 (t) d t,

J a

J a

dt.

О ба эти неравенства играю т важ ную

роль в разли чн ы х разделах м а­

тем атического анализа.

6) Д ля

скалярного произведения

векторов ( a , b) =

|а | |b| cos ip это

неравен­

ства

изучаю тся

в главах 10 и 11 вы пуска

«О сновы

м атем атического

ан али за, часть

2».)

1.

П о н я т и е о р т о н о р м и р о в а н н о г о б а з и с а

и е го с у щ е с т в о в а ­

н и е .

В гл. 2 бы ло введено понятие базиса

n -мерного линейного про­

О п р е д е л е н и е . Будем говорить,

что п элементов e i, в 2 , ... , е п

n -мерного евклидова п ространства Е

образую т ортонор м и р ованны й

что эти элем енты e i, в 2

, ... ,

е п линейно

независимы , т. е. что

равен ­

ство

оде 1

+ ex2 G2 + . ..

+

а пе п

— О

(4.11)

возм ож но, лиш ь когда ад

=

— . ..

=

а п =

0.

Д окаж ем

это. П усть

к — л ю б о й

из

номеров

1, 2, ... , п.

У мно­

ж а я равенство (4.11) скалярно на элем ент

е к

и пользуясь аксиом ами

скалярного произведения

и

соотнош ениям и (4.10),

мы получим, что

а к = 0.

Д окаж ем теперь следую щ ую основную теорему.

Т е о р е м а

4 .3 . Во всяком

п -м ер н о м

евклидовом

прост ранст ве Е

сущ ест вует

ортонор м ир ованны й базис.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно определению разм ерности

в про­

странстве Е

найдется п линейно независим ы х элементов f i , f2 , . .. , fn .

П роведем

доказательство возм ож ности

построения таких элемен­

тов e i, в 2 , ... ,

е п методом м атем атической

индукции.

100

ГЛ. 4.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

ной норме этого,

заклю

ченного в к вад ратн ы е скобки, элемента. П ри

61

л / Р ъ Т ) ’

е 2

=

,

. ,

m e g 2

=

f2

-

(f2, e i)e i;

V (§2 j § 2 )

е з

=

h 3

. ,

где

g 3

=

f3

-

(f3, e 2 )e 2

-

(f3, е Д е д

V (бз, gs)

e n

—

/т--------- r-5

где

g n

—

fn

(fn , e n _ 1

)e n _ 1

. ..

(fn , (Д ) e i .

V (gП) gn)

У казанны й

алгоритм обы чно назы ваю т

процессом орт огонализа-

ци и линейно независим ы х элементов f i , f2, ... ,

fn .

З а м е ч а н и е . К онечно, в каж дом n -мерном евклидовом простран ­

е1

=

(1, О, О, . . 0 ) ,

е2

=

(0, 1, 0, . . 0 ) ,

е„

=

(0, 0, 0, . . 1 )

щ ественны х чисел со скалярны м произведением

(4.2).

2.

С войства

ортонорм ированного

базиса.

П усть

e i, е 2, ... , е п — произвольны й

ортонорм ированны й базис

п -мерного

евклидова п ространства Е ,

а х и

у —д в а произвольны х

элемента

этого

пространства. Н айдем

вы раж ение скалярного

произведения

(х, у)

этих элементов

через

их

координаты

относительно

базиса