Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3224 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА						231
Тогда, очевидно, элем енты p jk м атрицы Р			удовлетворяю т			усло
вию (7.72), что, согласно этим ж е соотнош ениям			(7.72), эквивалентно
условию ортонорм ированности базиса {е^}.
Н апомним, что в § 9 гл. 5 м атрицу Р , удовлетворяю щ ую						усло
вию (7.73), мы назвали ортогональной .
И так, для того чтобы преобразование (7.70)			было преобразовани
ем орт онорм ированного базиса		в ортонор м ир ованны й,		необходимо и
дост ат очно, чтобы м ат рица	Р	эт ого преобразования		была	орт ого
нальной.
З а м е ч а н и е . О бращ аясь	к	ф орм улам (5.14) преобразования ко
ординат вектора при преобразовании базиса			(см. и. 1 § 2		гл. 5) и
учи ты вая, что обратн ая м атри ц а д л я ортогональной м атрицы					Р	есть

м атри ц а Р ', получим следую щ ие ф орм улы преобразования координат

точки х при переходе от ортонорм ированого							базиса к ортонорм иро-
ванному:
X !	=	р ц х ' х	+	р 1 2 х ' 2	+ . . .	+	P l n X ' n ,
Х 2	=	Р 21Х 'х	+	р 2 2 Х 2	+ . . .	+	р2пх'п ,
							7.75
Х п	=	Pnix'i	+	Р п 2 Х 2	+ . . .	+	Р п п Х ' п -

3.П р еобр азов ани е общ его уравнения гиперповерхности

второго

порядка

при

параллельном

п ер ен осе.

Рассм отрим

п араллельн ы й

перенос, которы й определяется

как

преобразование

п ространства V

по

ф орм уле

(7.68)

(или

координатах

по ф орм у

ле (7.69)).

Л евая часть

(7.62)

после подстановки

вместо

х его вы раж ен и я по

ф орм уле (7.68) в силу линейности квад рати чн ой ф орм ы по первому и

второму аргум енту 9)

и свойств линейной ф орм ы прим ет следую щ ий

вид:

А ( х ', х ') +

[Л (х ',

х) +

В (х')]

+ [Л (х ,

х) +

2 В

(х)

с] = 0 .

И так, общее уравнение

(7.62) гиперповерхности S

при п ар ал л ел ь

ном переносе (7.68) запиш ется в ф орм е

Л ( х ', х ')

+ 2 В '

(х') +

с’

= 0,

(7.76)

К вадратичная

ф орм а

А ( х , х )

связана

с симметричной

билинейной ф ор

мой А ( х , у ) ,

полярной к форме А ( х , х ) . Билинейная форм а А ( х ,

у )

линейна по

аргументам х и у .

Фигурирующее в дальнейшем тексте выражение А

( х ' , х ) пред

ставляет собой значение формы

А ( х , у ) на векторах х ' и х .

232	ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
где линейная ф о р м а В 1 (х ')		и постоянное число с1 определяю тся соот
нош ениями
	В ' (х ')	=	А (х ',	х) + В	(х ;),	(7.77)
	с' = А (х ,		х) +	2 В (х )	+ с.	(7.78)
Запиш ем полученны е ф орм улы в координатах.
П усть координаты точек х ' и х равны соответственно х [,						х '2, . .. , х'п
и ад, Ж2 ... ,	х п . Т ак как при п араллельном переносе базис { е к} не ме

няется, то к вад р ати чн ая ф о р м а А (х ', х ') запиш ется следую щ им обра
зом:		п
		п
А (х', х')	=	^	djkx'jx'f,	(7.79)
		j,k = 1
(отметим, что коэф ф и ц и ен ты	ajk	=	A ( e j , е к) не м еняю тся,	так как
не меняю тся базисны е векторы щ ).

С ледовательно, мы можем сделать важ н ы й вывод: при

па р а ллель

ном переносе группа ст арш их членов сохраняет

свой вид.

Займ ем ся теперь ф орм улам и

(7.77) и (7.78). Т ак как

А { х ', *)

к = 1

\ j

= 1

Б (х') =

/ О

Л (х, х)

2^ C L j k X j X k ,

3,к = 1

£ (х )

Ьк^к’

то ф орм ула (7.77) прим ет вид

в ' (х о

= 5

]

=х

UjkXj

Ък х к?

(7.80)

к = 1

к = 1 3 = 1

а ф орм ула (7.78) запиш ется следую щ им образом:

X —^

о о

^ >

(7.81)

2 ^

aj k X j X k

2 ^

Ькх к

С.

j, к = 1

к = 1

	§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА						233
Таким образом, уравнение (7.76) в координатах будет им еть следу
ющ ий вид:		п		п
		п		п
		Е	ajk x 'jx 'k +	2 Е	Ь'кХ'к	+ с' = 0.	(7.82)
		j , к = 1		к — 1
Н ам	понадобится		несколько	иное,	чем	(7.81), вы раж ение	д л я с '.
Запиш ем (7.81) в следую щ ей ф орме:
		п
	с/	Е ^ ^&jk% т ьk Хк +				^ 2 Ък^ к + с-	(7.83)
		к = 1	3 = 1			к = 1
У чи ты вая, что коэф ф и ц и ен ты Ьгк вы раж аю тся, как это следует из
(7.80), по ф орм улам			п
			п
			К = Е	ai kXi	+ Ък		Г -84)
			3 = 1
мы получим из		(7.83) нуж ное нам вы раж ение д л я с':
			п
			d =	+ h ) x k		+ с.	(7.85)
			fc = i
4.	Преобразование общего				уравнения гиперповерхности

второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному. П усть ортонорм ированны й базис {е/,} пре образуется в новы й ортонорм ированны й базис {е^} по ф орм улам (7.70) и Р — ортогон альн ая м атри ц а этого преобразования (см. (7.71)). Тогда,

согласно зам ечанию		в и. 2	этого п ар агр аф а, координаты	х и х'к точ
ки в базисах {щ }	и	{е^}	связаны соотнош ениям и (7.75)	. П одставляя
вы раж ение д л я х\~	из (7.75) в левую часть уравнения (7.66) и учиты

вая, что вследствие однородности соотнош ений (7.75) группа старш их

членов и линейная часть уравнения				(7.66) преобразую тся автономно,
получим следую щ ее		вы раж ение	д л я общ его			уравнения			гиперповерх
ности второго	порядка в координатах х к				точек		в	преобразованном
базисе{е^}:	п			п
	Е a'jkX'jX'k +		2 Е Ь'кХ'к +			d	=	0 .	(7.86)
	j, к = 1		к = 1
Согласно отмеченной вы ш е автоном ности преобразования группы
старш их членов, справедливы равенства
п		п	п			п
Е a'jkX'jX'k	=	Е ajk x j x k 1	У	ь'кх'к	=	Y	ъкх к , d		= с. (7.87)
j , к = 1	j , к = 1		к = 1			к = 1

234	ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
	О бращ аясь к первой из ф орм ул (7.87), мы видим, что д л я опре
деления коэф ф ициентов а'-к мож но воспользоваться правилом преоб

разован и я коэф ф ициентов квад рати чн ой ф орм ы при переходе к ново му базису. И менно, если обозначим буквой А ' м атрицу квадрати чн ой

ф орм ы	А (х, х) в базисе	{е'Д, то, согласно теореме		7.2 и соотнош е
нию Р 1	— Р ~ 1, п о луч и м следую щ ую связь м еж ду м а т р и ц а м и А и А 1
формы А (х, х) в базисах		{е/Д	и {е'Д:
		А!	= Р ~ 1А Р	(7.88)

(напомним, что Р — м атри ц а ортогонального преобразования).

Будем рассм атри вать теперь м атрицу А 1 как м атрицу некоторого линейного оператора А в базисе {е'Д 10) , а м атрицу Р ~ 1 как м атрицу перехода от базиса {е/Д к базису {е'Д. Тогда, согласно теореме 5.7 (см. п. 2 § 2 гл. 5), м атрицу А мож но рассм атри вать как м атрицу этого

линейного оператора А в базисе {е/Д.
И ны ми словами, м ат рица квадрат ичной формы при				преобразова
н и и орт онорм ированного базиса в		ортонор м ир ованны й		и зм ен яет ся
как м ат рица некот орого линейного оператора.
Э тот вы вод мы используем в следую щ ем пункте.
З а м е ч а н и е .	О тметим, что оператор А, м атри ц а которого				в ор
тонорм ированием	базисе совпадает с м атрицей квад рати чн ой				ф о р
мы А (х, х), сам осопряж енны й.
Д л я доказательства проведем следую щ ие рассуж дения.
П усть А (х, х )— квад р ати ч н ая		ф о р м а	и А (х, у) — сим м етричная
билинейная ф орм а, полярн ая ф орм е А (х,			х). Согласно	теореме 7.8,
билинейная ф о р м а А (х, у) м ож ет бы ть представлена в виде
	А ( х , у) = (А х , у ),
где А — сам осопряж енны й оператор.
П оэтому квад р ати ч н ая ф о р м а		А (х, х)	м ож ет бы ть	представлена
в виде	А (х, х) =	(Ах, х).

Д окаж ем , что в ортонорм ированном базисе {е/Д м атрицы операто

р а А и квадрати чн ой	ф орм ы совпадаю т. Этим будет доказано утвер
ж дение зам ечания.
П усть d jk — элем енты м атрицы ф орм ы А (х, х) и a jk — элементы
м атрицы оператора А	в базисе {е/Д. С огласно и. 2 § 1 этой главы ajk =


10)	Согласно теореме 5.5 (см. п. 1 § 2		гл. 5) любая	квадратная	матрица из п
строк и п столбцов может		рассматриваться	как матрица	некоторого	линейного
оператора, действующего в		n -мерном пространстве.

§ 7.	ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА			235
= A ( e j , е Д ,	а элем енты d jk, согласно	п. 1 § 2	гл. 5, ф орм уле	(5.13),
м огут бы ть найдены из равенств A e j =		^2 р = 1	d jpep .
У м нож им обе части последнего соотнош ения скалярно на щ . Тогда,
учи ты вая ортонорм ированность б а зи с а{ еД , получим (А е^, е Д				= dj
Т ак как A ( e j ,	еД = (A e j, е Д , то ajk =	d jk . У тверж дение зам ечания
доказано.

5.И нварианты общ его уравнения гиперповерхности вто

рого порядка. Н азовем инвариант ом общ его уравнения (7.62) (или (7.66) ) гиперповерхности второго порядка относительно п араллельн ы х

переносов и преобразований ортогональны х базисов в ортогональны е

такую	ф ункцию	/	(о ц , а ц ,	. .. , a nn, bi,		Ьп , с)	коэф ф ициентов
этого	уравнения,	значение		которой	не м еняется при		указанны х		пре
образованиях пространства.
Д окаж ем следую щ ее утверж дение.
Т еорем а 7 .11.			И нвариан т ам и		общего	уравнения		(7.62)	(и ли
(7.66)	) гиперповерхност и			второго	порядка	я в ля ю т с я		коэф ф ициен

т ы характ ерист ического м ногочлена м ат рицы А квадрат ичной фор

м ы А (х, х) и определит ель det В м ат рицы В		в соот нош ении (7.67).
В	част ност и , инвариан т ам и я в ля ю т с я det А	и след а ц + < 2 2 2 + . ..
. ..	+ апп м ат рицы А .
	Д о к а з а т е л ь с т в о . О чевидно, инвариантность перечисленны х в
условии теорем ы величин достаточно д оказать		отдельно д л я п ар ал

лельного переноса и преобразования ортонорм ированного базиса в ортонорм ированны й .

Рассм отрим сн ачала параллельны й перенос. В п. 3 этого п ар а гр аф а мы установили, что при этом преобразовании группа старш их членов

сохраняет свой вид (см. ф орм улу (7.79)). П оэтому не м еняется м атри

ца А , а следовательно, и характеристический м ногочлен этой м атрицы .

Д окаж ем инвариантность det В .

П ри п араллельном переносе (7.68) (или (7.69)) м атри ц а преобразу

ется в м атрицу В 1, определитель которой, согласно (7.82), имеет вид

ац		а 1п	Ъ[
0"п1	• •	0"пп	К		(7.89)
0"п1	• •	0"пп	К
К	■••	К	с'
где величины Ь'к и с' определяю тся по ф орм улам				(7.84) и	(7.85).
В ы чтем из элементов последней		(п +	1)-й	строки	определите

л я (7.89) элем енты первой строки, ум нож енны е на ад, затем элементы

второй строки, ум нож енны е на х 2 и т. д., наконец, элем енты п -й стро ки, ум нож енны е на х п . Т ак как при таких преобразованиях определи-

236	ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ и к в а д р а т и ч н ы е					ф орм ы
тель не меняется, то, используя			(7.84) и (7.85), получим соотнош ение
	а ц	..	а \п	К
	det В ' = &п1	- -	0"пп	ь'п		(7.90)
	К		(	п		\
	К	•••	К	у ^ ЬкХк	+	С
			\fc = i			/
	В ы чтем теперь из элементов последнего (п +				1)-го столбца опреде

ли теля (7.90) элем енты первого столбца, ум нож енны е на ад, затем эле м енты второго столбца, ум нож енны е на ад, и т. д., наконец, элементы n -го столбца, ум нож енны е на х п . Т ак как при таких преобразованиях

определитель не меняется, то, используя соотнош ение djk				= а^-, вы
текаю щ ее	из сим м етричности	ф орм ы А (х, у),	и ф орм улу (7.84), мы
получим	в результате det IT	И так, равенство	det В ' =	det В дока

зано. С ледовательно, det В инвариантен относительно п араллельн ы х переносов.

Рассм отрим	теперь преобразование орт онорм ированного базиса в
ортонор м ир ованны й.
В о-первы х,	убедимся,	что	коэф ф и ц и ен ты		характеристического
м ногочлена м атрицы А квадрати чн ой ф орм ы					являю тся инварианта
ми рассм атриваем ого преобразования.
В преды дущ ем пункте		мы	установили,	что	при переходе к ново
му ортонорм ированном у базису м атри ц а А				изм еняется как м атрица

некоторого линейного оператора. Но в таком случае, как следует из

зам ечан и я 1 п. 3 § 2 гл. 5, коэф ф и ц и ен ты характеристического много члена этой м атрицы не меняю тся при переходе к другом у базису.

В частности, определитель det А и след а ц + + . .. + апп м атри

цы А , как коэф ф и ц и ен ты характеристического м ногочлена, являю тся инвари ан там и .

Н ам остается		доказать инвариантность			определителя		det В при
преобразовании		ортонорм ированного		базиса	в ортонорм ированны й .
П риступим к этому доказательству.
П рименим	следую щ ий прием . Введем обозначения					bk	= a,k,n + 1 ,
к = 1, 2 , ... ,	п,	с = а п + i,n + i- Тогда		уравнение (7.66)		гиперповерх
ности мож но записать следую щ им образом:
		п +	1
		У ]	cijkXjXk	= о,			(7.91)

3,к = 1

где х п + 1 = 1 .

§ 7.	ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА		237
Рассм отрим		преобразование переменны х ад, ад, . . жп , х п + \	в пе
ременны е х [,	а?2	, . . аф, х'п + 1? при котором первы е п переменны х пре

образую тся по ф орм улам (7.75), а перем енная х п + 1 преобразуется по

ф орм уле х п + 1	=	х'п + 1 .
Ясно, что	это	преобразование переменны х м ож но рассм атри вать

как преобразование координат при преобразовании ортонорм ирован -

ного базиса e i,	в 2 , . .. , e n , e n + i		(п +	1 )-м ерного евклидова простран
ства, причем м атри ц а Р этого преобразования имеет вид
	/	Р п . . .		Pni	0	\
		P in	• ..	Рпп	О
	VО ...			о	I	)
Л егко видеть,	что м атри ц а	Р	удовлетворяет			условию Р 1	= Р ~ 1 и
поэтому явл яется ортогональной . Но тогда,					согласно п. 2		этого п ар а
гр аф а, ортонорм ированны й базис ei,				в 2 , ... ,	e n , e n + i преобразуется с

помощ ью м атрицы Р в ортонорм ированны й базис. Вы ш е бы ло вы яс нено, что при таком преобразовании м атрицы В квадрати чн ой ф орм ы

определитель det В этой м атрицы	представляет собой инвариант. Те
орем а доказана.
З а м е ч а н и е . И з рассуж дений	в доказательстве теорем ы следует,

что инвариантам и общ его уравнения гиперповерхности второго поряд

ка будут такж е величины rang Л и rang В .
	6.	Ц е н т р			ги п е р п о в е р х н о с т и		в т о р о го	п о р я д к а .		П опы таем
ся	найти	такой		п араллельн ы й		перенос,	при котором общее			уравне
ние	(7.76)	не содерж ало бы слагаем ого 2					В 1 (х') (или,		если обратиться
к уравнению			(7.82), то слагаем ы х 2 Y^k = i &кх к)•
	И ны ми	словами, будем искать п араллельн ы й						перенос (т. е. коор-
ди н аты ад, ад,				• •., х п точки х),		при котором обратятся в нуль все ко
эф ф и ц и ен ты			Ь'к .		О бращ аясь к ф орм улам		(7.84), найдем , что искомые
координаты			о	о	о	о		собой реш ение сле
			ад, ад, ... , х п точки х представляю т
дую щ ей системы линейны х уравнений:
					п
					^ ^ &jk%j Н"	Ькч ^ — 1, 2, ... , 77/.				(7.93)
					3 = 1
	У равнения (7.93) н азы ваю тся ур а внен иям и цент ра гиперповерхно-
ст и второго			порядка, а точка			о		, о	о	о \
						х с координатам и		(ад, ад, . .. ,		х п ), где

(ад, ад, • • - , х п ) — реш ение системы (7.93), назы вается центром этой по верхности.

238	ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
П оясним наим енование «центр»					гиперповерхности. П усть		начало
координат помещ ено в центр				о
координат помещ ено в центр				х, т. е. произведен иском ы й п ар ал л ел ь
ный перенос. Тогда уравнение поверхности S прим ет вид
			п
			У "	а]кх)х'к	+ с' =	0.	(7.94)
			3,к = 1
П усть точка х с координатам и х [,					х '2, ... ,	х'п располож ена на S . Это
означает,	что	ее	координаты удовлетворяю т уравнению (7.94). О че
видно, точка		—х	с координатам и —		— х 2, ... , —х 'п1 сим м етричная

точке х относительно точки х, такж е располож ена на 5 , ибо ее коор

ди н аты тож е удовлетворяю т уравнению				(7.94).
Таким образом , если у гиперповерхности S					есть центр, то от носи
т ельно цент ра т очки S располагаю т ся сим м ет ричн о парами.
З а м е ч а н и е 1 . Если	гиперповерхность S				второго порядка име
ет центр, то и н варианты	det А , det В и			свободный член с' в уравне
нии (7.94) связаны соотнош ением
	det В	=	det	А .	(7.95)
Д ействительно, д л я уравнения		(7.94) получим
	a n . . .			CL\n	0
	—		- - -	Q"nn
	&nl				0
	0		. . .	0	с'
	вы текает		(7.95).

Н аличие центра у гиперповерхности второго порядка связано с р аз

реш имостью уравнений центра (7.93).

Е сли уравнения цент ра им ею т единст венное реш ение, то гипер поверхност ь S будем назы ват ь цент ральной.

Т ак как определитель системы (7.93) равен det А , а необходимым

и достаточны м условием сущ ествования единственного реш ения этой системы явл яется отличие от нуля ее определителя, то мы можем сде

л ать следую щ ий	вывод: для того чтобы гиперповерхност ь S		была
цент ральной , необходимо и дост ат очно, чтобы det 4 /		0 .
З а м е ч а н и е	2 . Если начало координат перенесено	в центр	цен

тральной гиперповерхности 5 , то уравнение этой гиперповерхности

будет иметь вид
A	ajk x jXk +	det В	(7.96)
^	ajk x jXk +	= 0.	(7.96)

j, k = 1

§ 7. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

239

Д ействительно, после переноса н ач ал а в центр уравнение гиперпо

верхности прим ет вид (7.94). Т ак	как д л я центральной гиперповерх
ности det А ф 0 , то из ф орм улы	(7.95) найдем с'	= det В / det А .
П одставляя это вы раж ение д л я с' в ф орм улу		(7.94), мы и получим

уравнение (7.96).

7. С тандартное уп рощ ени е лю бого уравнения гип ерп оверх

ности второго порядка путем п реобразован и я				ортонорм иро-
ванного базиса. По теореме 7.8 сущ ествует такой ортонорм ирован -
ный	базис,	в котором квад р ати ч н ая ф о р м а А (х, х)		записы вается в
виде	суммы	квадратов. О бозначим этот базис	через	{е/Д, а коорди
н аты точки х в этом базисе обозначим через х [,			х 2, ... , х'п . К ром е то

го, буквам и Ai, А2 , ... , Ап обозначим собственны е значения сам осопря

ж енного оператора А, м атри ц а которого в ортонорм ированном базисе

совпадает с м атрицей квадрати чн ой ф орм ы						А (х, х)	(см. зам ечание в
и. 4 этого п ар агр аф а).
И спользуя	теперь	вы воды	теорем ы		7.8,	запиш ем		квадратичную
ф орм у А (х, х)	в координатах		(х[,	х 2,	... , х'п ) точки		х	в базисе сле
дую щ им образом:				п
				п
		х) =		^ 2	Хкх'к2.			(7.97)
				к = 1
И так, перейдем от		базиса	{е/Д	к базису		{е Д . Т ак		как ф орм улы

преобразования координат точек при таком преобразовании линейны и однородны (см. зам ечание и. 2 этого п ар агр аф а, ф орм улы (7.75)), то

группа старш их членов и линейная часть уравнения	гиперповерхно
сти S преобразую тся автономно. Н а основании этого	и в силу (7.97)

уравнение гиперповерхности S в базисе {е]Д будет им еть следую щ ий вид п ) :

пп

Y , Хкх'к + 2 Y , ь'кХк + С = 0.		(7.98)
к = 1	к = 1
П риведение лю бого уравнения гиперповерхности S второго поряд
ка к виду (7.98) будем	н азы вать ст андарт ны м упрощ ением	этого
уравнения (путем преобразования ортонорм ированного базиса).

8. У п рощ ени е уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. К л асси ф ик ац ия центральны х гип ерп оверх ностей . В ы воды , сделанны е в преды дущ их двух пунктах, позволяю т

реш ить вопрос о классиф икации всех центральны х гиперповерхностей

11) Напомним, что при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному свободный член с в уравнении поверхности S не меняется (см. третью из формул (7.87)).

240 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

второго порядка. Реш ение этого вопроса мы проведем по следую щ ей схеме. В о-первы х, путем переноса н ач ал а координат в центр гиперпо верхности (7.66) мы приведем ее уравнение к виду (7.96). П осле это го произведем стандартное упрощ ение уравнения (7.96). В результате, очевидно, мы получим, согласно (7.98), следую щ ее уравнение цен тральной поверхности второго порядка:

Aix'l

А2 Ж2

. .. +

Ап х п

(7.99)

в котором

Xk — собственны е

числа

м атрицы А

квадрати чн ой

ф о р

мы А (х, х) в уравнении (7.62), а

х р — координаты

точки

окон

чательном ортонорм ированием базисе {е Д .

О тметим,

во-первы х, что

все собст венные числа

А/., к

1 , 2

, . ..

... , п,

от личны

от нуля.

Д ействительно, подсчиты вая det Л д л я уравнения (7.99), получим

det А

= Ai А2

. .. Ап , а так как д л я центральной поверхности det 4

то очевидно, что все А/, ф 0 .

Д оговорим ся

все

полож ительны е

собственны е числа

м ат

рицы

нум еровать

первы ми

индексам и,

отрицательны е —

последую щ ими. Таким образом , найдется такой номер р, что

Ai > 0, А2 > 0, ...Хр, >

0, Хр + 1 <

Ар_|_2

0, ...,

Ап

Введем теперь следую щ ие обозначения:

det

, то полож им

если sgn ------— ф 0

det

Ak =

—

при

, 2

, ... ,

р,

det

ак

(7.100)

det

Ак

----- о

ПРИ &

р +

1, .

п;

det

ак

det

, то полож им

если sgn ------— =

det В

Ак

при

, 2 , ... ,

р,

(7.101)

Ак

----- «

при

1 , ... ,

п.

a t

Тогда, очевидно, уравнение (7.99) м ож ет бы ть переписано следую щ им образом (при этом мы заменим обозначение координат х р на жД:

Х1	,	rJ2	,	х р	р 2	х п		det В
Х1	,	Х2	,	х р	х р +1	х п		det В
О	“ Г	О	“ Г • • • “ Г	9	2	~2	+	= 0. (7.102)
а{		a i		йр	а2р +1	~2	+	Sgn det А

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3224 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf