Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ					31
суммы	в (1.35),	совсем не зави сят от элементов			строк с ном ерам и			i\
и г2 и сохраняю т свое значение. Тем самы м свойство 2°) доказано.
3°)	Л и н е й н о е		с в о й с т в о	о п р е д е л и т е л я . Будем говорить,
что некоторая строка (щ , а 2, . .. ,				ап ) явл яется ли н ей н о й ком бинацией
строк	(Ьь Ь2, . .. ,	bn), (ci, с2, ... ,		сп), ... , (di, d2,	... ,	dn )	с к оэф ф и ц и
ентами	А, /г, ... ,	г/,	если aj = A5j + /iCj + . . .		+	i/dj	д л я всех j	=
= 1, 2,	... , п.

Л инейное свойство определителя мож но сф орм улировать так: если

в определит еле п -го порядка А некот орая i -я строка (а ц , щ 2, ... , a in )

я в ля е т с я	ли н ей н о й ком бинацией	двух	ст рок	(Ъ\, Ь2, . .. ,	Ьп)	и	(ci,
с2, ... , сп)	с коэф ф ициент ам и А	и ц ,	то Д	= А Д 1 +	д Д 2;		где
Д 1 — определит ель, у которого i -я строка равна (Ъ\, Ь2, ... ,					Ьп),	а все

ост альны е ст роки т е ж е, чт о и у А , а Д 2 — определит ель, у кот о рого i -я строка равна (щ , с2, ... , сп ), а все ост альны е ст роки т е ж е, чт о и у А .

	Д л я доказательства разлож и м					каж ды й из трех определителей Д ,
A i	и Д 2 по г-й строке и зам етим ,					что у всех трех определителей все
м иноры		M j	элементов г-й строки			одинаковы . Но отсю да следует, что
ф орм ула		Д	=	А Д 1 +	/гД 2 сразу	вы текает из равенств ац	— Abj +
+	Mci (j	=	1, 2,	п ).
	К онечно, линейное				свойство справедливо и д л я случая,		когда i -я

строка явл яется линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. К ром е того, линейное свойство справедливо и д л я столбцов определи теля.

Д оказанны е три свойства являю тся основны м и свойствам и опреде лителя, вскры ваю щ им и его природу.

Следую щ ие п ять свойств являю тся ло ги ческ и м и следст виям и трех

основны х свойств.

С л е д с т в и е 1. О пределит ель с двум я одинаковы ми ст рокам и (и ли

ст олбцам и) равен нулю .

В самом деле, при перестановке двух одинаковы х строк, с одной стороны , определитель Д не изм енится, а с другой стороны , в силу

свойства 2°) изм енит зн ак на противополож ны й . Таким образом, Д =

= —Д , т. е. 2 Д	=	0 или Д	= 0.
С л е д с т в и е	2.	У м нож ение всех элем ент ов некот орой ст роки
(и ли некот орого		ст олбца)	определит еля на	число А равносильно
ум нож ен ию определит еля на эт о число А.
И ны ми словами, общ ий			м н о ж и т ель всех	элем ент ов	некот орой
ст роки (и ли некот орого ст олбца) определит еля м ож но					вы нест и за

зн ак эт ого определит еля. (Это свойство вы текает из свойства 3°) при

ц = 0.)

32		ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
С л е д с т в и е	3.	Е сли все элем ент ы	некот орой	ст роки	(и ли неко
торого ст олбца)		определит еля равны	н улю , то и	сам определит ель
равен нулю . (Это свойство вы текает из преды дущ его при Л = 0.)
С л е д с т в и е	4 .	Е сли элем ент ы двух ст рок (и ли двух			ст олбцов)

определит еля пропорциональны , то определит ель равен нулю . (В са мом деле, в силу следствия 2, м нож итель пропорциональности м ож

но вы нести за зн ак определителя, после чего останется определитель

с двум я одинаковы м и строками, которы й равен нулю согласно след


ствию 1).
С л е д с т в и е			5. Е сли к элем ен т а м некот орой ст роки (и ли некот о
рого	ст олбца)		определит еля прибавит ь соот вет ст вую щ ие элем ен
т ы	другой ст роки (другого ст олбца ), ум нож енны е на произвольны й
м н о ж и т ель		А,	то вели чи н а определит еля не изм ени т ся .
В самом		деле, полученны й в результате указанного прибавления

определитель мож но, в силу свойства 3°), разбить на сумму двух опре делителей, первы й из которы х совпадает с исходным, а второй равен нулю, в силу пропорциональности двух строк (или столбцов) и след ствия 4.

З а м е ч а н и е .		С ледствие 5, как		и	линейное свойство,	допускает
более	общ ую ф орм улировку,		которую		мы приведем д л я	строк: ес
л и к	элем ен т а м	некот орой	ст роки	определит еля прибавит ь соот

вет ст вую щ ие элем ент ы ст рокщ являю щ ей ся ли н ей н о й ком бинацией н ескольких других ст рок эт ого определит еля (с каким и угодно коэф

ф и ц и ен т а м и ),	то вели чи н а определит еля не изм ени т ся .
С ледствие	5 ш ироко прим еняется при	конкретном вы числении
определителей	(соответствую щ ие прим еры	будут приведены в следу
ющем пункте).

П реж де чем сф орм улировать еще одно свойство определителя, вве дем полезное понятие алгебраического дополнения данного элемента

определителя.
А лгебраическим	дополнением данного элем ент а ац	определит еля
п -го порядка (1.11)	назовем чи сло , равное (—1)г + -?М*	и обозначаемое
сим волом A ij.

Таким образом, алгебраическое дополнение данного элем ента мо


ж ет отли чаться от м инора этого элем ента только знаком .
С помощ ью понятия алгебраического дополнения теорем ы 1.1		и
1.2 мож но п ереф орм улировать	так: сум м а произведений элем ент ов
лю бой ст роки (любого ст олбца)	определит еля на соот вет ст вую щ ие

алгебраические дополнения эт ой ст роки (эт ого ст олбца) равна эт о

му определит елю .

Соответствую щ ие ф орм улы разлож ен и я определителя по г-й стро-

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ке и по j -му столбцу мож но переписать так:

Д	—		a ijA ij	(для лю бого i	=	1, 2, . .	п ),	(1.13')
		3 = 1
		п
Д	=		a ^ A ij	(для лю бого j	=	1, 2, . • .,	п ).	(1 .2Г )
		2=1
Теперь	мы	можем сф орм улировать последнее свойство определи
теля:
4°) С в о й с т в о			а л г е б р а и ч е с к и х		д о п о л н е н и й			с о с е д н и х
с т р о к ( и л и		с т о л б ц о в ) . С ум м а произведений					элем ент ов какой-
либо ст роки		(и ли	какого-либо ст олбца)			определит еля		на соот вет

ст вую щ ие алгебраические дополнения элем ент ов лю бой другой ст ро ки (любого другого ст олбца) равна нулю .

Д оказательство проведем д л я строк (для столбцов оно проводится

аналогично). З ап и сы вая подробно ф орм улу (1.13')
	а п	а\2	..	а \п
	a2i	а22	• •	а2П	— А ц о ц +	Ai2	+ ..- • Т		A-inaim		(1.36)

	ani	ап2	• - -	апп
зам етим ,		что поскольку алгебраические дополнения А ц ,									... , А{п
не зависят от элементов г-й строки а п ,						а ^ ,	. . щ п , то равенство (1.36)
явл яется тож деством относительно а ц ,						а ^ ,	. . а%п		и сохраняется при
замене	чисел а п , а ^ , . . оцп лю бы ми					другим и		п	числами. Зам енив
а п , ai2 , ... , ain			соответствую щ ими элементами					лю бой		(отличной от
г-й) к -й строки			a ki,	а^2 , ... , а^п , мы получим слева в						(1.36)	опреде
литель	с двум я		одинаковы м и строками, равны й					нулю		согласно след
ствию	1. Таким образом,
			Ai\cik\ Т А п а ^ Т . .. Т A in a^n					—	О

(для лю бы х несовпадаю щ их i и к).

5. П рим еры вы числения оп р едел и тел ей . П ри конкретном вы числении определителей ш ироко использую тся ф орм улы разлож ен и я по строке или столбцу и следствие 5, позволяю щ ее, не изм еняя ве личины определителя, п ри бавлять к лю бой его строке (или столбцу) произвольную линейную комбинацию других его строк (или столбцов). Особенно удобно использовать ф орм улу разлож ен и я по тем строкам (или столбцам), многие элем енты которы х равны нулю . В частности,

3 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к

34 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

если в данной строке отличен от нуля только один элемент, то р азло ж ение по этой строке содерж ит только одно слагаемое и сразу сводит вопрос о вы числении определителя порядка п к вопросу о вы числении определителя порядка (п — 1) (минора, стоящ его в указанном слагае мом).

Если в данной строке отличны от нуля несколько элементов,

отвечаю щ их пересечению этой строки с нескольким и столбцами, то, прим еняя к указанны м столбцам следствие 5, мы м ож ем, не изменив

определителя, обратить в нуль все элем енты данной строки, за исклю

чением одного.
П ерейдем к конкретны м прим ерам .
П р и м е р	1. П усть требуется вы числить следую щ ий определитель
четвертого порядка:
	4	99	83	1
	0	8	16	0
	60	17	134	20
	15	43	106	5
В ы читая из	первого столбца утроенны й			последний столбец, будем
им еть	1	99	83	1
	1	99	83	1
	0	8	16	0
	0	17	134	20
	0	43	106	5

Д алее естественно р азло ж и ть определитель по первому столбцу. В ре зультате получим

8 16 О

Д = 1 • 17 134 20

43 106 5

Теперь в определителе третьего порядка вы чтем из второго столбца удвоенны й первы й столбец. П ри этом будем им еть

8	0	0
Д = 17	100	20
43	20	5

Р азл агая, наконец, последний определитель третьего порядка по пер вой строке, окончательно получим

100	20
Д = 8-	8(500 - 400) = 800.

20 50

		§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ								35
П р и м е р 2. В ы числим			так	назы ваем ы й т реугольны й						определи
т е л ь , у	которого все	элементы ,		леж ащ ие			вы ш е главной			диагонали,
равны нулю
	Оц		0	. ..			О	О
	0*21		а22	• • •			О	О
	Д п
	—1)1		—1)2 •••		^(п —l)(n —1)				U
	(2П1		(2п2	• • •			^n(n —1)	^пп
Р азл агая	определитель	Д п по последнему					столбцу,	мы	получим, что
он равен произведению элемента апп					на	треугольны й			определитель
(п — 1)-го порядка Д п _ 1 , равны й
		All		0	. ..		О
		021		&22	• •	•	О
		—1)1		—1)2	•••		^(п —l)(n—1)

П оследний определитель мы снова разлож и м по его последнему столб цу, в результате чего убедим ся в том, что он равен произведению элемента a,(n - i ) ( n - i ) на треугольны й определитель (п — 2)-го поряд ка Д п _ 2 - П родолж ая аналогичны е рассуж дения, мы придем к следую

щ ему вы раж ению д л я исходного определителя: Д п = а ц а 2 2 • • • а пп. И так, т реугольны й определит ель равен произведению элем ен т о в,

ст оящ их на его главной диагонали.

З а м е ч а н и е 1. Если у определителя Д равны нулю все элементы ,

леж ащ ие ниж е главной диагонали, то этот определитель такж е равен произведению элементов, леж ащ их на его главной диагонали (убедить ся в этом мож но по схеме, излож енной выш е, но примененной не к по следним столбцам, а к последним строкам; м ож но и просто произвести транспонирование Д и свести этот случай к рассм отренному вы ш е).

А налогичны м способом устанавливается, что определитель, у кото

рого равны нулю все элементы , леж ащ ие вы ш е (или ниж е) побочной диагонали, равен произведению числа (—1)п(п - 1)/2 и всех элементов, леж ащ их на этой диагонали .

П р и м е р 3. Обобщ ением треугольного определителя второго по

ряд ка м ож ет служ ить определитель 2п-го порядка следую щ ей блочной

А	О	А , В и С — произвольны е квадратн ы е
м атрицы	, в которой	А , В и С — произвольны е квадратн ы е
В	С

м атрицы n -го порядка, а О — нулевая к в ад р атн ая м атри ц а n -го по рядка. У бедимся в том, что д л я указанного определителя справедлива

з:

36	ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ф о р м у л а

АО

=\А\ |С 121) . (1.37)

ВС

Привлекая теорем у Л ап ласа, разлож и м определитель, стоящ ий в левой части (1.37), по первы м п ст рокам . Т ак как определитель, у ко

торого хотя бы один столбец состоит из нулей, равен нулю, то в ф о р муле разлож ен и я (1.31) будет отлично от нуля только одно слагаемое,

причем это слагаемое (в силу того,	что ( _ 1)Т + ••• + n) + Т + ••• + n) =	1)
будет как раз равно \А\ \С\.
З а м е ч а н и е 2. А налогичны м и	рассуж дениям и легко убедиться	в
справедливости ф орм улы

АВ

= (-1)"|В| |С| (1.38)

С О

(Л, В , С и О имею т тот ж е смысл, что и вы ш е).

Д л я этого следует р азло ж и ть определитель, стоящ ий в левой части

(1.38), по последним п

строкам и учесть, что

[(n + 1) +

• • • +

2n] + [1 +

... + п\

-|^ 2 n (2 n +

1 )/2

П р и м е р

4. В ы числим теперь так назы ваем ы й определит ель В а н

дермонда

х 2

Хп

(жь

х 2, • •

Хп ) =

x l

х \

х 2

(1.39)

—1

х 2

—1

п — 1

х п

В ы читая первы й столбец из всех последую щ их, будем иметь

(х 2

Xl)

{х„

X l)

Д (жь х 2,

■■

Хп ) =

х \

(х 2

4 )

( x l -

x i )

гГп ~ 1

( 4 ” 1

- х ? - 1) . . . «

Д - 1)

Х1

Д алее естественно произвести разлож ение по первой строке, в ре-

2-1) Напомним, что символами \А\ , \В\ , \С\ , ... мы договорились обозначать определители матриц А, В, С, . . . соответственно.

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

зультате чего мы получим

д (жх,ж2,	,Х п)	=
	(ж2	-	Жх)	(ж3	-	Жх)
=	(ж\|	-	х \)	(4	- 4 )
	( ж Г 1	- х ? - 1)		( ж Г 1 -		^ - 1) ..

	(х п	-	Жх)
	(х п2	- х	! )
7Г	1	1	н	1

В ы читая теперь из каж дой строки преды дущ ую					строку, умнож ен
ную на Х\ , получим
д (жх, Х2, •у Хп) —
(ж2	-	Жх)	(ж3 -	Жх)	(ж„	-	Жх)
ж2 (ж2	-	Жх)	Х3(х 3 -	Жх)	Х „ (хп	-	Жх)
Х2 ~ 2(х 2		- x l)	х 3 ~ 2(х 3	- Жх) . • •	ж” “ 2 (ж„		- Жх)

Д алее мы можем вы нести за зн ак определителя общ ий м нож итель пер вого столбца, равны й (х 2 — ад), общ ий м нож итель второго столбца, равны й (жз — x i), ... , общ ий м нож итель (п — 1 ) - г о столбца, равны й

(х п — х \) . В результате получим

(ж1; ж2, . .

х п )

(ж2 -

Х г ) ( х 3

жх) . . . (х п

жх) • Д (ж2, ж3, . .

ж„).

Со стоящ им

правой части

определителем

(ж2, ж3, . . х п )

по

ступим точно так ж е, как и с Д

(жх, ж2, . . х п ). В результате получим,

что

Д (ж2, ж3,

... ,

х п )

= (ж3

ж2) . . . (ж„

ж2) • Д (ж3, . .

х п ).

П родолж ая

аналогичны е

рассуж ден и я

далее,

окончательно полу

чим, что исходный определитель (1.39) равен

(жх, ж2, . .

х п )

(ж2

- Жх)(ж3 -

Жх). . . (ж„ -

Жх)(ж3

- ж2) . . .

• • • (ж„

ж2) . . . (ж„

- ж „ _ х ).

6 . О п р е д е л и т е л ь

с у м м ы

и п р о и з в е д е н и я

м а т р и ц .

Н епосред

ственно из линейного свойства определителя вы текает, что определи т ель сум м ы двух квадрат ны х м а т р и ц одного и того ж е порядка п

38	ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
А =	\\ciij\\ и В = \\bij\\ равен сум м е всех р а зли ч н ы х определит елей

порядка п, которые м о гут п о лу ч и т ь с я , если част ь ст рок (и ли ст олб

цов) брать	совпадаю щ им и	с соот вет ст вую щ им и ст рокам и	(и ли
ст олбцам и)	м ат рицы А , а	ост альную част ь — совпадаю щ им и	с со

о т вет ст вую щ им и ст рокам и (и ли ст олбцам и) В .

Д окаж ем теперь, что определит ель м ат рицы С , равной произведе

нию квадрат ной м ат рицы А па квадрат ную			м а т р и ц у		В , равен про
изведению	определит елей м а т р и ц А	и В .
П усть	порядок всех трех м атриц	А , В и	С	равен п,	и пусть О —
нулевая к в ад р атн ая м атри ц а порядка n, а (— 1)Е				следую щ ая м атрица:

	1 I—1
тI—1	0
тI—1	' б II
	0

0 ..

1 I—1

0 ..

1 I—1

В	силу	прим ера	2 из	преды дущ его			пункта	определитель	м атрицы
(—1)Е равен числу (— 1)п .
	Рассм отрим		следую щ ие		две	блочны е		квад ратн ы е	м атрицы
порядка 2 п:
			А	О		И	А	С
			( - 1 )Е В			И	( - 1 ) Е	О
			( - 1 )Е В				( - 1 ) Е	О
	В силу ф орм ул (1.37) и (1.38) из преды дущ его пункта, определите
ли этих м атриц равны
	А	О	\A \- \B \,		А		С	( - 1 Г \| ( - 1 ) Д \|С 1 = \|С1 .
(	- 1 )Е	В	\A \- \B \,		( - 1	)Е	О	( - 1 Г \| ( - 1 ) Д \|С 1 = \|С1 .
(	- 1 )Е	В			( - 1	)Е	О

Таким образом ,достаточно доказать равенство определителей

А	О	А	С
( - 1 )Е В		И
( - 1 )Е В		( ~ 1 ) Е О

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

П одробнее эти д в а определителя мож но записать так:

а ц	^ 1 2		« 1 п	0	0	. . .	0
« 2 1	^ 2 2 . . .		« 2 п	0	0	. . .	0
«п1	2	• • •	«пп	0	0	. . .	0
«п1	&п	• • •	«пп
- 1	0	. . .	0	Ьц	bl2		Ьщ
0	- 1	. . .	0	^ 2 1	^ 2 2	•••	ь2п

0	0
а ц	« 1 2
^ 2 1	« 2	2

. . .	-	1	Ьп1	ЬП2 •••	Ьпп
	« 1	п	Си	С1 2	СIn
. . .	«2 п		С2 1	2 2	2
			С2 1	С	С п

0"п1	«п2	• • •
- 1	0	. . .
0	- 1	. . .

	Cnl	Сп2	•••	Спп
0	0	0	. . .	0
0	0	0	. . .	0

0	0	. . .	- 1	0	0	. . .	0
Д л я того чтобы	убедиться		в	равенстве		этих	двух определителей,

достаточно зам етить, что первы е п столбцов у этих определителей сов падаю т, а каж ды й столбец второго определителя (1.40) с номером п + к

(где к = 1 , 2 , . .. , п), в силу ф орм улы	с^- =	= 1 ctikbkj, получается
в результате прибавления к (п + к)-ш у	столбцу первого определителя

(1.40) линейной комбинации первы х п его столбцов с коэф ф ициентам и, соответственно равны м и bki, bk2 , . . bkn • Таким образом, определите ли (1.40) равны в силу следствия 5 из и. 3.

В заклю чение зам етим , что непосредственно из ф орм улы (1.37) вы

		А	О
текает, что определитель прям ой суммы \| А 0 В \			двух м ат
		О	В
риц Аж В равен произведению определителей этих м атриц.
7. П о н я т и е о б р а т н о й		м а т р и ц ы . П усть А — кв ад р атн ая м атри ц а
n -го порядка,	а Е — единичная к в ад р атн ая м атри ц а того ж е			порядка
(см. и. 2 § 1 ).
М атрица В	назы вается	правой обратной по отнош ению		к м атри
це А , если А В	= Е .

М атрица С назы вается левой обратной по отнош ению к м атрице А ,

если С А	=	Е .
Т ак	как	обе	м атрицы	А	и Е	являю тся квадратн ы м и м атрицам и
порядка	п,	то	м атрицы	В	ж С	(при условии, что они сущ ествую т)
такж е являю тся квадратн ы м и м атрицам и порядка п.
У бедимся в том, что				если обе м ат рицы В и С сущ ест вую т , то

40	ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
они	совпадают м еж ду собой. В самом	деле,	на основании равенств
(1.7)	(см. п. 2 §1), соотнош ений А В =	Е , С А	— Е и сочетательного

свойства произведения м атриц получим

С = С Е = С (А В ) = (С А )В = Е В = В .

Естественно, возникает вопрос об условиях на м атрицу А , при вы

полнении которы х д л я	этой	м атрицы сущ ествую т	как	левая, так и
п р ав ая обратны е м атрицы 22) .
Т е о р е м а 1 .4 . Д л я	т ого,	чтобы для м ат рицы	А	сущ ест вовали

лева я и правая обратные м а т р и ц ы , необходимо и дост ат очно, чтобы

определит ель det А м ат рицы А

был о т личен от нуля .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Н е о б х о д и м о с т ь . Если

д л я

м атрицы

сущ ествует хотя бы одна из обратны х м атриц, наприм ер

5 , то из со

отнош ения А • В

= Е мы получим, что det А • det В

= det Е — 1 23) ,

откуда вы текает, что det А ф 0.

2 ) Д о с т а т о ч н о с т ь .

П усть

определитель

= det А

отличен

от

нуля. О бозначим,

как и

выш е,

символом

А ц

алгебраические допол

нения элементов

ац м атрицы А

составим м атрицу

5 ,

в г-й строке

которой стоят алгебраические дополнения г-го столбца

м атрицы

А ,

поделенны е на величину определителя Д :

А - 2 1

A - n i

" д

" "

" д

- 1 2

А - 2 2

д ~

" д

■ ''■

А - 1 п

А г п

ААЗ -П П

" "

У бедимся в том, что

эта м атри ц а

явл яется

как

правой, так

левой обратной по отнош ению к м атрице А .

Д остаточно доказать,

что оба

произведения А В

В А являю тся

единичной м атрицей. Д л я этого достаточно зам етить, что у обоих про

изведений	лю бой эле м е н т , не леж а щ и й	на главной диагонали, равен
н улю , ибо	после вы носа м нож ителя 1 / Д	этот элемент равен сумме

произведений элементов одной строки (или одного столбца) на соот ветствую щ ие алгебраические дополнения другой строки (или другого столбца). Ч то ж е касается элементов, леж ащ их на главной диагонали, то у обоих произведений А В и В А все такие элем енты равны едини це в силу того, что сум м а произведений элементов и соответствую щ их

22)и , стало быть, эти матрицы совпадают.

23) det Е = 1 в силу примера 2 из и. 5 этого параграф а.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 324 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf