Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

3. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ					211
П реобразование базисны х векторов e i, е 2, ..., еп назы вается т р е
у го л ь н ы м , если оно имеет следую щ ий вид:
fi	=	е ь
f2	=	a2ie i	+	е 2,
f3	=	a 3ie i	+	< 424 + ез,	(7-19)

fп — flniei + <424 + ... + en.

З а м е ч а н и е .	Т ак как определитель м атрицы треугольного преоб
разован и я (7.19)	отличен	от нуля	(равен 1),	то векторы fi,	f2, ... , fn
образую т базис.
Введем в рассм отрение угловы е миноры				м атрицы А { е )	= (щ Д
коэф ф ициентов	ф орм ы	А (х, х) в	базисе е,	обозначив их	сим вола
ми Д ь Д 2 , . . . , Д	п - ь

Д 1 — <4i, Д 2			<4i	ai2
			4 i	<42

			• • -5	—1		<41		<4,П — 1			(7.20)
					<4 —1,1		•••	<4 —1,п—1

С праведливо следую щ ее утверж дение.
Т е о р е м а		7 .4 .	П уст ь м иноры			Д 1 , Д 2, ... ,		Д п	м ат рицы		(щД
квадрат ичной		формы		А (х, х)	от личны		от	н уля . Тогда			сущ е
ст вует	единст венное			т реугольное		преобразование			базисны х		век
торов	ei, е 2,	... ,	е п , с	пом ощ ью	которого ф орму				А (х, х)	м ож но
привест и к каноническом у виду.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Н апомним,		что	коэф ф и ц и ен ты			bij	ф о р
мы А (х, х) в		базисе fi,		f2, ... , fn	вы числяю тся			по ф орм улам			=

=а ( f i.f i) .

	Если ф о р м а А (х, х) в базисе fi, f2, ... , fn имеет канонический вид,
то	= 0 при i	ф j . П оэтому д л я доказательства теорем ы достаточ
но	построить с	помощ ью треугольного преобразования (7.19)	такой
базис f i , f2, ... ,		fn , в котором будут вы полняться соотнош ения
	A (fi, fj)	= 0 при i ф j , или, что то ж е, при i < j	(7.21)

(при этом, конечно, надо убедиться, что искомое преобразование един ственно).

Если обратиться к ф орм улам (7.19) д л я f^, то, используя линейное свойство квадрати чн ой ф орм ы А (х, х) по каж дом у аргументу, легко

14*

212 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

зам етить, что соотнош ения (7.21) будут вы полнены , если будут вы пол нены соотнош ения 5)

А ( е и fj) = 0,	И ( е 2, fj)	=	0, ... , А ( е , - _ ь	fj) =	0,	(7.22)
	3 = 2	, 3,	... , п.
Запиш ем ф орм улы (7.22) в развернутом виде. Д л я этого подставим
в левы е части этих ф орм ул вы раж ение
fj = ajiei	+ a j 2 ^ 2 +	... + dj?j _ i e j _ i		+ B J		(7.23)
д л я fj из соотнош ений	(7.19). И спользуя далее свойство				линейности
А (х, х) по каж дом у аргум енту и обозначение Л ( щ ,				B J )	= a*j,	полу

чим в результате следую щ ую линейную систему уравнений д л я неиз вестны х коэф ф ициентов a j k :

&j l ^ l l Т ^ 7 2 ^ 1 2 + . ..	+ Ql j _ 1	j _ 1 H- 04j — 0,
OLjlCLj _ 1 Д + Otj2 dj —1 , 2 + . ..	+ Qj?j _ id j _ 1 ?j _ 1 + aj _ Цj =		0.
			(7.24)
О пределитель этой системы	равен A j _ 1	. По условию A j _ i	7 ^ 0.

С ледовательно, система (7.24) имеет единст венное реш ение. Таким об разом , мож но построить единственное треугольное преобразование ба

зисны х векторов, с помощ ью которого ф о р м а А (х, х) приводится к каноническому виду. Т еорема доказана.

П риведем ф орм улы , по которы м м ож но вы числить коэф ф и ц и ен

ты виц искомого треугольного преобразования, и ф орм улы д л я кано нических коэф ф ициентов Aj.

О бозначим		символом		A j _ i j			минор м атрицы (а^-),		располож ен
ный на пересечении строк					этой	м атрицы		с ном ерам и 1	, 2	, ... , j — 1
и столбцов	с ном ерам и		1 , 2		, ... ,	г	— 1, г +	1, . .. , j . Тогда,		обращ аясь
к системе	(7.24) и используя ф орм улы К рам ера, получим									следую щ ее
вы раж ение д л я осц:
			a ii		= ( - Ц		+ 1Д м	Т .		(7.25)
							A j _ i
Займ ем ся вы числением канонических коэф ф ициентов Aj.
Т ак как Aj		= bjj	=	AL(fj, fj), то из				вы раж ен и я (7.23) д л я fj и

5) Нетрудно убедиться, что из соотношений (7.21) следуют соотношения (7.22).

ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

213

ф орм ул

(7.22)

получаем

Лj =

( f f))

A ( a j ± e i +

a j2e 2 + . ..

i ej - i +

еЦ fj)

—

^ ( ej3 fj)

A ( e j , « j i e i

a j 2e 2 +

. ..

j _ ±ej _ i

e j)

QLjiCLij

QLj2a2j

. .. +

QLj^j —iCLj —

Hjj.

П одставляя вы раж ение

(7.25) д л я

ащ в правую

часть последнего со

отнош ения, найдем

Лj = ((-l)J+ 1aijAj_i>i + (-l)-7+ 2a2jAj-1,2 + •••

... + (-l)2-7

Ч ислитель последнего соотнош ения представляет собой сумму про изведений элементов строки с номером j в определителе A j на ал гебраические дополнения этих элементов в указанном определителе. С ледовательно, этот числитель равен A j . П оэтому

А,-	=	j	=	2,	3,	... , п.	(7.26)
Т ак как Л1 = H ( f i , f i )	=	H ( e i , e i )	=	а ц	=	A i ,	то отсю да и из (7.26)

получаем следую щ ие ф орм улы д л я канонических коэф ф ициентов:

Л! = Д ь Л2 =	. .. , А„ =	(7.27)
	ZAl	ААп- 1

§ 4. Закон инерции квадратичны х ф о р м . К л асси ф ик ац ия квадратичны х ф ор м

1. Закон инерции квадратичны х ф о р м . М ы уж е отм ечали (см. зам ечание 2 п. 1 преды дущ его п ар агр аф а), что ранг квадратичной ф орм ы равен числу отличны х от нуля канонических коэф ф ициентов.

Таким образом, число отличны х от нуля канонических коэф ф и ц и ен тов не зависит от вы бора невы рож денного преобразования, с помощ ью которого ф о р м а А (х, х) приводится к каноническому виду. Н а самом

деле при	лю бом способе приведения ф орм ы	А (х, х) к каноническо
му виду	не м еняется число полож ительны х	и отрицательны х кано
нических	коэф ф ициентов. Это свойство назы вается законом инерции

квад рати чн ы х ф орм .

Преж де чем перейти к обоснованию закон а инерции, сделаем неко торы е зам ечания.

214	ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
П усть	ф о р м а	А (х, х)	в базисе	е =	(e i,	в 2 , ... ,	еп) определяется
м атрицей А (е) =		(щ Д:
		Д	х >х ) =	X !	а А А	’	(7-28)
				i ,j = 1

где £i, ^2 , • • •, £п — координаты вектора х в базисе е. Д опустим, что эта ф о р м а с помощ ью невы рож денного преобразования координат приве дена к каноническому виду

	А	(х, х) — Ai fi\ +			А2 Д2	+ •••	+	А^ц^,		(7.29)
причем Ai, А2 , . .		Xk — отличны е от нуля канонические коэф ф и ц и ен
ты , занум ерованны е так,				что первы е q из этих коэф ф ициентов поло
ж ительны е, а следую щ ие коэф ф и ц и ен ты — отрицательны е:
Al >	О,	А2 >	0,	. . ., Ад >	0, Ад + 1 <		0,	... , \ к	< 0.
Рассм отрим	следую щ ее невы рож денное						преобразование			коорди
нат ^ 6) :
	1			1
т = - j = H u V2 — ^ /= Д 2 , .						Щ —
Щ + 1			1	Дд + Ъ	•, т	=		f^k 5		(7.30)
Щ + 1		л / -	\	Дд + Ъ	•, т	=		f^k 5
		л / -	\	+ 1		У - Х к
		Vk + l	=	Д/г + 1	%	= Дп
В результате этого преобразования ф о р м а А (х, х)									прим ет вид
А (х, х)	=	гЦ +	ц \ + . . . +		rfq -	rfq + 1	-	. . . -	ril,	(7-31)

назы ваем ы й норм альны м видом квадрати чн ой ф орм ы .

И так, с помощ ью некоторого невы рож денного преобразования ко

ординат £1 , £2 ? • • £п вектора		х в базисе е		=	(e i, в 2 , ... ,	еп)
Vг =	а И^1 +	а г2^2	+ . . .	+	« г п £ п 5	(7.32)
i	= 1 , 2 , . . . , гг,		det(c4	j)	ф 0

(это преобразование представляет собой произведение преобразований ^ в ц и ц в ц п о ф орм улам (7.30)) к вад р ати ч н ая ф о р м а м ож ет бы ть приведена к норм альном у виду (7.31).

6) Легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля.

4. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ				215
Д окаж ем следую щ ее утверж дение.
Т е о р е м а 7 .5 (закон инерции к вад рати чн ы х ф орм ).			Число сла
гаем ы х с п о ло ж и т ельн ы м и	(о т р и ц а т ельн ы м и ) коэф ф ициент ам и
в норм альном виде квадрат ичной формы не		за ви си т	от	способа
приведения формы к эт ом у виду.
Д о к а з а т е л ь с т в о . П усть	ф о р м а А (х, х)	с помощ ью		невы ро
ж денного преобразования координат (7.32) приведена к			норм ально

му виду (7.31) и с помощ ью другого невы рож денного преобразования координат приведена к норм альном у виду

( х ,

х )

— Ci + C l +

• • • +

Ср

— Ср +

— • • • — ( I

•

(7.33)

О чевидно,

д л я

доказательства

теорем ы

достаточно

убедиться в

справедливости равенства р

= q.

П усть р

> q. У бедимся, что в этом случае им еется ненулевой век

тор

х такой, что

по отнош ению к базисам , в которы х ф о р м а А (х, х)

имеет вид (7.31) и (7.33), координаты 7 7 1, 7 7 2, • •

r]q и Cp + i,

• • •, Сп этого

вектора равны нулю:

0, 772 =

0, . .. ,

= 0,

Ср + 1 =

... , Сп

(7.34)

Т ак как

координаты

r]i

получены

путем

невы рож денного

преоб

разован и я

(7.32)

координат

С ъ - - - , Сп, а

координаты

C i ~ c

помо

щ ью

аналогичного

невы рож денного

преобразования

этих

ж е ко

ординат

Съ • •

Сп,

то

соотнош ения

(7.34)

мож но

рассм атри вать

как

систему линейны х однородны х уравнений

относительно коорди

нат Ci, • •

Сп искомого вектора х в базисе е

(e i, в 2

, ... ,

е п) (напри

мер,

в развернутом

виде

соотнош ение 7 7 1 =

0 имеет, согласно (7.32),

вид

a n C i

OL1 2 С2

+ . .. + адпСп =

0 ). Т ак

как р > <7 , то число од

нородны х уравнений (7.34) меньш е тг, и поэтом у систем а

(7.34) имеет

ненулевое реш ение относительно координат Ci, • • •, Сп искомого векто

р а х. С ледовательно, если р	> д, то сущ ествует ненулевой				вектор х,
д л я которого вы полняю тся соотнош ения (7.34).
П одсчитаем значение ф орм ы		А (х, х)	д л я этого	вектора	х. О бра
щ аясь к соотнош ениям (7.31) и (7.33), получим
А (х, х) = - rfq + ! -	. . . - ц \ =		Cl + Cl +	• • • + Ср-
П оследнее равенство м ож ет им еть место лиш ь в случае r]q+ 1 = . ..
. . . = rjk = 0 и Ci = С2 = • • •	=	Ср — 0- Таким образом, в некотором
базисе все координаты (д , ( 2 , . .. ,		Сп ненулевого вектора х равны нулю
(см. последние равенства и соотнош ения			(7.34)), т. е. вектор х равен
нулю . С ледовательно, предполож ение р			> q ведет	к противоречию .

216 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

По аналогичны м соображ ениям ведет к противоречию и предполож е

ние р < q.

И так, р = q. Т еорема доказана.

2. К л а с с и ф и к а ц и я к в а д р а т и ч н ы х ф о р м . В и. 1 § 2 этой главы

(см. определение 2) бы ли введены понятия полож ительно определен ной, отрицательно определенной, знакоперем енной и квазизнакоопределенной к вад рати чн ы х ф орм .

В этом пункте с помощ ью понятий индекса инерции, п олож итель

ного и отрицательного индексов инерции к вад р ата ф орм ы мы ука

ж ем , каким образом мож но вы яснить принадлеж ность квадрати чн ой

ф орм ы к тому или иному из перечисленны х вы ш е типов. П ри этом

индексом инерции квадрати чн ой ф орм ы будем н азы вать число отлич

ны х от нуля канонических коэф ф ициентов этой ф орм ы (т. е. ее ранг),

по ло ж и т ельны м индексом инерции — число полож ительны х канони

ческих коэф ф ициетов, от рицат ельны м индексом инерции — число от рицательны х канонических коэф ф ициентов. Ясно, что сум м а полож и тельного и отрицательного индексов инерции р авн а индексу инерции.

И так, пусть индекс инерции, полож ительны й и отрицательны й ин дексы инерции квадрати чн ой ф орм ы А (х, х) соответственно равны к ,

р и	q (к	= р	+ q).	В	преды дущ ем пункте		бы ло доказано, что				в лю
бом	каноническом			базисе / = ( f i, f2 , ... ,			fn )	эта ф о р м а		м ож ет	бы ть
приведена к следую щ ему норм альном у виду:
	-4 (х , х)		= гЦ +		+ . . . + ifp -	ifp + 1		-	. . . - ill,		(7.35)
где щ , 7 7 2, • •			Цп — координаты вектора х в базисе / .
	1°) Н еобходимое и дост ат очное					условие			знакоопределенност и
квадрат ичной формы.
	С праведливо следую щ ее утверж дение.
Д л я		того	чтобы		квадрат ичная	форма			Я (х, х),	заданная в
п -м ер н о м ли н ей н о м прост ранст ве L,						была знакоопределенной,					необ
ходим о и дост ат очно,					чтобы либо п олож ит ельны й индекс инерции р ,

либо от рицат ельны й индекс инерции q был равен разм ерност и п про ст ранст ва L .

П ри этом, ес л и р	= п, то ф о р м а полож ит ельно определенная, если
ж е q = п, то ф о р м а	от рицат ельно определенная.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Т ак как случаи полож ительно определенной

ф орм ы и отрицательно определенной ф орм ы рассм атриваю тся ан а

логично, то доказательство утверж д ен и я проведем д л я полож ительно определенны х ф орм .

1) Н е о б х о д и м о с т ь . П усть ф о р м а А (х, х) полож ительно опре

4. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

217

делена. Тогда вы раж ение (7.35) прим ет вид

А { х , х) = гф + rfe + . . . + rfp .

Если при этом р < п, то из последнего вы раж ен и я следует, что д л я ненулевого вектора х с координатам и

=о ,

=о

р]г

о ,

щ +1

Ф о ,

ц п

Ф о

ф о р м а

(х,

х )

обращ ается в нуль, а это противоречит определению

полож ительно

определенной

квад рати чн ой

ф орм ы .

С ледовательно,

п.

Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть р

= п. Тогда соотнош ение (7.35) име

ет вид А (х, х)

ц \

т]2

. ..

т]р. Ясно, что

(х,

х)

^ 0, причем,

если

, то

тд

772

• • •

— Цп — 0, т. е. вектор

нулевой.

С ледовательно, А (х, х ) — полож ительно определенная ф орм а.

З а м е ч а н и е .

Д л я

вы яснения

вопроса

знакоопределенности

квадрати чн ой

ф орм ы

с помощ ью указанного п ризнака мы

долж н ы

привести эту ф орм у к каноническом у виду.

В следую щ ем пункте мы

докаж ем крит ерий

С ильвест ра

знако

определенности квадрати чн ой ф орм ы , с помощ ью которого мож но вы

яснить вопрос о знакоопределенности ф орм ы , заданной в лю бом базисе

без приведения к каноническому виду.

2°)

Н еобходимое и дост ат очное условие знакоперем енност и квад

рат ичной формы.

Д окаж ем следую щ ее утверж дение.

Д л я

того

чтобы

квадрат ичная

форма

была

знакоперем енной ,

необходимо

дост ат очно, чтобы

как по ло ж и т ельн ы й ,

т ак

и от

р и ц а т ельн ы й индексы инерции эт ой формы были от личны

от нуля.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Н е о б х о д и м о с т ь .

Т ак

как

знакопере

м енная

ф о р м а

приним ает

как

полож ительны е,

так

и отрицательны е

значения, то ее представление (7.35)

в норм альном

виде

долж но со

держ ать как полож ительны е, так и отрицательны е слагаемы е

(в про

тивном

случае эта ф о р м а приним ала бы либо неотрицательны е, либо

неполож ительны е значения). С ледовательно, как полож ительны й, так

и отрицательны й индексы инерции отличны от нуля.

2) Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть р

0 и q ф

0. Тогда д л я вектора x i ,

с координатам и 7 7 1 ф

, ... ,

цр

, цр + 1

0 ,

... ,

цп

имеем

Д ( х 1

, x i)

0 ,

д л я

вектора Х2

с координатам и

7 7 1

0 ,

... ,

цр =

цр + 1

... ,

цп

имеем

Я (х 2 , Х2 )

С ледовательно,

ф о р м а А (х, х) явл яется знакопеременной.

3°) Н еобходимое и дост ат очное условие квазизнакоопределенно

ст и квадрат ичной формы.

218ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Справедливо следую щ ее утверж дение.

Дл я того чтобы форма А (х, х) была квазизнакоопределенной,

необходимо

дост ат очно,

чтобы вы полнялись соот нош ения: либо

р < n, q =

либо р =

0, q < п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . М ы рассм отрим случай полож ительно к вази

знакоопределенной

ф орм ы . С лучай отрицательно

квазизнакоопреде

ленной ф орм ы рассм атривается аналогично.

Н е о б х о д и м о с т ь . П усть ф о р м а А (х,

х)

полож ительно квази -

знакоопределенная. Тогда, очевидно, q =

0 и р < п

(если бы р

п,

то ф о р м а бы ла бы полож ительно определенной),

А (х,

х)

Д о с т а т о ч н о с т ь . Если

р < n,

0, то

дл я

ненулевого

вектора

координатам и

—

... ,

г]р =

Цр + i

ф 0,

... ,

г]п

имеем

А (х, х)

т.

е.

А (х, х) —

полож ительно квазизнакоопределенная ф орм а.

К р итер ий

С ильвестра 7) зн ак ооп р едел ен н ости

квадра

тичной

ф ор м ы . П усть

ф о р м а

А (х, х) в

базисе е

(e i,

в 2

, ... ,

е п)

определяется м атрицей А (е)

(щ Д:

А х , х ) = Е

" 'Л Ч /-

Ь J = 1

и пусть

Д 1

а ц ,

Д 2

а ц

<42

а ц

а \п

а21

<42

&п1

• •

<^nn

угловы е миноры и определитель м атрицы

(а*Д. С праведливо следую

щее утверж дение.

Т еорем а 7.6 (критерий С ильвестра). Д л я того чтобы квадрат ич

ная форма А (х, х)

была полож ит ельно определенной,

необходимо и

дост ат очно, чтобы были вы полнены неравенст ва Д 1

О, Д 2

0, . ..

. . ,

Д п

> 0.

Д л я

того

чтобы квадрат ичная форма

была от рицат ельно

опре

деленной, необходимо

дост ат очно,

чтобы

зн аки угловы х

м иноров

чередовались,

причем

A i

< 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Н е о б х о д и м о с т ь . Д окаж ем сначала, что

из условия знакоопределенности квад рати чн ой ф орм ы А (х,

х) следует

Д^ ф 0, i — 1 , 2 , . . . , п.

У бедимся,

что предполож ение Д/,

0 ведет

противоречию —

при этом предполож ении сущ ествует ненулевой вектор х, д л я которого

А (х, х) = 0, что противоречит знакоопределенности ф орм ы .

7) Дж емс Д ж озеф Сильвестр (1814-1897)— английский математик.

5. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ

219

И так,

пусть A k

0. Рассм отрим

следую щ ую квад ратн ую

одно

родную систему линейны х уравнений:

G ll£l

+ ^12^2

• • •

CLlk^k

«2l£l + &22^2

• • •

0>2к£к

= 0?

/7 оа\

O'kl^l

+ &к2^2

• • •

+ Якк€к ~ 0-

Т ак как

Д*. — определитель

этой

системы

и Д*.

то

систе

м а имеет

ненулевое реш ение £i, £2

, • • £ &

(не

все £г равны

0). У м но

ж и м первое из уравнений (7.36)

на £1

, второе на £2 , • •

последнее на

£/, и слож им

полученны е соотнош ения. В результате

получим

равен

ство

j = 1

aij€i€j —

О? левая

часть

которого представляет

собой

значение

квадрати чн ой

ф орм ы

А (х,

х)

д л я

ненулевого

вектора

х с

координатам и (£1 , £2 , • • •, £&, 0, . . 0 ) .

Это

значение

равно

нулю,

что

противоречит знакоопределенности ф орм ы .

И так,

мы

убедились, что Д^

ф 0,

1, 2, . .. ,

п. П оэтом у

мы

можем прим енить

метод Я коби приведения ф орм ы

А (х, х) к

сумме

к вад ратов (см. теорему

7.4) и воспользоваться ф орм улам и

(7.27) д л я

канонических коэф ф ициентов А^. Если А (х,

х ) — полож ительно опре

деленная ф орм а, то все канонические коэф ф и ц и ен ты

полож ительны .

Но тогда из соотнош ений (7.27) следует, что Д 1

> 0, Д 2

> 0 ,

... ,

Д п >

> 0. Если ж е А (х,

х) — отрицательно определенная ф орм а, то все ка

нонические коэф ф и ц и ен ты отрицательны . Но тогда из ф орм ул

(7.27)

следует, что знаки угловы х миноров чередую тся, причем

Д]_ < 0.

2) Д о с т а т о ч н о с т ь . П усть

вы полнены

условия, налож енны е на

угловы е миноры Д^ в ф орм улировке теорем ы . Т ак как

Д^

г =

= 1, 2, ... , п, то ф орм у А мож но привести к сумме квад ратов методом

Я коби (см. теорему 7.4), причем канонические коэф ф и ц и ен ты Ai могут

бы ть найдены по ф орм улам (7.27). Если А \	>	0, Д 2 > 0 , . .. ,	Д п >	0,
то из соотнош ений (7.27) следует, что все Ai	>	0, т. е. ф о р м а	А (х,	х)

полож ительно определенная. Если ж е знаки Д^ чередую тся и А± < 0,

то из соотнош ений (7.27) следует,	что ф о р м а А (х, х)	отрицательно
определенная. Т еорема доказана.
§ 5. П олилинейны е ф ор м ы
О п р едел ен и е. П о ли ли н ей н о й	ф ормой A (xi, Х2 , ... ,	х р) р вектор

ны х аргум ентов назы вается числовая ф ун кц и я, определенная на все

возм ож ны х векторах		x i,	Х2 , ... , х р	линейного п ространства L и ли
нейная по	каж дом у	из	аргум ентов,	при ф иксированны х значениях
остальны х	аргум ентов.

220 ГЛ. 7. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Простейшим примером полилинейной формы может служить про изведение линейных форм A (xi) А (х г). . . А (хр).

Полилинейная форма A (xi, Х2 , ... , х р) называется сим м ет ричн ой (кососим м ет ричной ), если для каждых двух ее аргументов х& и х/ и для любых значений этих аргументов выполняется соотношение

А (х ь	Х к,	X/,	Хр)	=	А (х ь	Х[,	Хк,	Хр)
Д ( х ь	Хк,	XI,	Хр)	=	- А ( х ь	Хк,	XI,	Хр)).

Пусть полилинейная форма А ( х i, Х2 , ..., х р) задана в конечно мерном линейном пространстве L, и пусть ei, в2 , ..., еп —базис в L . Обратимся к разложению каждого вектора х* по базисным векто рам е ь е2, . . еп:

х г = <ъг1е 1 Т <ъг2е 2 Т • • • Т ^гпе п = ^ ^

^ =

• • *5 Рт (7.37)

3 = 1

Подставляя выражения для х* по формулам (7.37) в полилинейную форму A (xi, Х2 , , Хр) и используя свойство линейности этой формы по каждому аргументу, получим

^ ( Х Ь х 2 5 • • «5 Х р ) — А	I	^ 2 j 2 e j2 5 ' ' -5	^ Р З р ^ З р J =
	\Л =1	J2 = 1	Д = 1	/
	П
=	^iji^2j2	• • • ip jv A (GJ1, е^2,	. . Gjp).	(7.38)

i i , j 2 , . . . , i p = 1

Таким образом, значения полилинейной формы A (xi, Х2 , ... , х р) в ко нечномерном пространстве с выделенным базисом ei, в 2 , ... , е п опре деляются всевозможными значениями A (ej 1, ej2 , ... , e Jp) этой формы

на векторах е ^ , e j2 , ...,				ej .
Докажем следующее утверждение.
Т е о р е м а	7 .7 . Л ю бая					п о ли ли н ей н а я кососим м ет ричная фор
м а A (xi, Х2 , ... ,		х п),	заданная в п -м ер н о м ли н ей н о м прост ранст ве L
с вы деленны м	базисом			е ь		е 2, ... , е п ,		м ож ет	быть предст авлена
в виде							S n	£l2	а ,
							S n	£l2	а ,
А ( х 1		, х 2,	... ,		х п)		ы	^22	Ь г	(7.39)
А ( х 1		, х 2,	... ,		х п)					(7.39)
							п1	<ъп2
где а = А (еь	е2,	... ,	е п),		а (£ц, &2 , ... ,			^ п ) — координат ы вект ора х*
в базисе ei, в 2	, ... , е п .

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf