книги / Линейная алгебра.-1

м еньш е п. Д окаж ем , что при этом предлож ении она верна и д л я про­ странств разм ерности п. Этим и будет заверш ено доказательство тео­ ремы .

П усть Л — собственное значение оператора А . Согласно теореме 5.8

м еньш е п, т. е. г < п.

Л инейны й оператор В отображ ает пространство V на подпростран ­

ство im В . П оэтому оператор В отображ ает подпространство im В р аз­ мерности г < п в это ж е подпространство. По предполож ению индук ­

в котором действие оператора В из im B в im B дается следую щ ими соотнош ениями:

24)Напомним, что ранг г линейного оператора В равен размерности im B ; со­ гласно теореме 5.6 ранг г равен рангу матрицы этого оператора.

25)Символом В мы будем обозначать оператор В , действующий из im B в im B .

= п — г — m i (это бы ло установлено выш е, в доказательстве при вве­

дении векторов g к), то общее число векторов (5.105) равно п и поэтому они образую т базис в V . О бозначим

{ Ц , . .. , h rkk }, к = m i + 1 , . .. , р.

Рассм отрим действие оператора В на векторы базиса (5.110) в про­ странстве V . О бращ аясь к соотнош ениям (5.101), (5.103), (5.104) и

лу (5.96), указанном у в ф орм улировке теорем ы 5.32. Но тогда в этом базисе и оператор А = В + AI действует по этому ж е правилу. Тео­ рем а доказана.

§ 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве

1. Общие замечания. Рассм отрим произвольное n -мерное вещ е­ ственное евклидово пространство V и оператор А, действую щ ий из V

в V .

П онятие линейного оператора д л я случая вещ ественного линейного п ространства ф орм улируется в полной аналогии с соответствую щ им

понятием д л я комплексного пространства.

Определение 1 . О ператор А назы вается л и н е й н ы м , если д л я лю ­

В полной аналогии с комплексны м пространством вводится поня­

тие собственного значения и собственного вектора оператора.

В аж н о зам етить, что собственны е значения являю тся корням и ха­

рактеристического уравнения оператора.

О братное утверж дение в вещ ественном случае верно лиш ь тогда, когда соответствую щ ий корень характеристического уравнения вещ е­ ственны й. Только в этом случае указанны й корень будет собственны м

но поэтому перенести понятие сам осопряж енного оператора на случай вещ ественного пространства.

П редварительно введем понятие оператора А*, сопряж енного к оператору А. И менно оператор А* назы вается сопряж енны м к А, если д л я лю бы х х и у из У вы полняется равенство (Ах, у) = (х, А*у).

Б ез затруднений на случай вещ ественного п ространства переносит­ ся теорем а 5.12 о сущ ествовании и единственности сопряж енного опе­

ратора.

Н апомним, что доказательство теорем ы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной ф орм ы . В вещ ественном случае вместо п олуторали ­ нейной ф орм ы следует воспользоваться билинейной ф орм ой В (х, у).

По этому поводу в п. 2 § 4 гл. 5 сделано соответствую щ ее зам ечание.

стве L . П усть В — ф ун кц и я, сопоставляю щ ая каж дой упорядоченной паре (х, у) векторов х Е L и у Е L вещ ественное число В (х, у).

В аж ную роль в данном п ар агр аф е будет и грать специальное пред­

где А — некоторы й линейны й оператор. С оответствую щ ая теорем а (те­ орем а 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной ф орм ы

В конце указанного пункта отм ечалось, что эта лем м а верна и в вещ е­ ственном пространстве. Зам етим только, что в доказательстве лем мы вы бор элементов h k нуж но производить не по ф орм уле (5.41), а с по­

пространстве, характери зую щ аяся соотнош ением В (х, у) = В (у, х)

(черта н ад В означает, что берется комплексно сопряж енное значение д л я В ).

В случае вещ ественного п ространства аналогом эрм итовы х ф орм служ ат сим м етричны е билинейны е ф орм ы . Т акая ф о р м а характектеризуется соотнош ением

являю тся соответственно сим м етричной и кососим м етричной билиней­ ными ф орм ам и . П оскольку В (х, у) = В\ (х, у) + В2 (х, у), то мы получаем следую щ ее утверж дение.

Любую билинейную форму мож но представить в виде суммы симмет ричной и кососиммет ричной билинейной формы.

Н етрудно видеть, что такое представление явл яется единственны м .

Теорема 5.33. Д л я того чтобы билинейная форма В (х, у), задан­ ная на всевозмож ных векторах х и у вещественного евклидова про­ странства V , была симмет ричной, необходимо и достаточно, чтобы линейный оператор А , фигурирую щ ий в представлении (5.113), был самосопряж енным.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если А — сам осопряж енны й оператор, то, ис­ пользуя свойства скалярного произведения, получим

В (х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (Ау, х) = В (у, х).

Таким образом, вы полняется соотнош ение (5.114), т. е. билинейная ф о р м а В (х, у) = (Ах, у) сим м етричная.

Если ж е ф о р м а В (х, у) = (Ах, у) сим м етричная, то справедливы соотнош ения (Ах, у) = В (х, у) = В (у, х) = (Ау, х).

С ледовательно, оператор А сам осопряж енны й . Т еорема доказана.

х = Y lk = 1 х к ^к, то д л я компонент вектора у = Ах справедливо пред­

тем самы м, корректно вводится определитель det А оператора А.

Характ ерист ическим уравнением , отвечаю щ им оператору А, н а­ зы вается уравнение det (А — AI) = 0 , а многочлен, стоящ ий в левой части этого уравнения, назы вается характ ерист ическим многочленом оператора А.

Д окаж ем теперь теорему о корнях характеристического много­

члена самосопряж енного оператора в вещ ественном евклидовом про­ странстве.

Теорема 5.34. Все корни характеристического многочлена само­

вещ ественны е числа).

Будем искать ненулевое реш ение следую щ ей системы линейны х од­

вен нулю ), то система (5.116) однородны х линейны х уравнений имеет

странство оператора А . П оэтом у мы можем рассм атри вать оператор А в подпространстве V \. Ясно, что в V\ оператор А будет сам осопряж ен ­ ным. По теореме 5.34 у оператора А, действую щ его в Vi, имеется ве­ щ ественное собственное значение А2 , которому отвечает собственны й вектор в 2 Е Vi оператора А, удовлетворяю щ ий условию ||е 2 1| = 1.

О бращ аясь далее к (п — 2 )-м ерному подпространству V2 , ортого­ нальном у векторам e i и в 2 , и п овторяя только что описанны е рас­ суж дения, мы построим собственны й вектор ез оператора А, ортого­ нальны й векторам e i и в 2 и удовлетворяю щ ий условию ||ез|| = 1 .

Р ассу ж д ая и дальш е таким ж е образом, мы в результате найдем п

векторы {е/Д образую т базис в V. Т еорема доказана.

З а м е ч а н и е . П усть e i, в 2 , ... , е п — ортонорм ированны й базис в n -мерном евклидовом пространстве V, состоящ ий из собственны х век­

торов самосопряж енного оператора А , т. е. А е/, = А^е^. Тогда м ат­

рица оператора А в базисе {е/Д явл яется диагональной, причем д и а­ гональны е элем енты имею т вид ак = А&.

О тметим, что если { е Д — произвольны й ортонорм ированны й ба­

зис в вещ ественном евклидовом пространстве V, то м атри ц а самосо­ пряж енного оператора А будет сим метричной, т. е. А' = А . Верно и обратное утверж дение, т. е. если в некотором ортонорм ированном ба­ зисе {щ } м атри ц а оператора явл яется симм етричной, то оператор А —

сам осопряж енны й .

Этим вещ ественны й случай отличается от комплексного, поскольку в комплексном случае оператор А явл яется сам осопряж енны м тогда и только тогда, когда м атри ц а А этого оператора в ортонорм ированием базисе явл яется эрмитовой, т. е. элем енты а \ м атрицы А удовлетворя­

ют условию а \ = а \ (черта означает комплексное сопряж ение).

У казанное утверж дение непосредственно следует из того, что если

легко проверяется прям ы м вычислением .

2 . О ртогональны е операторы . В комплексном евклидовом про­ странстве важ ную роль играю т унитарны е операторы , введенны е в § 7.