Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 325 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 3. ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ МАТРИЦЫ

алгебраических дополнений одной строки (одного столбца) равн а опре

делителю . Теорема доказана.

З а м е ч а н и е

1 . К вадратн ую м атрицу А , определитель det А которой

отличен от нуля, принято н азы вать

невы рож денной.

З а м е ч а н и е

2 . В предь мы

можем

опускать

терм ины

«левая»

«правая»

и говорить

просто о м ат рице В , обратной по от нош ению

к невы рож денной м ат рице А

и определяемой соотнош ениям и А В

В А

Е . О чевидно такж е, что свойство бы ть обратной м атрицей

взаим но в том смысле, что если В

явл яется обратной д л я А , то А я в

ляется обратной д л я В . М атрицу, обратную

к м атрице А , впредь мы

будем обозначать символом А ~ 1.

§ 3. Т е о р е м а о б а з и с н о м м и н о р е м а т р и ц ы

П о н я т и е л и н е й н о й з а в и с и м о с т и с т р о к . Вы ш е мы уж е до

говорились н азы вать строку 24) А

(щ , а 2 , . .. ,

ап ) линейной комби

нацией

строк В

(b i, &2 ? • • -5

Ьп) , . . . , С

(ci,

С2 , . .. ,

сп), если д л я

некоторы х вещ ественны х чисел Л, ... , ц справедливы равенства

dj = Abj + . . . + pLCj

1 , 2 , . . . , га).

(1.42)

У казанны е п равенств

(1.42) удобно записать в виде одного равенства

А — Х В Н- . ..

Н- ц С .

(1.43)

В сякий раз,

когда

будет встречаться равенство

(1.43),

мы будем

поним ать его в смысле п равенств

(1.42).

Введем теперь понятие линейной зависим ости строк.

О п р е д е л е н и е .

С троки А

(од,

аг?

•••? ап ),

(bi,

•••

... ,

Ьп),

... , С

(ci, С2 , ... , сп ) назовем

ли н ей н о за ви си м ы м и , если

найдутся такие числа а , /?, ... ,

у, не все равны е нулю, что справедли

вы равенства

a a j

/3bj

+ . . . +

J C J

= 0

2, . . ., га).

(1-44)

n равенств (1.44) удобно записать в виде одного равенства

а А + р В

. ..

j C

О,

(1.45)

вкотором О = (0 , 0 , ... , 0 ) обозначает нулевую строку.

24)К аж дую строку можно рассматривать как матрицу. Поэтому естественно использовать для обозначения строк большие латинские буквы.

42 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

С троки, не являю щ иеся линейно зависим ы м и, н азы ваю тся ли н е й н о неза ви си м ы м и . М ож но дать и «самостоятельное» определение линей

ной независимости строк:

ст роки

А , £?, ... , С назы ваю т ся ли н ей н о

н еза ви си м ы м и , если равенст во

(1.45)

возм ож но ли ш ь

в случае, когда

все числа а ,

7 равны нулю .

Д окаж ем следую щ ее простое, но важ ное утверж дение.

Т е о р е м а

1 .5 . Д л я

того

чтобы ст роки А , £?, ... ,

были

л и н е й

но за ви си м ы , необходимо

дост ат очно, чтобы одна из

эт и х

ст рок

я вля ла с ь ли н ей н о й ком бинацией ост альны х строк.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Н е о б х о д и м о с т ь .

П усть

строки

A , В , . . . , С

линейно зависим ы ,

т. е.

справедливо равенство

(1.45),

в котором хотя бы одно из чисел

а ,

/?, . .. , 7

отлично

от

нуля. Р ади

определенности допустим,

что

Тогда,

поделив (1.45)

н а а и

введя обозначения Л =

—/? /а ,

... ,

—

— 'у /а ,

мы можем переписать

(1.45) в виде

Х В

. ..

+ дС ,

(1.46)

а это и означает, что строка А явл яется линейной комбинацией строк

B , ... , С.
2 )	Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть одна	из строк (наприм ер, А )	я в л я
ется	линейной комбинацией остальны х	строк. Тогда найдутся	числа

Л, . .. , ц такие, что справедливо равенство (1.46). Но это последнее р а венство мож но переписать в виде

	(	- 1 )А + \ В + . . . + ц С = О ™ ).
Т ак как из чисел		— 1, Л, ... , ц одно отлично от нуля, то последнее р а
венство устанавливает линейную зависим ость строк А , В , ... ,			С . Тео
рем а доказана.
К онечно, во всех проведенны х вы ш е рассуж ден и ях терм ин			«стро
ки»	мож но зам енить термином «столбцы».
2	. Т е о р е м а о	б а з и с н о м м и н о р е . Рассм отрим произвольную (не

обязательно квадратную ) м атрицу

	а п	< 2 1 2
А =	^ 2 1	^ 2 2
А =

а \п
п	(1.47)
	(1.47)

От! ат2	• • ®>тп
М инором к-го порядка м атрицы А	будем н азы вать определитель

к-го порядка с элементами, леж ащ им и на пересечении лю бы х к строк и52

25) Здесь О = (0, 0, ... , 0) —нулевая строка.

§ 3. ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ МАТРИЦЫ

лю бы х к	столбцов м атрицы А . (К онечно, к не превосходит наименьш ее
из чисел	т и п.)

П редполож им , что хотя бы один из элементов ац м атрицы А отли чен от нуля. Тогда найдется такое целое полож ительное число г, что

будут вы полнены следую щ ие	д в а условия: 1 ) у м атрицы А	имеется
минор r -го порядка, отличны й	от нуля, 2 ) всякий минор (г +	1 )-го и
более вы сокого порядка (если таковы е сущ ествую т), равен нулю .
Ч исло г, удовлетворяю щ ее	требованиям 1) и 2), назовем	рангом

м атрицы А 26) . Тот минор r -го порядка, которы й отличен от нуля, н а зовем базисны м м инором (конечно, у м атрицы А м ож ет бы ть несколь

ко миноров r -го	порядка, отличны х от нуля). С троки	и	столбцы, на
пересечении которы х стоит базисны й минор, назовем		соответственно
базисны м и ст рокам и и базисны м и ст олбцам и.
Д окаж ем следую щ ую основную теорему.
Т е о р е м а 1 .6	(теорема о базисном м иноре). Б азисны е		ст роки (ба
зисны е ст олбцы )	ли н ей н о независим ы . Л ю бая строка (лю бой			ст ол
бец) м ат рицы А	я в ля е т с я ли н ей н о й ком бинацией базисны х			ст рок
(базисны х ст олбцов).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Все рассуж ден и я проведем д л я			строк.

Если бы базисны е строки бы ли линейно зависим ы , то по теореме 1.5 одна из этих строк яв л ял ась бы линейной комбинацией других базис ны х строк, и мы могли бы, не изм еняя величины базисного минора, вы честь из этой строки указанную линейную комбинацию и получить строку, целиком состоящ ую из нулей, а это противоречило бы тому, что базисны й минор отличен от нуля. И так, базисны е строки линейно независимы .

Д окаж ем теперь, что лю бая строка м атрицы А явл яется линейной

комбинацией базисны х строк. Т ак как	при произвольны х переменах
строк (или столбцов) определитель сохраняет		свойство равен ства ну
лю, то мы, не огран и чи вая общ ности,	можем	считать, что базисны й
минор находится в левом верхнем углу	м атрицы (1.47), т. е. располо

ж ен на первы х г строках и первы х г столбцах. П усть j — лю бое число от 1 до п, а к — любое число от 1 до т .

У бедимся в том, что определитель (г + 1)-го порядка

а ц	<212
^21	^22

• . .	0\г	a ij
. .	02 г	° 2 j

Ог 1	<2Г2	..	агг	arj
&к1	&к2	• . .	Оfor	&kj

26) Ранг матрицы А, все элементы которой — нули, по определению равен нулю.

44 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

равен нулю . Если j ^ г или к ^ г, то указанны й определитель будет

равен нулю в силу того, что у него будет д в а одинаковы х столбца или две одинаковы е строки.

Если ж е оба числа j	и к	превосходят г, то (1.48) явл яется минором
м атрицы А порядка (г	+	1 ), а всякий такой минор равен нулю (по

определению базисного минора). И так, определитель (1.48) равен нулю

при всех j от

1 до п и всех к

от 1

до ш .

Но тогда,

разлож и в этот

определитель

по

последнему

столбцу

обозначив не зависящ ие от ном ера j

алгебраические дополнения эле

м ентов этого столбца символами

A \ j

щ ,

A ^ j

— С2 ,

... ,

A r j

сг ,

A k j

— Сг |_ 1 , мы получим, что

CiCLij

+ С2&2j

Су* Qr j

Н-

сг |_ 1

dfcj

—

(для

всех j =

1, 2, . .. , п).

У чи ты вая, что в последних равенствах ал

гебраическое дополнение cr +

1 =

совпадает с заведомо отличны м

от нуля базисны м минором, мы

мож ем

поделить каж дое из этих р а

венств на cr |_ 1 . Но тогда, вводя обозначения

---

/ v 2

—

. . . ,

—

Cr -\- 1

Cr + 1

Cr |_ 1

мы

получим,

что

akj = A iaij + A2 H2 j +

. .. +

Ar a rj-

(для

всех

=1 , 2 , ... , п), а это и означает, что к-я строка явл яется линейной

комбинацией первы х г (базисны х) строк. Т еорема доказана.

3 . Н еобходи м ое и достаточн ое условие равенства нулю

оп р едел и тел я .

Т еорем а 1.7 . Д л я того чтобы определит ель п -го порядка Д был

равен н улю ,	необходимо и дост ат очно, чтобы его ст роки (ст олбцы )
были ли н ей н о зависим ы .
Д о к а з а т е л ь с т в о .		1) Н е о б х о д и м о с т ь .	Если	определитель
п-го порядка Д равен		нулю, то базисны й минор	его	м атрицы	име
ет порядок	г, заведомо	меньш ий п. Но тогда хотя бы		одна из	строк
явл яется не	базисной. По теореме 1.6 эта строка		явл яется линейной

комбинацией базисны х строк. В эту линейную комбинацию мы можем

§ 3. ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ МАТРИЦЫ

вклю чить и все оставш иеся строки, поставив перед ними нули.

И так, одна строка явл яется линейной комбинацией остальны х. Но

тогда по теореме 1.5 строки определителя линейно зависим ы .

2) Д о с т а т о ч н о с т ь .	Если строки Д	линейно зависим ы , то по те
ореме 1.5 одна строка	явл яется линейной комбинацией остальны х
строк. В ы читая из строки А{ указанную		линейную комбинацию , мы,

не изменив величины Д , получим одну строку, целиком состоящ ую из нулей. Но тогда определитель Д равен нулю (в силу следствия 3 из и. 4 § 2). Теорема доказана.

Г Л А В А 2

Л И Н Е Й Н Ы Е П Р О С Т Р А Н С Т В А

И з курса аналитической геом етрии читатель знаком с операцией

слож ения свободных векторов и с операцией ум нож ения вектора на ве щ ественное число, а такж е со свойствам и этих операций. В настоящ ей главе изучаю тся м нож ества объектов лю бой природы , д л я элементов которы х каким -либо способом (причем, безразлично каким) определе ны операция слож ения элементов и операция ум нож ения элемента на

вещ ественное число, причем указанны е операции обладаю т теми ж е свойствами, что и соответствую щ ие операции н ад геом етрическим и

векторам и . Такие м нож ества, назы ваем ы е ли н ей н ы м и прост ранст ва м и , обладаю т целы м рядом общ их свойств, которы е и будут установ лены в настоящ ей главе.

		§ 1. П онятие линейного пространства
1.		О п р едел ен и е линейного пространства. М нож ество R эле
м ентов х, y , z , . .. лю бой природы назы вается ли н ей н ы м						(и ли аффин
ны м )	пространством , если вы полнены следую щ ие три					требования.
I. И меется правило, посредством которого лю бы м двум элементам
х и у	м нож ества R		ставится в соответствие третий		элем ент z это
го м нож ества, назы ваем ы й сум м ой элементов х и у и обозначаем ы й
символом z = х + у.
II. И меется правило, посредством которого лю бому элем енту х мно
ж ества		R и лю бому	вещ ественному числу	Л ставится	в соответствие
элемент		и этого м нож ества, назы ваем ы й		произведением		элем ент а х
на число А и обозначаем ы й символом и =				Лх и л и и =	хЛ.
III.	У казанны е д в а п рави ла подчинены			следую щ им	восьми аксио
мам:
1 °) х		+ у = у +	х (переместительное свойство суммы);
2°)	(х + у) + z		= х + (у + z) (сочетательное свойство суммы);
3°) сущ ествует нулевой элемент 0 такой, что х + 0 =						х д л я лю бого
элемента х (особая роль нулевого элемента);
4°) д л я каж дого элемента х сущ ествует прот ивополож ны й элемент
х' такой, что х + х'			= 0;

		§ 1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА			47
5°)	1 - х	= х	для любого элем ент а х (особая роль числового мно
ж и тел я	1 );
6 °) A(/ix)		=	(A/i)x (сочетательное относительно числового м нож и
теля свойство);
7°)	(А +	/i)x	= Ах +	fix (распределительное относительно суммы
числовы х м нож ителей свойство);
8 °) А(х + у)			= Ах +	Ау (распределительное относительно суммы
элементов свойство).
П одчеркнем ,			что при	введении понятия линейного	пространства

мы абстрагируем ся не только от природы изучаем ы х объектов, но и от конкретного вида правил образования сум м ы элем ентов и произведе ния элемента на число (важ но лиш ь, чтобы эти п рави ла удовлетворяли восьми аксиом ам, сф орм улированны м в данном вы ш е определении).

Если ж е природа изучаем ы х объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элем ента на число указаны 1) , то мы

будем н азы вать линейное пространство конкрет ны м .

П риведем прим еры конкретны х линейны х пространств.

П ри м ер 1 . Рассм отрим множ ество всех свободных векторов в

трехмерном пространстве. О перации слож ения указанны х векторов и

ум нож ения этих векторов на числа определим так, как это бы ло сде

лано в аналитической геом етрии (сложение векторов определим по

правилу «параллелограм м а»; при ум нож ении вектора на вещ ествен

ное число А дли н а этого вектора ум нож	ается на \|А\|, а направление при
А > 0 остается неизменны м, а при А <	0 — изм еняется на противопо

лож ное) .
Элементарно проверяется справедливость всех аксиом		1 ° ) - 8 °)
(справедливость всех аксиом,	за исклю чением аксиом ы 5°),	установ
лена в курсе аналитической	геом етрии 2) , справедливость	аксиом ы

5°) не вы зы вает сомнений).

Таким образом, множ ество всех свободных векторов в пространстве с так определенны ми операциям и слож ения векторов и ум нож ения их на числа представляет собой линейное пространство, которое мы будем обозначать символом В%.

А налогичны е м нож ества векторов на плоскости и на прям ой, такж е являю щ иеся линейны м и пространствам и, мы будем обозначать соот ветственно символами _Е? 2 и Б ь

П ри м ер 2. Рассм отрим множ ество { х } всех п о л о ж и т е л ь н ы х

1) Разумеется, эти правила долж ны быть указаны так, чтобы были справед ливы свойства 1 °)—8°), перечисленные в данном выше определении в виде аксиом.

2) См. выпуск «Аналитическая геометрия», гл. 2, § 1 , и. 2.

48	ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
вещ ественны х	чисел. О пределим сумму двух элементов ж и у этого

м нож ества как произведение вещ ественны х чисел ж и у (понимаемое в обы чном в теории вещ ественны х чисел смысле). П роизведение эле мента ж м нож ества {ж} на вещ ественное число Л определим как воз

ведение полож ительного вещ ественного числа ж в степень Л. Н улевы м элементом м нож ества {ж} будет явл яться вещ ественное число 1 , а про

тивополож ны м (для	данного	элем ента ж) элементом будет явл яться
вещ ественное число 1	/ж.
Л егко убедиться в справедливости всех аксиом 1 °)-8°). В самом де
ле, справедливость аксиом 1 °)		и 2 °) вы текает из переместаительного

и сочетательного свойств произведения вещ ественны х чисел; справед


ливость аксиом 3°)				и 4°)	вы текает из элем ентарны х равенств ж • 1		=
=	ж, ж • 1 /ж	=	1	(для	лю бого вещ ественного ж > 0 ); аксиом а		5°)
экви вален тн а равенству ж1 =						ж; аксиом ы 6 °) и 7°) справедливы в си
лу	того, что	д л я	лю бого ж >			0 и лю бы х вещ ественны х Л и /л имею т
место соотнош ения				(жм)Л	= жЛм, х(л + Л = жл • жм; наконец, справед

ливость аксиом ы 8 °) следует из того, что д л я лю бы х полож ительны х


ж и у и д л я			лю бого вещ ественного Л имеет		место равенство (жу ) х =
=	х х у х . И так, мы убедились, что множ ество {ж} с так определенны ми
операциям и			слож ения элементов и ум нож ения их на числа является
линейны м пространством .
	П ри м ер 3. В аж н ы й пример линейного п ространства дает м нож е
ство А п , элементами которого				служ ат упорядоченны е совокупности
п	произвольны х вещ ественны х			чисел (ж1 , Ж2	, . .. , х п ).	Э лементы это
го	м нож ества мы будем обозначать одним				символом	х, т. е. будем
писать х		=	(ж1 , Ж2 , ..., жп), и	при этом н азы вать вещ ественны е чи
сла Ж1 , Ж2		, ..., х п координат ам и элемента х.
	В анализе множ ество А п обы чно назы ваю т п -м ер н ы м координат
ны м прост ранст вом 3) . В алгебраической трактовке						м нож ество А п

м ож но рассм атри вать как совокупность всевозм ож ны х строк, к аж д ая

из которы х содерж ит п			вещ ественны х чисел (что мы уж е и делали в
§3 гл. 1 ).
О перации	слож ения		элементов м нож ества А п				и ум нож ения	этих
элементов на вещ ественны е числа определим правилам и:
(жЬ Ж2, . .	х п )	+ (2/1	, 2/2 ,	• •	Уп)	= (x i + 2/1, ж	2 + 2/2 , . . ., х п	+ 2/п),
	А(жь ж2, . .				х п ) =	(Ажь Аж2, ... ,	Ажп).
П редоставляем		читателю		элем ентарную проверку справедливости
всех аксиом	1 ° ) - 8	°) и	того	ф акта,		что нулевы м	элементом рассм ат

3) См. выпуск «Основы математического анализа», часть 1, гл. 14, § 1, и. 4.

§ 1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

риваем ого м нож ества	явл яется	элем ент 0 = (0 , 0 , ... , 0 ), а противопо
лож ны м д л я элемента	(ад, Ж2 , .	. х п ) явл яется элемент (—ад, —а?2 , . . .

.	. х п .
	П ри м ер 4 . Рассм отрим далее множ ество С [а, Ь] всех ф ункций х =
=	ж(£), определенны х и непреры вны х на сегменте а ^ t ^ Ъ. О пера

ции слож ения таких ф ункций и ум нож ения их на вещ ественны е числа определим обы чны м и правилам и м атем атического анализа. Э лемен

тарно проверяется справедливость аксиом 1	° ) - 8 °) 4) , позволяю щ ая за
клю чить, что С [а, Ь] множ ество явл яется	линейны м пространством .
П ри м ер 5 . Следую щ им примером линейного п ространства м ож ет
служ ить множ ество {Р п (£)} всех алгебраических м ногочленов степе

ни, не превы ш аю щ ей натурального числа п, с операциям и, определен

ными так ж е, как	в преды дущ ем примере. Зам етим ,		что м нож ество
{Р п (£)}, если его рассм атри вать на сегменте а ^ t ^			Ь, явл яется под
м нож ест вом линейного		п ространства С [а, Ь], рассм отренного в при
мере 4.
З а м е ч а н и е	1 . Д л я	разъ ясн ен и я изучаем ого понятия линейного

п ространства укаж ем прим еры м нож еств, по той или иной причине не являю щ ихся линейны м и пространствам и:

а) множ ество всех векторов п ространства с исклю чением векторов,

коллинеарны х некоторой прям ой I (ибо в пределах этого		м нож ества
н ельзя	склад ы вать векторы , сим м етричны е относительно	указанной
прям ой	/);

б) множ ество всех м ногочленов степени, точно равной н атуральн о

му числу п (сумма двух таких м ногочленов		м ож ет оказаться	м ного
членом степени ниж е п);
в) множ ество	всех м ногочленов степени,	не превы ш аю щ ей	н ату
рального п, все	коэф ф и ц и ен ты которы х полож ительны (элементы

такого м нож ества н ельзя ум нож ить на отрицательны е вещ ественны е ч и сл а).

З а м е ч а н и е 2 . О тметим, что элем енты произвольного линейно

го п ространства принято н азы вать векторам и . То обстоятельство, что часто термин «вектор» употребляется в более узком смысле, при этом не приводит к недоразум ениям , а, напротив, взы вая к слож ивш им ся геом етрическим представлениям , позволяет уяснить, а зачастую и предвидеть р яд результатов, справедливы х д л я линейны х пространств произвольной природы .

З а м е ч а н и е 3. В сф орм улированном нами определении линейно

4) В частности, нулевым элементом пространства С [а, Ь] является ф ункция, тождественно равная нулю на сегменте а <С t <С Ь.

4 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к

50 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

го п ространства числа А, щ . . . брались из м нож ества вещ ест вен н ы х

чисел. П оэтому определенное нам и пространство естественно н азвать

вещ ест венны м ли н ей н ы м прост ранст вом . П ри более ш ироком подхо


де мож но брать А, щ		. .. из м нож ества ком плексны х чисел. П ри этом
мы придем к понятию ком плексного линейного прост ранст ва.
2 .	Н екоторы е	свойства		произвольны х линейны х п ро
странств. И з аксиом		1°)-8°)	в качестве логических следствий м ож но
получить р яд утверж дений,			справедливы х д л я произвольны х линей
ны х пространств. В качестве прим ера установим д в а утверж дения.
Т еорем а 2 .1 . В произвольном ли н ей н о м прост ранст ве сущ ест ву
ет единст венны й нулевой элем ен т				и для каж дого элем ент а х сущ е
ст вует	единст венны й прот ивополож ны й элем ент .

Д о к а з а т е л ь с т в о . С ущ ествование хотя бы одного нулевого эле мента утверж дается в аксиоме 3°). П редполож им , что сущ ествую т дв а

нулевы х элемента Oi и О2					. Тогда, полагая в аксиоме 3°)					сн ачала х =
=	Oi,	0	=	О2 , а затем х	=	О2 , 0 =	Oi, мы	получим	д в а равенства
Oi	+	О2	=	Oi, О2 + Oi	=	О2 , левы е	части	которы х	(в	силу аксио

мы 1 °)) равны . С тало бы ть, в силу транзитивности зн ака «= » равны и правы е части двух последних равенств, т. е. Oi = О2 , и единственность нулевого элемента установлена.

С ущ ествование д л я каж дого элемента х хотя бы одного противо полож ного элемента у утверж дается в аксиоме 4°). П редполож им , что

д л я некоторого элемента х сущ ествует д в а противополож ны х элем ента


У г и у 2, так что x		+ y i	=	0 и х		+	У2	=	0. Но тогда, в силу аксиом
3°), 2°) И 1°), У1 =		У1 +	0	= У1 +			(х	+	у 2 = (y i + х) + у 2 = 0 +
+ У2 = У2 + 0 =		у 2 5 т. е .		у 1	=	у 2 ,		и единственность д л я		каж дого
элемента х противополож ного элемента доказана. Т еорема										доказана.
Т еорем а 2.2 . В		произвольном ли н ей н о м прост ранст ве
1 )	нулевой элем ен т 0		равен		произведению произвольного элем ен
т а х	на вещ ест венное число 0;
2 )	для каж дого элем ент а х прот ивополож ны й элем ен т равен про

изведению эт ого элем ент а х на вещ ест венное число —1.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) П усть х — произвольны й элемент, а у — ему

противополож ны й . П оследовательно прим еняя аксиом ы

3°), 4°), 2°),

5°), 1°), 7°)

и снова 5°) и 4°), будем

им еть

х • 0 =

х - 0

х • 0 +

+ (х +

у)

= (х • 0 +

х) +

у = (х • 0 + х • 1)

+ у

= х(0

+ у =

= х - 1

+ у = х + у = 0 , т. е. х • 0 = 0 .

(—1) • х. И спользуя ак

2) П усть

х — произвольны й элемент, у

сиомы

5°),

7°),

1°) и

уж е

доказанное равенство х

• 0

получим

равенство

х +

(—1)х =

1 • х +

(— 1)х

(—1)]х =

= 0 -х

• 0

0, которое и доказы вает

(в силу

аксиом ы

4°)), что

у — элемент противополож ны й х. Т еорема доказана.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 325 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf