Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 328 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1. УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

определению (число их п не предполагается обязательно равны м числу

уравнений ш ); величины а ц ,	a i 2 , ... , a m n, назы ваем ы е коэф ф ициент а
м и сист ем ы , и величины	6 2 , . . Ьш , назы ваем ы е свободными ч л е

н а м и , предполагаю тся известны ми. К аж д ы й коэф ф и ц и ен т системы

имеет д в а индекса, первы й из которы х г указы вает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного, при котором стоит этот коэф ф ициент.

С истема (3.1) назы вается однородной, если все ее свободные члены

b i, &2 , • • Ьт равны нулю .

Если хотя бы один из свободных членов Ь]_, 6 2 , ... , Ьт отличен от нуля, то система (3.1) назы вается неоднородной.

С истема (3.1) назы вается квадрат ной, если число т составляю щ их ее уравнений равно числу неизвестны х п.

Р еш ением системы (3.1) назы вается такая совокупность п чисел

ci, С2 , ... , сп , которая при подстановке в систему (3.1) на место неиз

вестны х x i, Х2 , . .. , х п обращ ает все уравнения этой системы в тож де

ства.

Не всякая система вида (3.1) имеет реш ения. Т ак, систем а линей

ны х уравнений

Х\ Т Х2 — 1, x i + х 2 = 2

заведом о не имеет ни одного реш ения (ибо если бы сущ ествовало ре

ш ение этой системы, то при подстановке этого реш ения в левы х ч а

стях обоих уравнений стояли бы одинаковы е числа и мы получили бы, что 1 = 2 ).

С истема уравнений вида (3.1) назы вается совм ест ной , если она

имеет хотя бы одно реш ение, и несовм ест ной , если у нее не сущ ествует ни одного реш ения.

	С овм естная система вида (3.1) м ож ет им еть или одно реш ение, или
несколько реш ений.
	Д в а	реш ения		совместной		системы		вида (3.1) с ^ \ с ^ \ ... ,			и
(2)	(2)	(2)				р а зли ч н ы м и , если наруш ается хотя					бы
с\	, с\	, ... , сп	н азы ваю тся
одно из равенств
			J1) _ Д2)		(1) _		_(2)	Д1)	(	)
			С1	— С1	5 с2	— с2 ’			сп2	‘
	С овм естная система вида					(3.1)	назы вается		определенной, если она
имеет единственное реш ение.
	С овм естная система вида					(3.1)	назы вается		неопределенной, если у
нее сущ ествую т по крайней мере д в а разли ч н ы х реш ения.
	В есьм а удобно			записы вать линейную систему (3.1) в м атричной

ф орм е. Д л я этого используем введенное в и. 2 § 1 гл. 1 понятие произ

72 ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ведения двух м атриц (таких, что число столбцов первой из этих м ат риц равно числу строк второй из м атр и ц ). В качестве перемнож аемы х м атриц возьм ем две матрицы : м атрицу

	а ц	а\2	. ..		a in
А _	а 21	0*22	• •	•	& 2 п
					3.2
	&т1	&т2	• •	•	&тп

содерж ащ ую т строк и п столбцов и составленную из коэф ф ициентов при неизвестны х (такую м атрицу мы в дальнейш ем будем н азы вать

основной м а т рицей системы (3.1)) и м атрицу X , содерж ащ ую п строк и 1 столбец, т. е. один столбец вида

Х 2

(3 .3 )

Хп

Согласно правилу перемнож ения двух м атриц 2) произведение А Х м атрицы (3.2) на м атрицу (3.3) представляет собой матрицу, содерж а щ ую т строк и 1 столбец, т. е. один столбец следую щ его вида:

а п х ! + а\2Х2

0>2lXl + CL22X 2

+	• • .	CL\nX n
+	• • .	Cl2nXn

UmlXl + CLm2X2 + • . . + CLmnXn

С истема равенств (3.1) означает, что этот столбец (3.4) совпадает со столбцом

	bi
В =	ь	(3.5)
	Ът
Таким образом, в м атричной записи систему (3.1)		м ож но зам енить
одним эквивалентны м ей м атричны м уравнением
А Х	= В ,	(3.6)

в котором м атрицы А , X и В определяю тся соотнош ениями (3,2), (3.3) и (3.5). Реш ение м атричного уравнения (3.6) заклю ч ается в оты скании

2) См. п. 2 §1 гл. 1, формулу (1.4).

1. УСЛОВИЕ СОВМЕСТНОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

такого столбца (3.3), которы й при заданной м атрице (3.2) и заданном

столбце п равы х частей (3.5) обращ ает уравнение (3.6) в тож дество. В этом и в следую щ ем п ар агр аф а х мы вы ясним в отнош ении ли

нейной системы (3.1) следую щ ие три вопроса:

1)способ установления того, явл яется систем а (3.1) совместной или

нет,

2)способ установления того, явл яется систем а (3.1) (в случае ее совместности) определенной или нет,

3)способ оты скания единственного реш ения совместной системы

(3.1) (в случае ее определенности) и оты скания всех ее	реш ений (в
случае ее неопределенности).
2. Н е т р и в и а л ь н а я с о в м е с т н о с т ь о д н о р о д н о й	с и с т е м ы .

Н ачнем с рассм отрения однородной линейной системы вида (3.1), т. е. системы

	C L ll X i	+	CI1 2 X 2	+	. . . +		С Ц п х п =			О ,
	Cl2 l X l	+	CL22X2	+	. . .	+	CL2п х п		=	О ,	3.7

	Q"mlXl +		СЬт2Х2 Н-		• • •	Н"	&тпХп		—	О*
С разу ж е отметим, что		эта систем а всегда						совм ест на , ибо			она все
гда обладает так назы ваем ы м т р и ви а льн ы м								(или н у ле вы м ) реш ением
Х \ — х 2 = . .. = Х п = 0 3) .
В озникает вопрос о том, при				каких		усло ви я х			однородная		сист ем а
(3.7) и м еет , кроме указанного т ривиального р еш ен и я , еще											и другие
р еш ения	(т. е. я в ля е т с я	«нет ривиально совм ест ной»).
Э тот	вопрос реш ается		довольно просто. Зам етим , что сущ ество
вание нетривиального реш ения системы							(3.7) эквивалентно линейной

зависим ости столбцов м атрицы (3.2) (ибо линейная зависим ость столб

цов	м атрицы (3.2)	означает, что сущ ествую т числа ад, Ж2 , . .. , х п ,	не
все равны е нулю и такие, что справедливы равенства (3.7)).
	Но в силу теорем ы 1.6 о базисном миноре линейная зависим ость
столбцов м атрицы		(3.2) будет им еть место тогда и только тогда, когда
н е	в с е столбцы	этой м атрицы являю тся базисны ми, т. е. тогда	и

только тогда, когда порядок г базисного м инора м атрицы (3.2) меньш е

числа п ее столбцов.
М ы приходим к следую щ ей теореме.
Т е о р е м а 3 .1 . Однородная сист ем а (3.7)		им еет нет ривиальны е
р еш ения	тогда и т олько т огда, когда ранг г	м ат рицы (3.2) м еньш е
числа п	ее ст олбцов.

3) Действительно, подставив в систему (3.7) нули на место всех неизвестных xi, Х2, . . х п , мы обратим в тож дества все уравнения этой системы.

74	ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С л е д с т в и е . К вадрат ная однородная сист ем а 4) им еет		н ет р и ви
альны е р еш ения тогда и т олько т огда, когда определит ель, сост ав
лен ны й из коэф ф ициент ов при неи звест н ы х , равен нулю .
В самом деле, в случае квадратн ой однородной системы		(3.7), т. е.
при т	= п ранг г м атрицы (3.2) будет меньш е числа т =	п тогда и
только тогда, когда определитель этой м атрицы равен нулю .
3.	У с л о в и е с о в м е с т н о с т и о б щ е й л и н е й н о й с и с т е м ы . Устано

вим теперь необходимое и достаточное условие совместности общей (вообще говоря, неоднородной) системы вида (3.1). С этой системой

связаны две матрицы : м атри ц а А , определяем ая

соотнош ением

(3.2),

которую принято н азы вать

основной м а т рицей

сист ем ы

(3.1)

(она

составлена из коэф ф ициентов при неизвестны х), и м атрица

ап

«1 2

« 1 п

А !

«21

«2 2

« 2 п

ь2

« m l

« m 2

• • •

« т п

Ьщ

которую принято

н азы вать

расш иренной м а т рицей сист ем ы

(3.1)

(она получается из основной м атрицы

путем добавления к

этой

м ат

рице столбца (3.5) свободных членов).

С праведлива следую щ ая основная теорем а.

Т е о р е м а 3 .2 (теорема

К р о н екер а-К ап ел л и 5) . Д л я того

чтобы

ли н ей н а я сист ем а

(3.1)

я вля ла с ь

совм ест ной, необходимо

доста

т очно , чтобы ранг расш иренной м ат рицы эт ой

сист ем ы

был равен

рангу ее основной м ат рицы .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Н е о б х о д и м о с т ь .

П усть система

(3.1)

совместна, т. е. сущ ествую т такие числа щ , С2 , ... ,

сп , что справедливы

равенства

C L llC i

Щ2С2

. . .

C i l n c n

&Ъ

«21<А

&22С2

• • •

«2n^n

&2,

/о гО

« m l ^ l +

« т 2 « 2 ~\~ . . . ~\~ A m n ^ n

—

Ьш.

О бозначим через г

ранг

основной

м атрицы системы (3.1) и рассм от

рим линейную оболочку L г

базисны х столбцов этой м атрицы . В си

лу теорем ы 1.6 о базисном

миноре лю бой столбец основной м атрицы

4) То есть система (3.7), у которой число уравнений т равно числу неизвест

ных п.

5) Леопольд Кронекер

(1823-1891) — немецкий математик, А льф ред

Капел-

ли (1855-1910)—итальянский математик.

2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ				75
п ри н адлеж и т указанной линейной	оболочке L .	И ны ми	словами,	лю
бой столбец расш иренной м атрицы	(3.8), кром е последнего ее столбца,
п ри н адлеж и т указанной линейной оболочке L .
И з равенств (3.9) следует, что	и последний	столбец	расш иренной

м атрицы (3.8) п ри н адлеж и т линейной оболочке L (ибо этот последний

столбец в силу равенств (3.9) линейно вы раж ается через все столбцы

основной м атрицы и поэтому линейно вы раж ается через ее базисны е столбцы ).

Таким образом, все ст олбцы расш иренной м ат рицы (3.8) принад

леж а т указанной ли н ей н о й оболочке L . В п. 2 § 3 гл. 2 мы уж е устано вили, что разм ерность указанной линейной оболочки L р авн а L . Это

означает, что лю бы е г + 1 столбцов расш иренной м атрицы	(3.8) линей
но зависим ы , т. е. ранг расш иренной м атрицы (равны й м	аксим ально

му числу линейно независим ы х столбцов этой м атрицы ) такж е равен

числу г. Н еобходимость доказана.


2) Д о с т а т о ч н о с т ь .	П усть ранги основной и расш иренной м ат
риц совпадаю т. Тогда г	базисны х столбцов основной		м атрицы	бу
дут явл яться базисны ми столбцами и расш иренной м атрицы (3.8)				6) .
По теореме 1.6 о базисном		миноре, последний столбец	расш иренной
м атрицы (3.8) представляет		собой некоторую линейную	комбинацию
указанны х г базисны х столбцов. С тало бы ть, последний			столбец рас

ш иренной м атрицы (3.8) представляет собой некоторую линейную ком бинацию и всех столбцов основной м атрицы (3.2) 7) , т. е. сущ ествую т числа с1 , С2 , ... , сп такие, что справедливы равенства (3.9). П оследние

равенства означаю т,	что числа щ , С2 , ... , сп представляю т собой ре
ш ение системы (3.1),	т. е. эта система явл яется совместной. Теорема
полностью доказана.

§ 2. О ты скание реш ений линейной систем ы

Т еорема К р о н екер а-К ап ел л и устанавливает необходимое и доста точное условие совместности линейной системы, но не дает способа

нахож дения реш ений этой системы .
В этом п ар агр аф е мы	займ ем ся оты сканием реш ений	линейной
системы (3.1). С н ачала мы	рассм отрим простейш ий случай	к в ад р ат

6) Ибо указанные г базисных столбцов линейно независимы, а большего чем г числа линейно независимых столбцов расш иренная матрица не имеет.

7)Не изменяя линейной комбинации г базисных столбцов, мы можем добавить

кней все небазисные столбцы с множителями, равными нулю.

76 ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ной системы линейны х уравнений с отличны м от нуля определителем основной м атрицы , а затем перейдем к оты сканию совокупности всех реш ений общей линейной системы вида (3.1).

1.	К в а д р а т н а я с и с т е м а л и н е й н ы х у р а в н е н и й с о п р е д е л и т е
л е м	о с н о в н о й м а т р и ц ы , о т л и ч н ы м				о т	н у л я . П усть д ан а к в ад р ат
н ая система линейны х уравнений
	CLllXi	+ CL1 2 X2	+ . ..	+	СЦпХп — bi,
	&2lX\	+ CL22X2	+ . . . +		CL2nXn — Ь2 ,		(3.10)
							(3.10)
	C L n l X i T & n 2X 2 H- • • • T & п п Х п — b n
с отличны м от нуля определителем Д				основной м атрицы
		а ц	а\2	•	• •	CLin
	А _	а 21	&22	•	• •	& 2 п	(3.11)
							(3.11)
		0"п1	0"п2	•	• •	^пп
Д окаж ем , что такая		система имеет, и притом единственное, реш е

ние, и найдем это реш ение. С н ачала докаж ем , что систем а (3.10) м ож ет иметь только одно реш ение (т. е. докаж ем единственность реш ения си стемы (3.10) в предполож ении его сущ ествования).

П редполож им , что сущ ествую т какие-либо п чисел ал, ал, . .. , х п

такие, что при подстановке этих чисел в систему (3.10) все уравне

ния этой системы обращ аю тся в тож дества (т. е. сущ ествует					некото
рое реш ение системы	(3.10) ал, ал, ... , х п ). Тогда, ум нож ая тож дества
(3.10) соответственно на алгебраические дополнения				А 2j, ... , A nj
элементов j -го столбца определителя Д м атрицы (3.11)				и ск лад ы вая
затем получаю щ иеся	при	этом тож дества, мы	получим	(для	лю бого
ном ера j , равного 1,	2, ... ,	п)
п
X i ( a n A i j + c t 2 i A 2 j + . . . + a n i A n j ) =
2=1
		— b \A \j +	&2^.2j +	. .. +	bnA nj.

У чи ты вая, что сум м а произведений элементов г-го столбца на соответ

ствую щ ие алгебраические дополнения	элементов		j- r o столбца	равн а
нулю при i Ф j и равн а определителю	Д	м атрицы	(3.11) при г	— j 8) ,
мы получим из последнего равенства
X j Д = b \ A \ j + &2^_2j	+	. . . + b n A n j .		(3.12)

8) См. свойство 4°) из п. 4 § 2 гл. 1.

2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

О бозначим

сим волом A j (pi)

(или, более

крат ко, сим волом A j)

определит ель,

получаю щ ийся

из

определит еля

основной

м а т р и

цы

(3.11)

зам еной его j -го ст олбца ст олбцом

из

свободных

членов

Ъ\,

&2 5 • • - 5

Ьп

(с

сохранением

без

изм енения

всех

остальны х

столб

цов

Д ).

Зам етим ,

что

правой части

(3.12) стоит

именно определитель

A j

(bi) 9) , и это равенство приним ает вид

X jA = A j

= 1, 2,

... ,

n).

(3.13)

П оскольку определитель Д

м атрицы (3.11) отличен от нуля, равен

ства (3.13) эквивалентны соотнош ениям

х з = -&

= 1, 2,

тг).

(3.14)

И так, мы доказали, что если реш ение х \ , Ж2

, ... ,

х п сист ем ы (3.10)

с определит елем

основной м ат рицы

(3.11), от ли чн ы м

от н у

л я ,

сущ ест вует ,

то эт о реш ение однозначно

определяет ся

ф орм у

ла м и (3.14).

Ф орм улы

(3.14) назы ваю тся ф орм улам и К рамера 10)1 .

Ещ е раз подчеркнем , что ф орм улы К р ам ер а пока получены нами в

предполож ении сущ ествования реш ения и доказы ваю т его единствен ность.

О стается доказать сущ ествование реш ения системы (3.10). Д л я это го в силу теорем ы К р о н екер а-К ап ел л и достаточно доказать, что ранг

основной м атрицы	(3.11) равен рангу расш иренной м атрицы							п )
		а ц	ai2			а 1п	bi
A i =		а 21	<^22	•	•	CL2n	ь2
A i =
		0"п1	&п2	•	•	®>пп	Ъп
но это очевидно, ибо в силу			соотнош ения Д /				0, ранг основной м ат
рицы равен п, а	ранг содерж ащ ей			п		строк	расш иренной	м атрицы

(3.15) больш е числа п бы ть не м ож ет и потому равен рангу основной

матрицы .

9)Чтобы убедиться в этом, достаточно записать разложение определителя

Дj (Ь{) по элементам г-го столбца.

10)Габриель К рамер (1704-1752) —швейцарский математик.

11)Существует и другой способ доказательства существования решения систе

мы (3.10), заклю чаю щ ийся в проверке того, что числа х\, Х2, • • х п , определяемые формулами К рам ера (3.14), обращают в тож дества все уравнения системы (3.10).

78	ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Тем самы м	полностью доказано, что квадрат ная сист ем а л и н е й

ны х уравнений (3.10) с определит елем основной м ат рицы , от личн ы м от н у л я , и м еет , и прит ом единст венное, реш ение, определяем ое фор м у ла м и К рамера (3.14).

Д оказанное нами утверж дение еще прощ е устанавливается м атри ч ным способом. Д л я того чтобы сделать это, заменим (как и в п. 1 § 1)

систему (3.10) эквивалентны м ей м атричны м уравнением

	А Х	=	В ,	(3.16)
где А — основная м атри ц а системы		(3.11), а X		и В — столбцы,
	XI		bi
X =	Х2	в	ь2
X =	,	в	=
	Хп		Ъп

первы й из которы х п одлеж ит определению , а второй задан .

Т ак как определитель Д м атрицы А отличен от нуля, то сущ ествует

обратн ая м атри ц а		А ~ 1	(см. и. 7 § 2 гл. 1).
П редполож им ,		что	сущ ествует	реш ение системы			(3.10),		т. е. су
щ ествует столбец		X , обращ аю щ ий		в тож дество		м атричное			уравне
ние (3.16). П ом нож ая			указанное тож дество слева			на	обратную м ат
рицу А ~ 1, будем иметь
			А - 1 ( А Х )	= А - 1 В .					(3.17)
У чтем	теперь, что в силу сочетательного свойства произведения трех
м атриц	(см. и. 2 § 1 гл. 1) и в силу соотнош ения А ~ гА						=	Е,	где Е —
единичная м атри ц а (см. и. 7 § 2 гл. 1), А ~ 1 ( А Х ) =						( А ~ гА ) Х			= Е Х	=
= X , так что мы получим из (3.17)
			X = А	- 1 В .					(3.18)
Р азвер ты в ая равенство			(3.18) и учи ты вая вид обратной м атрицы							12) ,
мы и получим д л я элементов столбца X					ф орм улы К рам ера.
И так, мы доказали, что если реш ение м атричного уравнения (3.16)
сущ ествует, то оно однозначно определяется соотнош ением								(3.18), эк
вивалентны м ф орм улам К рам ера.
Л егко проверить, что столбец				X ,	определяем ы й		соотнош ением
(3.18), в самом деле явл яется реш ением					м атричного уравнения (3.16),

12) См. формулу (1.41) из п. 7 § 2 гл. 1.

	2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ			79
т. е. при	подстановке в это	уравнение обращ ает его	в тож дество.	В
самом деле, если столбец X		определяется равенством	(3.18), то А Х	=
= А ( А ~ 1В ) = ( А А ~ 1) В = Е В = В .
И так,	если определит ель Д м ат рицы А от ли чен		от н у л я (ш. е.

если эт а м ат рица я в ля е т с я невы рож денной), то сущ ест вует , и пр и

т ом единст венное, реш ение м ат ричного уравнения (3.16), определяе

мое соот нош ением (3.18), эк ви ва лен т н ы м ф орм улам Крамера.

П ри м ер . Н айдем реш ение квадратн ой системы линейны х уравне

ний	2 х 2 И- Зжз	4тд =	30,
Х\	2 х 2 И- Зжз	4тд =	30,
—х \	+ 2x2 — Зж3 +	4ж4 =	10,
	х 2 ~ Хз	+ Ха =	з,
	Х \ + Х2 + Х з	+ ж4 =	10

с отличны м от нуля определителем основной м атрицы

1 т—1 0

2	3	4
2	- 3	4
1	1 I—1	1
1	1	1

П оскольку
30	2	3	4	1	30	3	4
- 1	2	3	4	- 1	10	- 3	4
3	1	- 1	— —4,	Д 2 —	3	- 1	1
3	1	- 1	1	0	3	- 1	1
10	1	1	1	1	10	1	1

1	2	30	4
- 1	2	10	4
0	1	3	1
1	1	10	1

1 I—1 to

1	2	3	30
- 1	2	- 3	10
0	1	- 1	3
1	1	1	10

то, в силу ф орм ул К рам ера, единственное реш ение рассм атриваем ой

системы имеет вид х \ — 1, Х2	— 2, хз = 3, жц = 4.
О сновное значение ф орм ул	К р ам ер а состоит в том, что они даю т

явное вы раж ение д л я реш ения квадратн ой системы линейны х уравне ний (с определителем , отличны м от нуля) через коэф ф и ц и ен ты у р ав нений и свободные члены . П рактическое использование ф орм ул К р а

м ера связано с довольно гром оздким и вы числениям и (для реш ения системы п уравнений с п неизвестны м и приходится вы числять (п + 1) определитель n - го порядка). К этому следует добавить, что если ко эф ф и ц и ен ты уравнений и свободные члены представляю т собой лиш ь

80	ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
приближ енны е	значения к ак и х -л и б о изм еряем ы х ф изических вели

чин или округляю тся в процессе вы числений, то использование ф о р

мул	К р ам ер а	м ож ет привести	к больш им ош ибкам	и в ряде случаев
явл яется нецелесообразны м .
В	§ 4 гл. 4	будет излож ен	метод регуляризации,	принадлеж ащ ий

А .Н . Т ихонову и позволяю щ ий находить реш ение линейной системы с точностью , соответствую щ ей точности зад ан и я м атрицы к оэф ф и ц и ентов уравнений и столбца свободных членов, а в главе б дается пред ставление о так назы ваем ы х итерационны х м етодах реш ения линейны х систем, позволяю щ их реш ать эти системы при помощ и последователь ны х приближ ений неизвестны х.

В заклю чении отметим, что в этом пункте мы исклю чили из рас см отрения случай обращ ения в нуль определителя Д основной м ат рицы системы (3.10). Э тот случай будет содерж аться в общей теории систем т линейны х уравнений с п неизвестны ми, излагаем ой в следу ющем пункте.

2.О ты скание всех реш ений общ ей линейной систем ы . Р ас

смотрим теперь общ ую систему т	линейны х уравнений с п неизвест
ными (3.1). П редполож им , что эта	систем а совместна и что ранг ее

основной и расш иренной м атриц равен числу г. Не огран и чи вая общ ности, мы можем предполож ить, что базисны й минор основной м атри цы (3.2) находится в левом верхнем углу этой м атрицы (общий случай сводится к этому случаю посредством перестановки в системе (3.1)


уравнений и неизвестны х).
Тогда первы е	г строк как		основной м атрицы (3.2),	так и расш и
ренной м атрицы	(3.8) являю тся базисны ми строками этих м атриц 13) ,
и, по теореме 1.6 о базисном			миноре, к аж д ая из строк	расш иренной
м атрицы (3.8), н ачиная с (г		+	1)-й строки, явл яется линейной комби
нацией первы х г строк этой м атрицы .
В терм инах системы (3.1)			это означает, что каж дое	из уравнений
этой системы, н ачиная с (г +		1)-го уравнения, явл яется линейной ком
бинацией (т. е. следствием)		первы х г уравнений этой		системы (т. е.

всякое реш ение первы х г уравнений сист ем ы (3.1) обращает в т ож дест ва и все последую щ ие уравнения эт ой сист ем ы ).

Таким образом, достаточно найти все реш ения лиш ь первы х г ур ав нений системы (3.1). Рассм отрим первы е г уравнений системы (3.1),

13) Так как ранги основной и расширенной матриц оба равны г, то базисный минор основной матрицы будет одновременно являться базисным минором и рас ширенной матрицы.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 328 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf