Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

191

ленная м атри ц а В 1! 2 такая, что В 1! 2 • В 1!2 — В . К а к и выш е, догово

рим ся обозначать символом В ~ 1 / / 2 матрицу, обратную к м атрице В 1!2.

Д л я оценки норм ы погреш ности Zk сделаем замену, полож ив Zk

= В ~ х!2 • Vfc. П ри такой замене соотнош ение д л я погреш ности

пе

реходит в следую щ ее соотнош ение д л я У/д

Vk + i = ( Е - r k + 1C ) - V k (к = 0 , 1 , 2 , . . . ) ,

где через С

обозначена м атри ц а вида С

В ~ х!2

• А

• В ~ х!2. Убе

дим ся в том, что к вад р ат обы чной норм ы вектора V*. равен квад р ату

энергетической норм ы вектора Z\~. В самом деле,

НИН2 =

(Vfc, v

k ) = ( B ^ 2Z, B 1/ 2Z )

(B Z k , Z

k )=

\\zkB2\.

Таким образом, д л я оценки энергетической норм ы Z к достаточно оце

нить Обычную НОрму Vjfe.

О ценим

норму

||Т4||.

П реж де

всего

зам етим ,

что

из

нера

венств 7 i ( В Х , X ) ^

( А Х ,

X ) ^ 7 2

(5 Х , X )

с помощ ью зам ены X

= В ~ х! 2 • У

получаю тся неравенства 7 1 (У, У ) ^

(СУ, У)

(У, У ).

П оследние неравенства эквивалентны тому, что 7

1 Е

Е . П о

скольку, кроме того, м атри ц а С =

В ~ 1 / / 2

• А • В ~ 1 / / 2

сим м етрична, то

все собственны е значения этой м атрицы вещ ественны и располож ены

на отрезке [7 1 , 7 2 ]. П оследовательно	зап и сы вая соотнош ение Vk + i =
= ( Е — Tk + i'C )V k д л я номеров к = 0	, 1 , ... , мы придем к следую щ ему
равенству:

Vfc= П (Д- TjC) •Гь

J —1

из которого сразу ж е вы текает, что

	НИН^		П	(Я - ГХ )	ЦГо\|\|.
			3 = 1
Но тогда из равенства		\|\|Ч \|\|	=	\|Щ *\|Ы вы текает, что \\Zk \\B ^		% \|Е о \|\|в ,
где qk	и - = л Е	r j C)	. С ледовательно, итерационны й			процесс
	и - = л Е

сходится при условии, что последовательность {qk} стрем ится к нулю, причем тем бы стрее, чем меньш е величины

П оскольку	каж дое значение qk явл яется	ф ункцией п арам ет
ров т\ , Т2 , ... ,	Тк, возникает зад ач а построения	оптим ального набора

итерационны х парам етров из условия м инимум а qk д л я ф иксирован ного к. П ерейдем к реш ению этой задачи .

192 ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

П редполож им , что все собственны е значения As м атрицы С леж ат

на заданном сегменте [7			1 , 7 2 ]. У чи ты вая симметрию				м атрицы С , мы
приходим к следую щ ей задаче оптим изации: найти
m in qk ( п , т2, .	. тк)	=
{Tii
=	m in	П	т -	ri O	m in	m ax	П а
	И;}	П	т -	ri O	И;}	s	П а
		з = 1				з = 1
П оскольку все	As леж ат		на отрезке		[7 1 , 7 2 ], то расш и ряя область, по
которой берется м аксимум, мы получим , что
m in qk ( п , т2, . .			тк) ^	m in	m ax	Г У 1 - тА
{л}				(тТ	7 1 ^ £ ^ 7 2	Г У 1 - тА
						j —1

П олученная огрубленная зад ач а имеет более простое реш ение. К ром е

того, при реш ении такой задачи не используется ин ф орм ац и я о кон кретном располож ении собственны х значений As на отрезке [7 1 , 7 2 ],

а учиты ваю тся лиш ь границы этого отрезка. Такой подход позволяет

построить набор оптим альны х парам етров д л я

м атриц произвольной

структуры .

П ерейдем к реш ению указанной огрубленной задачи оптим изации.

П олож им Р

(t )

= r i j = i ( l — rjt) и зам етим , что полином Р

(t ) удовле

творяет условию норм ировки Р (0) =

1. С помощ ью зам ены перемен

ной

t = 2 ^! + 72 - S(71

- 72)]

7 2 + 71 Л _ s l2 - 71

1 ~ S p 0

7 2 + 7 1

где

2 —

7 1

отобразим

отрезок

^ t

------------ , To

-------------, мы

7 1

7 2

7 1

7 1 +

7 2

отрезок —1

^ S

^ 1 , причем точка t

0 переходит в точку S

1/po >

1- П ри такой

замене рассм атри ваем ая зад ач а оптим изации

переходит в следую щ ую

задачу: среди всех полином ов

Pk (S )

ст епе

ни

к ,

удовлет воряю щ их условию норм ировки

Pk (1 /ро)

1 , найт и

т акой , длл

которого m a x ^ ^ ! |P ( S ) |

м и н и м а лен .

Таким

полиномом,

как

известно,

явл яется полином

Ч ебы ш ева

Р Д Д

T*(S) -[Г* (So)]-1, где

Т ( 5 )

cos(/r arcco sS )

при

|5 |

1 ,

1 [(S + v s 2 - l ) fc + (S - ч /5 2 - l ) fc] при |5 | > 1.

§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

193

Т ак как m a x ^ ^ !

|Т/, (S) |

1, то

m in

m ax

| Р к (t)|

Tk (S0y

{rj }

71^^72

причем

qk =

2Р\

где pi

V b

л/71

T k ( s 0)

+ Pf —

у ъ + у т х

Д л я вы числения оптим ального набора парам етров будем исходить

из равенства

P k ( t ) =

Па тД ) — Qk^k

Tot

Ро

з = 1

(мы учли, что S

-------- —

Приравня ем корни полиномов, стоящ их

Ро

равенства. Т ак

как

полином

в левой и в правой частях этого

Р^ (t)

имеет

корни tj

1 / TJ

, 2

, . . . , &) ,

а полином Тk (S) имеет кор-

ни

( .

7 Л

то

1 -

PoS

b j

= cos — ——

7Г (j

1 , 2 , . . . ,

к),

учи ты вая, что t

-------------,

S j ро ..

-I

Го

, 2 , ... ,

получим — = --------- -— [j =

к; b j определены

вы ш е).

Т3

Т0

И так, оптим альны м и значениям и итерационны х парам етров будут

значения т,

г°

, где

cos

2J -

, j

g g

= 1 ,

2 , ... ,

к.

И терационны й

процесс с указанны м

оптим альны м

набором

п ар а

м етров назы вается чебы ш евским .

М ы приходим к следую щ ей теореме.

Т еорем а 6.4. Е сли м ат рицы А и В

сим м ет ричн ы и п о ло ж и т ель

но определены и если j± B

А ^

д2^ ,

то чебы ш евский ит ерационны й

процесс сходит ся

и для погреш ност и Zk после вы полнения к ит ера

ц и й справедлива оценка

\ в

^ q k \\Z0\\в ,

где qk

2Р\

при pi

л/ 72

л/тГ

1 + p(k

772 +

yfn

Если в качестве условия окончания процесса взять д л я заранее за

данной ^-точности

требование

| ^

| | б

£ | | ^ о || б

, т о и з

теорем ы

6.4

получается

д л я

числа итераций

следую щ ая оценка: к

ко (е)

l n ( e / 2 ) /

1 п щ . С равн и вая

эту

оценку

с установленной

вы ш е

оцен

кой числа

итераций д л я

м етода

простой

итерации

ко (е)

l n e / l n p o 5 мы получим, при условии, что величина £

7 2

/ 7 1

м ала,

13 В.А . И л ьи н, Э.Г. П о зн я к

194	ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
что ко (г) «	1 п (2 /Д /2 Д £ . С равнение этих оценок указы вает на преим у
щ ество чебы ш евското м етода (в случае, когда величина £ = 7		2 / 7 1
м а л а).
О писанны й нами чебы ш евский м етод известен еще с н ач ал а		50-х
годов. И ногда его назы ваю т м ет одом Ричардсона.

С ледует отм етить, что мы изучили этот метод д л я идеального вы числительного процесса с бесконечным числом знаков, в то врем я как на ЭВМ вы числения ведутся с конечны м числом знаков, в связи с

чем имею тся числа, являю щ иеся м аш инной бесконечностью и м а

ш инны м нулем. Если в процессе вы числений на ЭВМ появляется чис ло М , превосходящ ее М ^ , то происходит аварийны й останов м аш ины (авост).


С точки зрения	идеального вы числительного процесса значения
итерационны х парам етров TJ		м о ж н о упорядочить как угодно (лю бым
из к\ способов). Л ю бы е две		последовательности итерационны х п ар а
м етров {тД с т о ч к и	зрения идеального вы числительного процесса эк
вивалентны , ибо д л я	них требуем ая ^-точность достигается за одно и

то ж е число итераций.

Но при вы числении на ЭВМ различны е последовательности п а рам етров {тД не эквивалентны . Д л я одних последовательностей зн а чений {тД м ож ет произойти аварийны й останов маш ины вследствие роста п ром еж уточны х значений. Д л я других последовательностей зн а

чений {тД аварийного останова м аш ины не происходит, но в связи с немонотонны м характером стрем ления к нулю погреш ности Z/., т. е. вследствие того, что норм а м атрицы Е — TjC перехода от (j — 1 )-й

итерации к j -й м ож ет бы ть больш е единицы, д л я этой погреш ности не справедлива установленная нам и д л я идеальной ситуации оценка.

В следствие указанны х обстоятельств возникает теоретическая про б л е м а — указать такой наилучш ий закон упорядочения значений {тД , при котором д л я чебы ш евского м етода бы ло бы наим еньш им влияние ош ибок округления.

И счерпы ваю щ ее реш ение этой проблем ы м ож но найти в книге А .А . С ам арского «Теория разностны х схем» (М.: Н аука, 1977. С. 572 и д а л ее).

§ 2. Р еш ен и е полной проблем ы собственны х значений м етодом вращ ений

Р ади простоты сн ачала будем рассм атри вать		вещ ественную		сим
м етричную	м атрицу А , определяемую равенством	(6 .2	). Зам етим , что
оты скание	всех собственны х значений и собственны х		векторов	этой

2. МЕТОД ВРАЩЕНИЙ

195

м атрицы сводится к оты сканию такой ортогональной м атрицы Т , д л я

которой произведение
D = Т 'А Т	(6.29)

представляет собой диагональную матрицу. В самом деле, если такая ортогон альн ая м атри ц а Т будет найдена, то диагональны е элем енты

м атрицы D будут явл яться собственны ми значениям и м атрицы		А , а
столбцы м атрицы Т	будут явл яться соответствую щ ими собственны ми
векторам и м атрицы	А 13) .
Введем в рассм отрение сф ерическую норм у м атрицы А:
	1 1 / 2
	1Д11сф
Тогда, очевидно,	д л я диагональны х элементов м атрицы А	будет
справедливо неравенство

(6.30)

причем это неравенство переходит в точное равенство только в случае, когда м атри ц а А явл яется диагональной .

	Зам етим	теперь,		что	при	орт огональном преобразовании					м а т
рицы А (т.		е.	при	преобразовании			вида	А	=	U A R ,	где U
и	R — ортогональны е			м атрицы ) сф ерическая				норма		эт ой м ат рицы
не	и зм ен яет ся		14) .	О тсю да		следует,	что	от	всех	ортогональны х
преобразований			м атрицы		А	преобразование		(6.29)		отличается тем,

что это преобразование делает м аксим альной сумму к вад ратов ди аго нальны х элементов преобразованной м атрицы и м инимальной — сумму к вад ратов всех внедиагональны х элементов этой м атрицы .

М етодом вращ ения назы вается итерационны й метод, при котором

у к азан н ая вы ш е м атри ц а Т находится как предел бесконечного про изведения элем ентарны х м атриц вращ ения, к аж д ая из которы х имеет

13) Д ля доказательства этого обозначим через A i, А2, . . Хп диагональные эле-

менты матрицы D и положим е*.		=	\|, где элементы е\ столбца е*.			удовлетво-
ряю т условию: е\ — 0 при	к Ф г	1 и ei	=	1. Тогда,	очевидно, D e k =	А&ед,, т. е.
Т 'А Т е к = Хке к, и так как	Т ' = Т ~ \		то	А Т е к =	ХкТ е к . Следовательно, Т е к

являю тся собственными векторами матрицы А.

14)В самом деле, если А = UAR, а символ tr С обозначает сумму всех эле

ментов матрицы С, лежащ их на ее главной диагонали, то ЦАЦ^ф						=tr(AfA)	=
=	t r ( R ' A ' U ' U A R )	= t r	( R ' A ' A R )	=	\|\|Л Д \|\|с2ф = \|\|(А К )'\|\|с2ф =	\|\|Я 'Т \|\|2ф	=
=	t r ( A R R ' A > ) = t r	( A A ' )	= \|\|А '\|\|2ф	=	\|Д \|\|2ф .

13:

196	ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
вид
	1	0
	1
	COS f	— sin(^
	1
Tij ( f )	—	(6.31)
		1
	sin f	COS f
		1
	0	1

В целом метод вращ ении состоит в построении последовательности

м атриц

А , А 1 , А 2 , . . A v , A v + 1 , . . ( 6 . 3 2 )

к аж д ая последую щ ая из которы х получается из преды дущ ей при по

мощи элементарного ш ага вида A v + 1

= Т[-Аф Тц.

Если д л я упрощ ения записи опустить индекс v

и рассм отреть один

такой ш аг А

T ^ A T ij, осущ ествляем ы й с помощ ью м атрицы (6.31),

то д л я элементов ац

преобразованной м атрицы А

мы получим следу

ющие вы раж ен и я через элем енты ац

м атрицы А:

при

k ф i, j, 1ф г, у,

ац

— ац cos(p

dji sin(p

при I ф г, j;

dji

—ац sin(^

aji cos f

при l ф

г, j\

ац

an cos f

aij sin(p

при l ф

г, j\

aij

— an sin(^

aij c o s f

при l ф

г, j;

^гг

(a^i cos

sin <p) cos

(a ^ cos f +

a jj

sin <p) sin f ;

dji

(—ац sin

aji cos f ) cos f

(— a^- sin

a jj cos <p) sin

djj

— (—aii sin f

+ aji cos f )

sin f

+ (—a^- sin

a jj cos f ) cos f \

dij

— (ац cos f

aji sin <p) sin f

(a^- cos

ajj

sin <p) cos f .

(6.33) И з соотнош ений (6.33) и из условия сим м етричности м атрицы А

вы текает следую щ ее легко проверяем ое равенство:

п п	п п		^
Е	= Е	- 2aii +	“ au)sin2<p + 2 а у c o s 2 ^ ]2.
/г = 1 / = 1	/г = 1 / = 1
k fl	k fl		(6.34)
			(6.34)

2. МЕТОД ВРАЩЕНИЙ

197

И з этого равенства вы текает, что д л я м аксим ального ум еньш ения суммы квад ратов всех внедиагональны х элем ентов необходимо м атри цу (6.31) вы брать так, чтобы бы ли вы полнены д в а т р е б о в а н и я :

1 ) ном ера i и j вы брать так, чтобы к вад р ат элем ента бщ, бы л наи больш им среди квад ратов всех недиагональны х элем ентов м атрицы А , т. е. вы бор номеров г и j подчинить условию

аЬ = Т 5 х аы '

кф1

2) угол поворота р в м атрице (6.31) вы брать так, чтобы бы ло спра ведливо равенство

(ctjj — a n )sm 2 (p + 2ац c o s2 p = 0.

(6.35)

Р авенство (6.35) однозначно определяет угол ср, удовлетворяю щ ий условиям

tg 2 ¥> = — ^	— ,	М ^ j .	(6.36)
O'ii	CLjj	^

Это равенство позволяет вы числять cos (р и sin (р по ф орм улам

c° s ^ = { 1 [i + ( 1 + Р 2)“ 1/2] }

snip = s g n p |^ ^1 — (1 + p2)- 1 /2

г д е р = 2 a ,ij/(au - a jj).

Зам етим , что если м атри ц а (6.31) вы брана так, что вы полнены ука занны е вы ш е требования 1) и 2), то равенство (6.34) переходит в сле дую щ ее соотнош ение:

п	п	п п
У	У У ы	— У , У , аы ~	(6.37)
к = 11 = 1		к = 1 1= 1
	кф1	кф1
в котором a,ij представляет		собой наибольш ий по модулю	внедиаго-

нальны й элемент м атрицы .

Теперь мы можем более точно сказать, что метод вращ ений состоит в построении последовательности м атриц (6.32), к аж д ая последую щ ая

из которы х получается	из	преды дущ ей посредством ортогонального
преобразования A v + i =	Т ц	• A v •	, в котором м атри ц а	(<р)

198 ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

вы бирается так, чтобы бы ли вы полнены указанны е вы ш е д в а требова

ния 15) .

Д окаж ем сходимость м етода вращ ений. О бозначим символом S y

сумму квад ратов всех внедиагональны х элем ентов м атрицы A v, а сим

волом	наибольш ий	по	модулю		внедиагональны й элемент этой
м атрицы .
Тогда в силу (6.37) справедливо равенство
	Q2	+ l	_ с2		о	1 2	(6.38)
	Q2		_ с2		о
	° v		— ° v	z

Д алее, поскольку общее число внедиагональны х элементов м атри

цы A v равно п (п — 1 ),	a a!f\ — наибольш ий по модулю из этих эле
ментов, то справедливо	неравенство

	,W			s i						(6.39)
	,W		п (п — 1 )


И з (6.38) и (6.39) вы текает неравенство
	< qZ	1	-		2					(6.40)
^V + 1 ^		1	-		— 1	)_				(6.40)
			п (п		— 1	)_
П оследовательно используя неравенство					(6.40), записанное д л я номе
ров 0 , 1 , ... , г, и обозначая через			S Q	=	S Q (А)		сумму квад ратов				всех
внедиагональны х элементов основной				м атрицы			А , мы		получим,		что
S' 2						-I V+ 1
S' 2	^ S o2 (А)	1	-							(6.41)
D v + 1	^ S o2 (А)		п (п		— 1	)
			п (п		— 1	)
И з неравенства (6.41)	сразу ж е	следует, что				H in d o o 5 2			+ 1 =	0, что и
доказы вает сходимость м етода вращ ений.
В качестве приближ енны х значений собственны х чисел м атрицы А
берутся диагональны е	элем енты		м атрицы A v ,				а в	качестве		прибли
ж енны х собственны х	векторов	м атрицы			А	берутся		столбцы		м атри-
цы T i1j 1 х Ti2j 2 . .. Tivj v.

Более точны е результаты получены В .В . В оеводиным 16) . Д л я слу

чая, когда произвольная (не обязательно сим м етричная) м атри ц а	А
15) Номера i и j на каждом шаге выбираю тся такими, чтобы наибольшим	по
модулю являлся внедиагональный элемент матрицы A v с этими номерами.

16) Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы . —М.: Н а ука, 1966.

2. МЕТОД ВРАЩЕНИЙ

199

не имеет ж ордановы х клеток и все ее внедиагональны е элем енты я в

ляю тся величинам и порядка г и м алы по сравнению с числом р =

=	min\i^\j \|Аi — Aj\|, В .В . Воеводин получил следую щ ие оценки:
	а) д л я собственны х значений оценку Ai = ац +	= i —агр(1рг---- \-
		СЬц	&рр
+	О (г3) (из указанной суммы исклю чаю тся значения р, п ри н адлеж а
щие м нож еству Щ тех чисел j = 1 , 2 , . . п, д л я		которы х Aj	= А^);

б) если Т — м атрица, столбцы которой являю тся собственны ми век торам и м атрицы Т и Т = Е + Н , где Е — единичная м атрица, то д л я элементов к ц м атрицы Н справедливы оценки

hij

—

О,

если

—

A j,

+ О (е2),

если Ai

&ii

CLii

Если А — к о м п л е к с н а я

э р м и т о в а

м атрица, то вместо м атри

цы

(6.31) следует взять унитарную м атрицу

cos <р

—sinpe^

Tij (р,

ф) =

sin

...

COS ip

(6.42)

П ри этом вместо равенства (6.34) мы придем к равенству

Е Е

2 ~ 2ia*ii2+

к = 1 1=1

кф1

2| C L ij

cos

j(У

2 /л _„i(2ip

а)

a ii) C0S(psin

р - е

—sin"

р • е

в котором через а обозначен аргум ент комплексного числа а ц .

200 ГЛ. 6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Д л я м аксим ального ум еньш ения суммы к вад ратов модулей внедиа-
гональны х элементов следует у м атрицы	(6.42) вы брать такие ном ера i
и j , чтобы элемент а ц бы л наибольш им	по модулю внедиагональны м

элементом м атрицы А , а вы бор углов ср и чр подчинить условию
\|a ij\|(co s2 ip • ега	— sin2 р	• ег^ ~	+ (ajj — ац) cos р sin р е г^ ) =			0 .
П оследнее условие приводит к соотнош ениям
/		^	2 \|щ ?-\|	. .	7Г
*Ф = argdij,		tg2if =	,	m ^	J .
			Д/j		^
Д оказательство	сходимости м етода		вращ ений	проводится точно		так

ж е, как и д л я случая вещ ественной м атрицы .

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf