книги / Линейная алгебра.-1

242

ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

тате это

уравнение прим ет

вид

(7.98). П одсчитаем det А , используя

(7.98)

(это возм ож но, так

как

det А — и н вар и ан т). П олучим, учи ты ­

вая (7.104),

det А

=

А1 А2 • • • Ап = 0 .

Таким образом, по крайней мере одно собственное значение Хк м ат­

рицы

А

равно нулю . П одчеркнем , что не все собственны е значения

ственно равной нулю, мы

ж е предполагаем (см. п. 1

§ 1 этой

главы ),

что эта ф о р м а ненулевая.

О ставим в вы раж ении

(7.98) лиш ь те слагаемы е

в первой

сумме,

ведем такую перенумерацию

базисны х векторов, чтобы первы м р ба­

зисны м векторам

... ,

ер отвечали все ненулевы е собственны е зн а­

чения Ai, А2 , ... , Ар

(отметим, что р

=

rang Л ). О чевидно, после этого

уравнение (7.98) м ож ет бы ть переписано следую щ им образом:

р

р

п

У " Akx'k2 +

2

К х 'к +

К х 'к + С = 0

(7.105)

к —1

к =

1

k = p +

1

(здесь 0 < р < n,

Ai

ф

0 , . . . , Ар ф

0 ; кроме того, мы специально

вы делили первы е р

слагаем ы х второй суммы в уравнении

(7.98)).

П роведем теперь следую щ ие преобразования.

1°) Д л я каж дого

ном ера

к , 1 ^

к

^ р, объединим

слагаемы е с

следую щ ие

преобразования

(при этом

мы

учиты ваем , что

Хк ф

0):

Хрх'р + 2 Ъ'кх'к

—

\ к

(х 'к

+

2 -^ж'р

+

-----г -

—

К \

2

Ъ' 2

= Ч*‘ + а г )

- * •

О чевидно, после

этих

преобразований

(7.105)

запиш ется

следую ­

щ им образом:

Р

/

7, ч

2

п

У

^к

(я д

+

)

+ 2

К х к + с>

— 0,

(7.106)

к =

1

к = р +

1

где постоянная с

определяется равенством

р

у

2

(7.107)

c'

= c ~

z

tb -

к =

1

А

§ 7.

ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

245

О чевидно,

что в подпространстве, представляю щ ем

собой

линей­

ную оболочку

векторов

... , е^, . .. ,

е^, уравнение (7.112)

опреде­

ляет параболоид S ' (см. случай 1°)).

Ч тобы

получить

представле­

ние о строении гиперповерхности S во

всем

пространстве, нуж но в

каж дой точке

S ' пом естить

плоскость,

п араллельную плоскости V "

(линейная оболочка векторов е^ + 1, ... ,

е ,п _ 1)

. Геометрическое место

таких плоскостей образует поверхность S . Таким образом, поверх­

ность S представляет собой

параболоидальны й цилиндр

с н ап р авл я ­

ющей

поверхностью S", определяем ой уравнением (7.112), и образую ­

щ ими

плоскостями, параллельны м и плоскости V " .

§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ

247

евклидова прост ранст ва Е п была ли н ей н о за ви си м о й , необходимо и

дост ат очно,

чтобы определит ель Грама (8.1) эт ой сист ем ы был ра­

вен

нулю .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Н е о б х о д и м о с т ь . П усть векто ­

ры

e i, в 2 , ... ,

е& линейно зависим ы . Тогда один из них, наприм ер е&,

e k =

аде! + а 2 е 2 +

... + o i k - i C k - i -

У м нож ая написанное

соотнош ение

скалярно на е^, i =

1 ,2

мы получим, что последняя строка определителя Г рам а

(8.1) я в л я ет ­

ся линейной комбинацией первы х к

— 1 строк. По теореме 1.7 этот

определитель равен нулю . Н еобходимость условия доказана.

все равны е нулю

числа

/?]_, р 2, ... , Рк такие, что

д л я

i

=

1 , 2

, ... , к

вы полняю тся соотнош ения

/М е Б e l)

+ /М е Б е 2 )

+ . ..

+

P k(^ij

еД

—

0 .

П ереписы вая эти соотнош ения в виде

(е г, P i ^

+ /32 е 2

+

. .. +

р кЪк)

=

о, г =

1 , 2 , . . . ,

к,

убеж даем ся, что вектор Р \е \

+ /32 е 2 + . .. + Рк^к ортогонален всем век­

торам e i, в 2 , . . . ,

е&, т. е. ортогонален линейной оболочке L этих векто ­

ров. Т ак как этот вектор п ри н ад леж и т L, то он равен нулю . П оскольку

не все ^

равны

нулю, то это означает, что

векторы e i,

е 2, . . . ,

е/,

ли ­

нейно зависим ы . Т еорема доказана.

С ледстви е. Е сли

вект оры ei, в2, . . . , е/, ли н ей н о независим ы , то

определит ель Грама эт и х вект оров о т личен от нуля.

Д окаж ем ,

что

в

указанном

случае

определитель

Г рам а

по­

лож ит елен .

П усть

L — линейная оболочка векторов

ei,

в2, . . . , е^.

О чевидно, e i,

в 2

, . . . ,

е/, — базис в L . Рассм отрим билинейную сим м ет­

ричную

ф орм у

А (х,

у),

представляю щ ую

собой

скалярное произве­

дение (х, у): А (х, у)

=

(х,

у). С оответствую щ ая к вад р ати чн ая ф о р ­

м а А (х,

х) =

(х,

х)

будет, очевидно, знакоопределенной, и поэтому,

согласно

теореме

7.6

(критерию

С ильвестра), определитель d e t(a ^ )

ее м атрицы (щ Д

в базисе e i, е 2, . . . , е/,

полож ителен. Но

этот

опре­

делитель

и

представляет

собой

определитель

Г рам а

(8.1)

систе­

мы e i , G2, • • • , &k, ибо CLij

(®i? ®j ) •

2. В заи м ны е

базисы . К овариантны е и контравариантны е

координаты

векторов . П усть

e i, в 2 , . . . , еп — базис

в

евклидовом

248

ГЛ. 8. ТЕНЗОРЫ

пространстве

Е п . Б ази с е 1, е 2, . . . , е п

назы вается взаим ны м д л я ба­

зиса щ ,

г =

1

, 2

, ... , п, если вы полняю тся соотнош ения

1

при г =

j ,

(е*, eJ) = Sj

при г Ф

( 8.2)

О

j .

при г, j

=

1 , 2 ,

. . п.

зиса.

О твет

на

этот вопрос утвердительны й: для любого

данного ба­

зиса

е 1, е 2, . . . ,

е п сущ ест вует единст венны й взаим н ы й

базис. Д л я

доказательства поступим следую щ им образом . П усть

х 32, ... ,

x Jn —

координаты искомы х векторов eJ в базисе ед

eJ

=

x [ e i + x J2 e 2 + . .. + x Jn e n , j

= 1 , 2 , . . . , n.

(8.3)

У м нож ая

скалярно обе части последних равенств на щ , получим,

используя (8 .2 ),

Д (е* , e i) +

Д ( е ь е 2) + . . . + Д (е * , е„) =

г, j = 1, 2,

. . гг.

(8.4)

координат х { , х 2, . .. , x Jn вектора

eJ

в базисе щ . Т ак как определи ­

тель системы

(8.4) представляет собой определитель Г рам а базисны х

векторов e i,

е 2, ... , е п , он, согласно

следствию

из теорем ы 8

.1 , от­

личен от нуля, и поэтому систем а

(8.4) имеет

единственное

реш е­

ние х {, х 2, . .. , x Jn , которое будет

ненулевы м, поскольку

эта система

неоднородная. Затем с помощ ью

соотнош ений

(8.3) строятся

векто ­

ры eJ , которы е, очевидно, удовлетворяю т соотнош ениям

(8 .2 ).

М ы долж н ы еще убедиться, что

векторы е 1, е 2, ... ,

е п образую т

a i e 1 + а 2 е 2 + . .. + а пе п = 0 .

У м нож ая

скалярно последнее равенство

последовательно

на

e i, в 2 , ... , е п

и используя (8 .2 ), получим ад =

0 , а 2 = 0 , ... , а п

=

образую т базис.

И так, взаим ны й

базис eJ и д л я базиса щ , сущ ествует и определя­

ется единственны м образом .

З а м е ч а н и е 1

. В силу симметрии соотнош ений (8 .2

) относительно

и eJ , взаим ны м

базисом д л я базиса e J будет базис

щ

. П оэтому в

дальнейш ем мы будем говорить о взаим ны х базисах щ ,

eJ .

§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ

249

З а м е ч а н и е

2

. Если базис e i, в 2 , ... , е п ортонорм ированны й, то

взаим ны й базис

eJ

совпадает с данны м базисом . Д ействительно, по­

лагая в этом случае e J =

е^, мы убедимся, что

соотнош ения

(8 .2 )

вы полняю тся. И спользуя свойство единственности

взаимного базиса,

мы убедимся в справедливости зам ечания.

П усть щ , eJ — взаим ны е

базисы , а х — произвольны й вектор

про­

х

=

х г е 1

+

Х 2 е 2

+ ...

+

х „ е п ,

(

,

х

=

a:1ei

+

х 2 е 2

+ ...

+

х п е п .

К оординаты (xi, Ж2, ... ,

жп) вектора

х

в

базисе

eJ назы ваю т­

ся ковариант ны м и

кооординат ами

вектора

х,

а координаты

(ж1,

ж2, ... , х п) этого вектора в базисе щ , назы ваю тся

конт равариант ны -

ные

слагаемы е (примерам и таких ф орм ул могут

служ ить соотнош е­

ния

(8.5)), мы будем п ользоваться в дальнейш ем

соглаш ением о сум ­

ным числом

индексов, часть из которы х ниж ние, а другая часть —

верхние. П ри

этом договариваю тся все ниж ние индексы обозначать

то считают, что по этим индексам

производится

сум м ирование,

т. е.

индексам последовательно даю тся

значения 1 , 2 , ... ,

п, а затем

скл а­

ды ваю тся полученны е слагаемые.

Н априм ер,

ж*е* = ж^щ1 +

Ж2 в2 +

... +

жпеп,

8\ = 8\ +

+

•••+ 8

9 i j X l x 3 = ( д ^ х г х г )

+ ( g 2 j x 2 x r ) + . . . + (g n j X n x -') =

= ( д п х 1 х 1 +

g i ^ x 2

+ . . .

+ g inx 1 x n ) +

+

( g 2i x 2 x 1

+ g 22x 2 x 2 +

... +

g 2 n x 2 x n )

+

... +

+ (gn lx nx 1 +

gn2x n x 2

+

. . . + gnnx n x n ).

С помощ ью соглаш ения о сум м ировании ф орм улы

(8.5) записы ва­

ю тся следую щ им ком пактны м образом:

х =

жi e \

х = жге \

(8.6)